滾珠絲杠副臨界轉(zhuǎn)速研究

汪愛(ài)清 戰(zhàn)曉明

（南京工藝裝備制造有限公司，江蘇南京 210004）

高速旋轉(zhuǎn)的滾珠絲杠副相當(dāng)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，因此對(duì)滾珠絲杠副的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)研究可以借鑒轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的研究方法。與之不同的是在研究絲杠旋轉(zhuǎn)、螺母直線移動(dòng)工況下的滾珠絲杠副的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，可不必考慮由軸上盤狀零件旋轉(zhuǎn)引起的“陀螺效應(yīng)”的影響。除此之外，必須考慮絲杠的軸端安裝方式（即約束形式）以及螺母移動(dòng)過(guò)程中作用在絲杠上的附加約束，對(duì)絲杠臨界轉(zhuǎn)速的影響。

1 滾珠絲杠副旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析方法

對(duì)于滾珠絲杠副臨界轉(zhuǎn)速的研究，首先要建立與滾珠絲杠副等效的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分析模型。進(jìn)行分析建模時(shí)，將滾珠絲杠副系統(tǒng)分成許多不同的單元;從絲杠軸一端的邊界條件開(kāi)始，計(jì)算該段的狀態(tài)參數(shù)（撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力），然后根據(jù)與其相鄰段在此截面處有關(guān)參數(shù)的約束條件，推算出下一段的狀態(tài)參數(shù)。依次類推，計(jì)算到絲杠轉(zhuǎn)軸的另一端。最后根據(jù)不同的計(jì)算要求及轉(zhuǎn)軸末端的邊界條件，完成對(duì)滾珠絲杠副系統(tǒng)動(dòng)力特性的分析［2］。以上分析過(guò)程所涉及的轉(zhuǎn)子單元主要包括質(zhì)量分布均勻的均質(zhì)軸段單元以及軸段間具有集中質(zhì)量的彈性支撐單元兩種。下面首先給出這兩種單元的傳遞矩陣，然后運(yùn)用Riccati傳遞函數(shù)矩陣法建立絲杠副等效轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，并施加與絲杠實(shí)際約束相符的邊界條件，最終求得螺母在不同位置時(shí)絲杠的臨界轉(zhuǎn)速。

1.1 考慮質(zhì)量的均質(zhì)軸段的傳遞矩陣

對(duì)于旋轉(zhuǎn)的滾珠絲杠副，其長(zhǎng)度與截面直徑的比值通常較大，所以在對(duì)其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)振動(dòng)的研究過(guò)程中常忽略旋轉(zhuǎn)效應(yīng)與剪切效應(yīng)對(duì)絲杠臨界轉(zhuǎn)速的影響，僅考慮各軸段截面承受的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力等力學(xué)載荷因素的影響。將其受力狀態(tài)記為狀態(tài)列陣:Z=［xθM Q］T;對(duì)于均質(zhì)絲杠軸段，其力學(xué)狀態(tài)如圖1所示。

由于絲杠軸段單元均布質(zhì)量的存在，可列出其在X軸方向的力學(xué)平衡方程與在X－Z平面內(nèi)的力矩平衡方程為

式中:M為彎矩，N·m;θ為轉(zhuǎn)角，rad;N為軸向力，N;Q為剪切力，N;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2;m為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，kg;x為撓度，m;z為軸段相對(duì)絲杠左端面的距離，m。

假設(shè)滾珠絲杠副旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng):

則將該式代入式（1）中即可得到Euler－Bernoulli（伯努利—?dú)W拉）梁動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型:

式中:I為軸段慣性矩，m·kg·s2;E為彈性模量，N/m2;ωn為軸段彎曲振動(dòng)的固有頻率，Hz。

對(duì)式（2）中所描述的微分方程進(jìn)行求解可得:

式中:c1、c2、c3、c4是常數(shù)，由軸單元的邊界條件確定。由此可得:

所以位于z=L處的絲杠均質(zhì)軸段的傳遞函數(shù)矩陣為

式中:P=（coshλL+cosλL）/2，S=（sinhλL+sinλL）/2，R=（coshλL－cosλL）/2，W=（sinhλL－sinλL）/2。

1.2 集中質(zhì)量與彈性支撐綜合作用下的絲杠副綜合軸段的傳遞矩陣

傳統(tǒng)意義上的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)綜合軸段是集集中質(zhì)量單元、彈性支撐單元以及均質(zhì)軸單元于一體的綜合單元。其傳遞函數(shù)也是由這3種類型的單元集成的綜合傳遞矩陣。滾珠絲杠副旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的綜合軸段主要體現(xiàn)在螺母與絲杠的相互作用軸段;在絲杠兩端軸頸的軸承連接部位，主要是彈性支撐對(duì)其臨界轉(zhuǎn)速有影響。

集中質(zhì)量軸段兩截面上的狀態(tài)參數(shù)如圖2所示。

其左右兩端截面的力學(xué)平衡方程為

彈性支撐段兩截面的狀態(tài)參數(shù)如圖3所示。

圖3中彈性支撐段彈性支撐具有橫向剛度k（N/m）和角向剛度Cb（N·m/rad）兩種彈性因素。該種支撐方式將會(huì)產(chǎn)生支反力R=kX與支反力矩Mb=Cbθ，則其截面兩端的力學(xué)平衡方程為:

