優(yōu)化的PFA算法在GPS軟件接收機中的應(yīng)用

姚相振，崔紹龍，方金云

（1.中國科學(xué)院 計算技術(shù)研究所，北京 100190；2.中國科學(xué)院 研究生院，北京 100049）

1 引言

衛(wèi)星信號捕獲是GPS接收機里的第一個必要操作，它用來檢測來自天線接收的信號中包含有哪些導(dǎo)航衛(wèi)星的信息，捕獲的最終目的是為了得到載波的多普勒頻移以及每顆衛(wèi)星C/A碼的初始相位。在此過程中執(zhí)行C/A碼相位和多普勒頻移的二維搜索，具體的操作是用本地生成的碼跟接收到的信號做交叉相關(guān)，然后把相關(guān)的結(jié)果累加起來，設(shè)定一個門限，超過此門限則判定相應(yīng)的衛(wèi)星被捕獲。

GPS信號采用擴頻調(diào)制技術(shù)，導(dǎo)航數(shù)據(jù)首先被C/A碼或者P碼進行擴頻調(diào)制，然后對1575.42MHz的L1載波進行BPSK調(diào)制。同相分量上含有C/A碼，正交分量上含有P碼。因此，利用Gold碼的相關(guān)特性進行相關(guān)調(diào)制是 GPS接收機中最基本的運算。相關(guān)器的性能和C/A碼的捕獲成功率，往往決定了接收機的性能。在噪聲環(huán)境，尤其是弱信號的時候，利用相干累計和非相干累計技術(shù)可以提高接收機的增益。但是無論是相干累計還是非相干累計都包含有大量的相關(guān)運算，這對于軟件接收機來說無疑是一個沉重的負擔(dān)[1]，Van Nee在文獻[2]中提出了用FFT運算來代替相關(guān)運算，此方法大大提高了運算的效率，也奠定了軟件無線電設(shè)備的基礎(chǔ)，但是在軟件導(dǎo)航接收機中要實現(xiàn)實時信號處理，傳統(tǒng)的FFT算法還是無法勝任，另外，F(xiàn)FT中存在的大量浮點運算也使得在嵌入式導(dǎo)航接收機上更是難以實現(xiàn)實時性，因為市場上現(xiàn)有的嵌入式設(shè)備對于浮點運算的支持還不是很完善。

為了減少捕獲階段的運算復(fù)雜度以及處理時間，大量的嘗試和實驗已經(jīng)被實施，在文獻[3]中提出一種平均相關(guān)算法，此算法對采樣值求平均，以降低參與 FFT/IFFT的運算點數(shù)。在文獻[4,5]中，作者提出一種自我調(diào)整捕獲方案，它能夠根據(jù)信噪比的大小自動的調(diào)節(jié)捕獲門限的大小，文獻[6]中提到了一種利用特殊軟件相關(guān)器的方法，使用并行位操作來實現(xiàn) 32個點同時工作來模擬硬件相關(guān)器，結(jié)果顯示其效率有很大程度的提高。

本文中提出一種優(yōu)化 PFA算法，首先，提出一種基于位操作的基帶混合算法，從RF前端得到的數(shù)字信號被存儲為一種特殊的2bit形式，本地載波體也被量化為2bit形式，為2組數(shù)據(jù)創(chuàng)建一個數(shù)據(jù)表，通過索引來實現(xiàn)基帶混合的過程，避免了乘法運算，在FFT運算過程中，將旋轉(zhuǎn)因子預(yù)存為16bit的補碼形式，并將其映射為一個較大的整數(shù)，中間數(shù)據(jù)以及最終結(jié)果都用一個32bit的整數(shù)來存儲，在每一次蝶形運算后進行溢出檢測，以確保數(shù)據(jù)的正確性，另外 PFA算法過程中不必要的乘法也將會被省略，因此在整個運算過程中只存在整數(shù)運算，此方法在浮點運算支持不利嵌入式設(shè)備上的運行取得良好的運行效果。

