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    因小識大
    ——“用好,用足,用活”一道題

    2012-10-26 03:45:36李莉
    中國校外教育 2012年20期
    關鍵詞:用活過點原題

    ◆李莉

    (浙江省安吉縣豐食溪中學)

    因小識大
    ——“用好,用足,用活”一道題

    ◆李莉

    (浙江省安吉縣豐食溪中學)

    經常聽到有老師抱怨:“與這道題一模一樣的類型我讓學生做過好幾遍了,可這次考試還是有那么多學生做不出?!痹蛟谀?有很多方面,但其中有一點可能容易忽視,那就是在學生解題和老師分析時,往往就題論題。不注意知識之間的融會貫通,學生不會觸類旁通。這就需要老師們平時多思考一下,善于“借題發(fā)揮”,把一道有較強代表性和典型性的問題用好、用足、用活。讓學生們通過一道題的掌握,能解一類題,使知識網絡化。整合思維模式,走出題海戰(zhàn)術,真正做到輕負高質。

    一、原題展示

    如圖,AB⊥BD于點B,CD⊥BD于點D,P是BD上一點,且 AP=PC,AP⊥PC,則△ABP≌△PDC。請說明理由。

    分析:此題是一道基礎題,很容易發(fā)現(xiàn)已具備證全等的兩個條件:①∠B=∠D,②AP=PC,還缺一個條件需進一步挖掘,由AP⊥PC能想到最后一個條件,應找∠APB=∠C或∠A=∠CPD。此題的圖形就是常說的“三垂直圖”的特殊情況,它作為一個基本圖形,絕大多數學生應該對它十分熟悉,而且會應用它的結論解決其他問題。

    二、特殊圖形應用

    應用1:變身展示。如圖,Rt△APC中,∠APC =90°,AP=PC,過點P任作一直線l,過點A作AB⊥直線l于B,過點C作CD⊥直線l于D。求證:△ABP≌△PDC(或求證:BD=AB+CD)。

    分析:此題嚴格說來與原題并無二樣,但區(qū)別在于條件給出的方式不一樣,特別是過點P任作一直線l,讓很多學生頓感難度加大,感覺不易把握這個“任”字。其實這里的“任”字也是受限的,因為在“如圖”兩字前提下,△APC應是位于直線l同側。通過本題的“變身”,讓學生認識到很多題的本質一樣,只不過有時它們會穿上不同的外衣。

    應用2:課后思考:若讓直線l繞點P轉動起來,其他條件不變,是否始終有△ABP≌△PDC?

    分析:設計本題作為課后思考題,主要原因有二:其一,是上題的直線l并沒有達到任意性,讓人意猶未盡;其二,是若△APC不位于直線l的同側,則圖形就不是原題的“模型”,不利于加強“建?!保稚⒘俗⒁饬?,但課后若能再做一下拓展,就能達到把課堂效益放大的作用。

    三、題目從特殊到一般

    若把條件AP=PC拿掉,則結論△ABP≌△PDC可變?yōu)椤鰽BP∽△PDC,組成新題如下:

    如圖:AB⊥BD于點B,CD⊥BD于點D,P是BD上一點,AP⊥PC,則△ABP∽△PDC。請說明理由。

    分析:原題的圖形嚴格來說是三垂直圖形的特殊情況,因為除了三垂直之外,還多了一個條件AP=PC,若拿掉這個條件,才是一般的三垂直圖。那么原題的結論△ABP≌△PDC也相應變成一般的結論△ABP∽△PDC,從特殊到一般是研究問題的常用方法,通過本題可讓學生了解到科學地研究

    問題一個好方法,而不是單純地讓學生成為解題的機器。

    四、一般基本圖形的應用

    應用1:函數問題:如圖,AQ⊥MQ,NM⊥MQ,Q、M分別為垂足,點P是線段MQ上(不包括端點)的動點,連接PA,過點P做直線BP,使BP⊥PA,交射線MN于點B,連接AB,已知AQ=1,MQ=2并設PQ=x,用S表示四邊形MQAB的面積。

    (1)求S關于x的函數表達式與自變量x的取值范圍;

    (2)當x為何值時,S的值最大?此時四邊形MQAB是哪一種特殊四邊形?S的最大值是多少?

    分析:本例是為了加強基本圖形的應用而設置的,應通過本題讓學生學會從復雜背景下識別出基本圖形,應用一般結論發(fā)現(xiàn)解決實際問題的突破口。本題若馬上想到△BMP∽△PQA,就簡單了。由BM∶PQ=MP∶再應用二次函數相關知識得解。

    應用2:折疊問題:如圖,折疊矩形ABCD的一邊CD,使點D落在AB邊的點E處,CF為折痕。

    (1)△BCE與△AEF有什么關系?

    (2)求矩形ABCD的周長。

    分析:本題可設EA=3x,F(xiàn)A=4x,則EF=5x,BC=9x,利用基本圖形的相似關系,很容易求得BE=12x,在Rt△BCE中,(9x)2+(12x)2=(52

    應用3:變式拓展改為選擇題:如圖:AB⊥BD于點B,CD⊥BD于點D,P是BD上一動點(不包括端點),AB=4,CD=6,BD=14。若連結AP,CP所得的兩個三角形相似,則BP的長為( )

    A.2 B.5.6

    C.12 D.上述各值都可能

    分析:通過本題讓學生認識到,同樣的題目可由不同的題型出現(xiàn),作為選擇題,本題的得分率明顯高多了,可用的方法也不只是從正面求解,也可代入檢驗得出。

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