綜上兩種單元模式，可得出如圖4所示的綜合軸段的傳遞矩陣為

式中:l為綜合軸段長(zhǎng)度，m。

2 Riccati傳遞矩陣算法

應(yīng)用Riccati傳遞矩陣法計(jì)算滾珠絲杠副－支撐系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的基本原理是基于各軸段的傳遞矩陣與同一截面上的內(nèi)力與變形參數(shù)之間的Riccati傳遞矩陣進(jìn)行的，軸系各段的內(nèi)力與變形參數(shù)必須滿足已知的邊界條件，從而確定軸系的臨界轉(zhuǎn)速及相應(yīng)的振型。其算法實(shí)現(xiàn)的主要步驟為［5］:

（1）系統(tǒng)計(jì)算模型的建立:將滾珠絲杠副－支撐系統(tǒng)離散成若干軸段，建立相應(yīng)的綜合軸段與均質(zhì)軸段，準(zhǔn)備與各軸段有關(guān)的原始數(shù)據(jù)。

（2）軸段邊界條件的判定:實(shí)際的邊界條件可能有自由端、剛性支撐、彈性支撐、懸臂盤。從計(jì)算程序的簡(jiǎn)化與分析方便的角度出發(fā)，一律簡(jiǎn)化起始、終止邊界條件為虛擬自由端，由此可得其邊界條件為:

［f］i、［e］i為第i截面上的狀態(tài)參數(shù)列陣Zi的兩個(gè)子陣，分別對(duì)應(yīng)內(nèi)力參數(shù)列陣［M Q］與變形參數(shù)列陣［Xθ］。同一截面上的變形參數(shù)與內(nèi)力參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即為Riccati變換:

［s］i為第i截面上的Riccati傳遞矩陣。

根據(jù)起始端的邊界條件，可以假定起始端截面（截面一）上的 Riccati傳遞矩陣為:［S］1=0。

（3）依次計(jì)算Riccati傳遞矩陣:在求得由自由端（終止端）截面上的Riccati傳遞矩陣［S］n+1后，根據(jù)邊界條件建立頻率方程:

根據(jù)右端的邊界條件:［e］n+1≠0可得:

該式就是基于Raccti法的頻率方程。對(duì)于此頻率方程的計(jì)算可以采用掃頻法，即從初始頻率開(kāi)始，按適當(dāng)?shù)念l率步長(zhǎng)依次計(jì)算，直到頻率方程的行列式余值變號(hào)，可判斷在此頻率間隔中應(yīng)存在一個(gè)固有頻率。于是采用弦割法或其他有效的迭代逼近方法，求得滿足進(jìn)度要求的臨界轉(zhuǎn)速。

3 滾珠絲杠副旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果與結(jié)論

以DKFZD6310R－6－P4/2850×2280滾珠絲杠副為例，進(jìn)行滾珠絲杠副旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算。對(duì)于滾珠絲杠副轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的邊界條件與軸段劃分如圖5所示。其中包括29個(gè)截面、2個(gè)自由軸段、23個(gè)均質(zhì)軸段、3個(gè)綜合軸段，分別計(jì)算螺母在絲杠不同位置時(shí)的絲杠高速旋轉(zhuǎn)的臨界轉(zhuǎn)速，如圖6。圖中1號(hào)線、2號(hào)線、3號(hào)線、4號(hào)線依次標(biāo)識(shí)的是螺母位于距絲杠左端0.461 m、1.031 m、1.373 m、2.513 m等不同位置時(shí)絲杠的臨界轉(zhuǎn)速變化情況;該圖的橫坐標(biāo)反映的是頻率方程（11）的求解范圍，縱坐標(biāo)描述的是由頻率方程（11）得出的行列式余值Δ的變化，不同編號(hào)的曲線在Δ=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的第一點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，即為螺母位于該位置時(shí)絲杠的一階臨界轉(zhuǎn)速值。

將圖6所示的絲杠一階臨界轉(zhuǎn)速值匯總，見(jiàn)表1。

表1 Riccati矩陣法計(jì)算DKFZD6310R－6－P4/2850×2280滾珠絲杠副臨界轉(zhuǎn)速值

從表1可以看出絲杠在高速運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，隨著螺母位置的變化，絲杠的臨界轉(zhuǎn)速經(jīng)歷了一個(gè)由小變大、再變小的過(guò)程?？傮w上講，當(dāng)螺母位于絲杠滾道最右端有效圈時(shí)，絲杠的臨界轉(zhuǎn)速最低，大約在2 850 r/min左右;當(dāng)螺母位于絲杠滾道其他有效位置時(shí)，絲杠的臨界轉(zhuǎn)速都高于該值，這對(duì)該型號(hào)滾珠絲杠副的設(shè)計(jì)選型具有重要的指導(dǎo)意義。

［1］孫紅巖，張小龍.基于ANSYS軟件的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速及模態(tài)分析［J］.機(jī)械制造與研究，2008，37（4）:53 －54.

［2］秦然，張建偉.轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的求解方法比較［J］.沈陽(yáng)化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（3）:74－76.

［3］黃金平.轉(zhuǎn)子瞬態(tài)動(dòng)平衡方法研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2005（3）.

［4］徐金鎖.帶細(xì)長(zhǎng)軸的動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性分析［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2006.

［5］許本文，焦群英.機(jī)械振動(dòng)與模態(tài)分析［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社.1998.