2 信號捕獲

2.1 循環(huán)相關(guān)到FFT的演化

所有的GPS衛(wèi)星都發(fā)射1.57542GHz(L1波段)和1.2276GHz（L2波段）2種頻率的信號，GPS的信號發(fā)射采用的是CDMA模式[7]，低頻的導(dǎo)航數(shù)據(jù)被高頻的偽隨機碼進行調(diào)制，每顆衛(wèi)星的信號通過調(diào)制不同的偽隨機碼來實現(xiàn)身份識別，GPS信號采用了 2種不同的偽隨機碼:一種是 C/A碼（Gold碼的一種），碼片率為 1.023Mchip/s, 另一種是 P碼，碼片率為 10.23Mchip/s。P碼被調(diào)制在 L1和L2載波上，而C/A碼僅調(diào)制在L1載波上且與P碼相位相差90°。C/A碼被廣泛用于民用接收機應(yīng)用，而P碼被加密為一個被稱為P(Y)碼的編碼，只用于軍事裝備。在此本文重點討論C/A碼的應(yīng)用模式。

從RF前端接收到的信號可以表示為

其中，Ns代表可見衛(wèi)星的個數(shù)，Ai代表信號的幅度，Di代表導(dǎo)航數(shù)據(jù)，Ci代表第i顆衛(wèi)星的C/A碼，tτi代表碼時延，fdi代表多普勒頻移，fL1代表 L1載波的頻率，其值為1575.42MHz，fIF是RF下變頻后的中頻頻率，φi代表衛(wèi)星i的初始相位，n代表一個均值為零方差為的高斯白噪聲。用于計算多普勒頻移造成的碼元長度變化。

C/A碼一個周期長度為1023個碼元，碼率為1.023MHz，一個周期的C/A碼可以用式(3)表示為

p(t)表示以原點為中心，具有單位高度和單位寬度的脈沖波形。xn為C/A碼的第n個碼元。可以用+1 和?1 來表示，Tc=1/(1.023MHz)= (1/1.023)μs，是C/A碼的碼元寬度，C/A碼的周期Tcode= 1023Tc=1ms。

在硬件GPS接收機中，由于硬件相關(guān)器的應(yīng)用使得處理循環(huán)相關(guān)的速度非?？?，而在軟件接收機中則是用FFT來代替相干運算以達到提速的目的。對于N點數(shù)據(jù)的離散傅里葉變換（DFT）表示如下:

x(n) 和y(n) 2個N點有限時域信號的循環(huán)相關(guān)表達式為

基于式(4)和式(5)推出x和y序列循環(huán)相關(guān)的DFT公式:

其中，* 代表復(fù)數(shù)的復(fù)共軛形式，X和Y是x和y信號的頻域表達形式。

從式(6)中可以看到x和y序列循環(huán)相關(guān)的DFT可以用X和Y的乘積來表示，見文獻[8]，其中一個是復(fù)共軛的形式。只需要對其結(jié)果做一次逆傅里葉變換(IFFT)就可以轉(zhuǎn)化為時域表示形式:

z(i)max代表 z( n)集合中最大的一個,i暗示了GPS信號C/A碼的初始相位。

本地載波信號分為同向和正交2種，載波信號跟本地C/A碼信號相乘作為整體的本地數(shù)據(jù):

Cj代表j號衛(wèi)星的C/A碼，是衛(wèi)星j的估計初始相位。

2.2 循環(huán)相關(guān)過程

接收機接收到的數(shù)據(jù)跟本地數(shù)據(jù)相乘得:

3 優(yōu)化PFA算法

本文將RF前端得到的中頻信號以及本地載波信號進行量化，用特定的位格式存儲，通過移位元操作來代替原有的乘法操作，因此所有的浮點運算都被轉(zhuǎn)化為了位運算，在大多數(shù)的微處理器上，移位操作比數(shù)學(xué)運算要快得多。在PFA算法之前首先要進行基帶混合運算，將接收到的導(dǎo)航數(shù)據(jù)跟本地載波數(shù)據(jù)相乘；PFA算法是FFT算法的變種[9]，為了解決非基二點的數(shù)據(jù)輸入，但是對于輸入點個數(shù)也有相應(yīng)的要求，必須為 m×2n的形式，其中，m為質(zhì)數(shù)，n為正整數(shù)。本文根據(jù)實際情況設(shè)計了一種適用于PFA算法的插值方案。

3.1 帶通采樣定理和插值參數(shù)的選擇

對于中心頻率在0f，信號帶寬為B的中頻模擬信號，如果用采樣率為sf進行采樣量化，采樣后的信號頻譜，必然是以sf為周期，對原始模擬信號的頻譜進行周期擴展的結(jié)果。如果要求采樣后的頻譜不發(fā)生混迭，必然要求

式(11)就是帶通采樣定理的主要內(nèi)容[10]。

因此原始采樣頻率sf=5.714MHz是滿足帶通采樣定理的。

在捕獲時，對原始數(shù)據(jù)進行線性插值，必然會改變采樣頻率，從上面的討論可以看出，在5.332MHz ≤ fs≤ 6.572MHz 這個范圍內(nèi)的采樣頻率，不會使得一個C/A碼周期（1ms）的樣點數(shù)正好等于2n。由于3×211=6144，對于這個組合數(shù)，有快速的 PFA算法，而與此相對應(yīng)的采樣頻率fs= 6.144MHz ，也能滿足帶通采樣定理的要求。

3.2 基帶混合中的數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換

本文采用的RF前端為ZARLINK的GP2015，信號的十進制值為+1，?1，+3，?3，每個值存放在一個字節(jié)中，有用的信息存放在一個字節(jié)的低2bit中，本文將其先提取出來每4個存儲到一個字節(jié)中，然后以字節(jié)讀取的方式一次性讀取 4個導(dǎo)航數(shù)據(jù)進行處理，數(shù)字信號的 4個十進制值表示方式見表1。本地載波的同相跟正交兩路信號也被量化為2bit形式，見表2，在這種定義方式中假設(shè)本地載波信號的幅度為2.5，導(dǎo)航數(shù)據(jù)跟載波信號的量化值被預(yù)先存起來，用(Sign, Mag)數(shù)組表示，根據(jù)系統(tǒng)特定的要求，如果要進行高靈敏度處理，則可以通過增加本地載波的量化級數(shù)來實現(xiàn)。對于前面所述的理論推導(dǎo)過程，量化只是改變了數(shù)據(jù)的表示精度從而簡化運算過程以提高效率，滿足原有的理論，只是需要在PFA算法上進行運算方式的調(diào)整。

表1 導(dǎo)航數(shù)據(jù)的2bit量化

表2 本地載波的2bit量化

本地載波信號的頻率跟接收到的導(dǎo)航數(shù)據(jù)的載波頻率近似相同，然后，將接收到的數(shù)據(jù)跟本地載波的同相正交兩路信號相乘，為基帶混合過程，以實現(xiàn)后續(xù)的低通濾波，基于以上的2個定義，只通過(Sign, Mag)數(shù)組的異或運算就可得到結(jié)果，在此定義另一種存放結(jié)果的數(shù)據(jù)格式，見表 3，2個表中的數(shù)據(jù)相乘時，表3中的High Mag比特為表1中的Mag比特；Low Mag比特是表2中的Mag比特；Sign比特則是前面兩表中Sign比特異或運算的結(jié)果。此時將原本的浮點數(shù)乘法運算轉(zhuǎn)化為了簡單的位操作，最終結(jié)果只需一次查表便可得到。

表3 基帶混合結(jié)果查詢表

C/A碼本身就是二進制的碼流，因此不用做轉(zhuǎn)換而直接被預(yù)先存儲起來。接下來的步驟就是對接收信號與本地信號的乘積以及C/A碼分別做快速傅里葉變換。

3.3 整數(shù)化與制表法結(jié)合的PFA算法

FFT的輸入數(shù)據(jù)在前面的步驟中已經(jīng)被完全整數(shù)化，本系統(tǒng)中采用的FFT算法都是基二時間抽取方式的，見文獻[11]，基二FFT的本質(zhì)是將原始的DFT運算分割成為一系列2點DFT運算，首先將一個原始的N點DFT分裂為2個N/2點DFT運算，然后再將N/2點DFT分裂為2個N/4點DFT，如此操作直到每個DFT的操作點數(shù)減少到2，此算法要求FFT的點個數(shù)是2的整數(shù)冪。一個基二時間抽取方式FFT的蝶形運算器結(jié)構(gòu)見圖1，其中，輸入數(shù)據(jù)（A, B）和輸出數(shù)據(jù)（A', B'）都是復(fù)數(shù)形式，Wn代表在FFT每個運算階段所需要的旋轉(zhuǎn)因子。本系統(tǒng)采用的是時間抽取的方式，在進行FFT運算之前先進行數(shù)據(jù)的逆序操作，將排好序的數(shù)據(jù)序列進行后續(xù)的2點DFT運算。

本系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)只有如表3所示的8個值，并且都是整數(shù)形式，不需要轉(zhuǎn)換，而對于一般形式的浮點FFT輸入數(shù)據(jù)，則要先進行整形化，具體的做法可以將其擴大一定倍數(shù)轉(zhuǎn)換為整數(shù)，因為FFT算法會產(chǎn)生固有的處理增益，對于實數(shù)輸入，其處理增益是 N/2，對于復(fù)數(shù)輸入，其處理增益是 N，其中，N為FFT的點數(shù)，然后在每一級蝶形運算以后對中間數(shù)據(jù)進行適當(dāng)縮小以防止數(shù)據(jù)溢出。這種做法對于點數(shù)比較少的FFT應(yīng)用比較合適，但是當(dāng)點數(shù)很大時，由于每次蝶形運算以后對中間數(shù)據(jù)的縮小會損失一定的精度，當(dāng)多次縮小操作后會使得精度大幅降低，因此，本文采取了前述的量化方式，使得輸入到FFT的數(shù)據(jù)值很小，最大的模值僅為6，運算過程中出現(xiàn)整數(shù)越界的情況會很少，至多進行一次數(shù)據(jù)縮小處理，保證了處理精度。

圖1 蝶形運算器結(jié)構(gòu)

為了減少運算時間，旋轉(zhuǎn)因子（正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)值）將不會被實時計算，而是預(yù)計算出來并且存儲在表格中，此表格只存儲了1/4周期的正弦函數(shù)值，用16bit二進制補碼表示，其對應(yīng)的十進制的整數(shù)值代表了?1.0到1.0之間的小數(shù)。例如，在表中一個值為16384的數(shù)實際代表的值為16384/32768=0.5，其中，32768為16bit二進制補碼代表的最大正數(shù)，F(xiàn)FT算法需要用到正余弦函數(shù)1/2周期的值，本文中為了節(jié)省內(nèi)存開銷，只存儲了1/4周期的正弦函數(shù)值，記為SinTable[]，并且每個數(shù)值都有相應(yīng)的索引，在后續(xù)運算用到的正余弦函數(shù)值都可以通過此索引從表中找到，計算規(guī)則見表4。其中，A代表FFT點個數(shù)，B代表正弦函數(shù)的索引值。

表4 旋轉(zhuǎn)因子映射公式

SinTable[]的預(yù)計算取決于FFT的點數(shù)，在本系統(tǒng)中由于采樣頻率（6.144MHz）是固定的，因此對于C/A碼的一個周期（1ms）進行操作，即6144個點，6144不是2的整數(shù)冪，但可以拆分為3×211的形式，可以采用一種特殊的FFT算法即PFA算法來進行計算，對于6144點的輸入，PFA算法先進行數(shù)據(jù)分組，分為3組，然后對3組2048點的數(shù)據(jù)分別進行FFT運算，最后在進行重新組合，因此旋轉(zhuǎn)因子表就只針對固定的2048點進行預(yù)計算。以下列舉了SinTable[]部分數(shù)據(jù)。

當(dāng)在蝶形運算器中需要用到旋轉(zhuǎn)因子的時候則通過查表的方式從 SinTable[]中得到，正弦函數(shù)1/4周期外的數(shù)據(jù)以及余弦函數(shù)的數(shù)據(jù)，通過表 4中的計算規(guī)則獲得，這樣在整個FFT過程中，所有的浮點運算都被轉(zhuǎn)換為了整數(shù)運算，并且在可能的情況下避免乘法運算，除法運算用右移操作來替代，使得運算速度大幅提高。本系統(tǒng)采用 32bit有符號數(shù)來存儲蝶形運算中的中間數(shù)據(jù)，這樣在極端的情況下(32768×6×2048)也不會出現(xiàn)數(shù)據(jù)越界。

4 算法分析與測試結(jié)果

4.1 運算效率分析及結(jié)果

對于一個N點DFT，其中的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為N2，而對于一個N點FFT，其復(fù)數(shù)運算次數(shù)為

當(dāng)N的值越大的時候，F(xiàn)FT的加速效果越顯著，每次復(fù)數(shù)運算可以被拆分為4個浮點乘和6個浮點加運算，在6144點的常規(guī)FFT中，浮點乘運算個數(shù)為（3×1024×11×4=135168），浮點加運算個數(shù)為（3×1024×11×6=202752），計算旋轉(zhuǎn)因子需要的三角運算個數(shù)為（3×1024×2=6144），浮點乘運算個數(shù)同樣為（3×1024×2=6144）。本算法將 FFT存在的大量浮點運算全部轉(zhuǎn)化為了整數(shù)運算，并且通過預(yù)存正弦函數(shù)表的方法省掉了計算旋轉(zhuǎn)因子的時間，其中，蝶形運算中存在的一些不必要的乘運算可以被省掉，當(dāng)乘法兩邊存在零值的時候便直接將結(jié)果置為零，當(dāng)乘法兩邊存在一的時候則保存原始數(shù)據(jù)作為結(jié)果，具體操作中會對數(shù)據(jù)兩邊的值進行檢測，以確定時候符合條件，這樣復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)將減少:

其中，N為FFT點個數(shù)。本系統(tǒng)采用2種類型的數(shù)據(jù)做了測試，一種為采樣率4.096MHz的模擬數(shù)據(jù)，一種為真實接收的導(dǎo)航數(shù)據(jù)，重采樣率為6.144MHz，測試平臺為雙核1.83GHz PC，操作系統(tǒng) Ubuntu-Linux，重復(fù) 50次實驗，對結(jié)果進行了平均，將本算法跟定點運算和浮點運算做了比較，算法的性能如圖2所示。

文獻[6]中采用的方法是利用特殊軟件相關(guān)器的方法，使用并行位操作來實現(xiàn) 32個點同時工作來模擬硬件相關(guān)器，其效率有很大程度的提高，但是其實施方式依然是采用循環(huán)相關(guān)的方式，與本文中采用的位操作結(jié)合整數(shù)化PFA算法做了對比，如圖3所示。

可以看出由于并行位操作的循環(huán)相關(guān)運算方式，使得捕獲耗時跟處理數(shù)據(jù)量成正比關(guān)系，而優(yōu)化PFA算法的本質(zhì)是FFT運算，PFA的運算量不會隨著處理數(shù)據(jù)量的成倍增大而過快的增長，因此在長時間累積的情況下有著明顯的優(yōu)勢。

4.2 資源節(jié)省效率分析及捕獲結(jié)果

導(dǎo)航數(shù)據(jù)采取2bit存儲的方式，在捕獲階段，為了提高靈敏度，需要做一個較長時間的累積[12]，本系統(tǒng)采用了 7ms的非相干累積，內(nèi)存消耗量為（7 × 6144× 2 × 2/8 = 21504）byte，用字節(jié)形式存儲相比，2bit方式資源占用量減少75%。在基帶混合階段，原始的復(fù)數(shù)信號是由2個浮點數(shù)組成的，內(nèi)存消耗量為（21× 6144 × 2× 4 = 1032192）byte，以及相應(yīng)數(shù)量的中間結(jié)果存儲，本系統(tǒng)采用了通過表1和表2這2個表位運算的方式來得到表3的索引，以查表的方式來得到結(jié)果，因此省去了所有的浮點數(shù)存儲空間，內(nèi)存開銷僅為3個表中的數(shù)據(jù)，可以忽略。在軟件接收機的跟蹤階段，需要跟蹤并處理相當(dāng)長的數(shù)據(jù)，本方法對于資源的節(jié)省效率更加突出，尤其在嵌入式設(shè)備上，資源的效率顯得更為重要。

本文的實驗平臺采用 Linux-Ubuntu 系統(tǒng)，Intel雙核2.8處理器PC機，實驗數(shù)據(jù)采用北京回龍觀地區(qū)的實地接受信號。對浮點運算和整數(shù)運算2種方式得到的捕獲結(jié)果做了分析，圖4為浮點運算結(jié)果，圖5為本系統(tǒng)采用的整數(shù)化方法得到的結(jié)果。實驗數(shù)據(jù)采用信噪比大約為?15dB的實地接收信號，由實驗結(jié)果可以看出，對于載波以及旋轉(zhuǎn)因子的量化并未對捕獲的精度造成很大影響，而速度得到了大幅提升。

圖4 浮點運算方式的捕獲結(jié)果

圖5 整數(shù)化方法的捕獲結(jié)果

4.3 量化級別與靈敏度分析

本地載波的量化級別會影響到捕獲靈敏度，實驗中采取2bit、4bit、8bit、16bit的量化方式分別對信噪比不同的導(dǎo)航數(shù)據(jù)進行了測試，對于捕獲結(jié)果以及捕獲時間進行了對比，實驗結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同量化級別的捕獲結(jié)果

由實驗可以看出當(dāng)量化等級高的時候在同一信噪比下捕獲到的衛(wèi)星數(shù)量比較多，量化等級低的時候隨著信噪比的降低，會出現(xiàn)丟星的情況，但是在信噪比為?25dB的情況下2bit量化仍然能夠捕獲到6顆衛(wèi)星，達到了位置解算的要求。在實際的應(yīng)用中，常常設(shè)定一個參數(shù)來衡量衛(wèi)星是否被捕獲到，此參數(shù)的值為循環(huán)累積的最大值與次大值的比值，比值越大說明相關(guān)峰越明顯，再根據(jù)此參數(shù)與閾值的比較來判斷捕獲結(jié)果，在本實驗中發(fā)現(xiàn)，2bit與4bit量化方式下，捕獲參數(shù)隨著信噪比的下降而降低的比較明顯，信噪比每下降 5dB，捕獲參數(shù)大約降低 22.5%，當(dāng)信噪比非常低的情況下，參數(shù)值衰減比較大從而低于閾值而被判為未被捕獲到，而高量化等級的方式下參數(shù)值隨信噪比降低而衰減的幅度比較小。因此，可以根據(jù)實際情況來選取量化的級別，信噪比高的時候選擇2bit或者4bit的方式，信噪比低的時候選取8bit或者16bit或者更高級別的量化方式，這樣在提高捕獲效率的同時保證了系統(tǒng)靈敏度的需求。

5 結(jié)束語

本文的重點在于提高軟件接收機捕獲階段的效率，考慮到GPS數(shù)據(jù)的特殊存儲結(jié)構(gòu)，提出了一種使用2bit進行操作的PFA算法。在此方法中包括GPS數(shù)據(jù)，載波頻率以及FFT算法中的旋轉(zhuǎn)因子都將被量化為比特類型，F(xiàn)FT中的浮點運算被轉(zhuǎn)化為整數(shù)運算。實驗表明此算法使得存在大量FFT運算的捕獲階段效率得到大幅提升，另外，采用多種量化方法也大大減少了資源開銷，尤其在后續(xù)的信號跟蹤階段效果更加明顯。嵌入式軟件接收機的實時化實現(xiàn)一直是一個難題，本算法消除了系統(tǒng)中的絕大部分浮點運算，并且進行了大量的量化操作，在性能以及資源都處于劣勢的嵌入式平臺上將會發(fā)揮更大的作用，為嵌入式軟件接收機的實時化奠定了基礎(chǔ)。

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