高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教學(xué)

陳杰

摘要：通過(guò)作者十多年從事高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)從高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法方面探討如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新教學(xué)；創(chuàng)新；數(shù)學(xué)活動(dòng)

創(chuàng)新是現(xiàn)時(shí)代的主旋律，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，是現(xiàn)代教育的最主要目標(biāo)。然而，長(zhǎng)久以來(lái)，高等數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是一門高度抽象的學(xué)科。對(duì)大多數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，都是從公理化體系出發(fā)，沿著“定義——定理——證明——推論”這樣一條邏輯演繹的思路進(jìn)行教學(xué)。公理化體系的建立，充分展示了數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?。但是，在完美的公理化體系的包裝下，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，處理問(wèn)題，解決問(wèn)題的思維軌跡往往被掩蓋了。事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)由于其高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓浴⒔Y(jié)論的確定性和應(yīng)用的泛在性等特征，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的難度，往往使學(xué)生視如畏途。如果一味按照這樣的思路去進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)，難免會(huì)讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)太抽象，太難，也難免感覺單調(diào)和枯燥，因而失去學(xué)習(xí)的興趣，教學(xué)效果不高。因此，如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中使學(xué)生聚精會(huì)神和一心一意聽課和思考，提高教學(xué)效果，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，就成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育工作者積極探討的研究課題。本文僅就數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法談?wù)勛约旱目捶ê腕w會(huì)，以供同仁商榷。

一、教學(xué)內(nèi)容的選取、改進(jìn)和創(chuàng)新

高等數(shù)學(xué)課程在高等學(xué)校的人才培養(yǎng)中，不僅是一種工具、一種知識(shí)、一種語(yǔ)言，而且也是一種素質(zhì)、一種思維模式、一種文化。在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中不僅要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要在傳授知識(shí)的同時(shí)，傳授數(shù)學(xué)的科學(xué)思想、科學(xué)方法和科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力。這是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容改革和建設(shè)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。

新的高等數(shù)學(xué)教學(xué)理念是要促進(jìn)學(xué)生的全面和諧發(fā)展，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)方面達(dá)到不同的發(fā)展，而不是一定都要成為數(shù)學(xué)家。所以，應(yīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)為學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)提供基本線索，基本內(nèi)容和主要的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)。因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的 ，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的，應(yīng)有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，這就需要教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)盡量來(lái)源于實(shí)際生活，源于自然，社會(huì)和科學(xué)中具有一定的數(shù)學(xué)價(jià)值的現(xiàn)象和問(wèn)題。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，提出要吐故納新。積極探索用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法改造傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的途徑。在講解經(jīng)典內(nèi)容的同時(shí)，要注意滲透現(xiàn)代的思想、觀念和方法，采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)適當(dāng)?shù)靥峁﹥?nèi)容展示的“窗口”和延伸發(fā)展的“接口”。

例如，積分是微積分中一個(gè)基本概念。大多數(shù)教材在內(nèi)容上反映出來(lái)僅從幾個(gè)實(shí)例出發(fā)，歸納出需要研究和計(jì)算的一類和式極限，然后將這類和式極限定義為積分。但是我覺得要是通過(guò)對(duì)一兩個(gè)實(shí)例的深入淺出的分析，說(shuō)明積分概念是為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展需要，從研究均勻分布量的求和問(wèn)題（例如，物質(zhì)均勻分布的物體質(zhì)量）到解決某些非均勻分布量（例如，物質(zhì)非均勻分布的物體質(zhì)量）求和問(wèn)題而產(chǎn)生的，這就深刻得多而且容易接受。揭示導(dǎo)數(shù)是求均勻變化量的變化率的除法在求非均勻變化的變化率中的推廣和發(fā)展。積分的思想方法就是解決均勻分布量求和問(wèn)題的乘法在解決非均勻分布量求和問(wèn)題中的推廣和發(fā)展，它在本質(zhì)上就是局部線性化的思想。因此，初等數(shù)學(xué)中的除法和乘法這對(duì)矛盾在高等數(shù)學(xué)中就表現(xiàn)為導(dǎo)數(shù)和積分。我們應(yīng)該把這種思想內(nèi)容統(tǒng)一到各種類型的數(shù)值函數(shù)的積分之中，進(jìn)而闡明積分應(yīng)用中的微元法的思想就是局部線性化的思想。提高學(xué)生用各類積分解決相應(yīng)實(shí)際問(wèn)題的能力。這種內(nèi)容的講授就會(huì)使學(xué)生感到數(shù)學(xué)并非是一堆僵化的、神秘莫測(cè)抽象難懂的定義、定理和公式，而是解決實(shí)際問(wèn)題所需要的、威力無(wú)窮的工具。

在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，內(nèi)容選取的原則是廣而淺，少而精、刪繁就簡(jiǎn)。同時(shí)注意以下幾個(gè)突出：突出理論問(wèn)題的深化與具體化。如處理極限概念時(shí)，加強(qiáng)收斂速度的直觀理解；突出近似計(jì)算的原理；突出信息技術(shù)，多媒體技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理；突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用與建模能力的培養(yǎng)。采用實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題作為研究對(duì)象。如政府稅率的制定，銀行利率的分析，公司運(yùn)營(yíng)的最優(yōu)策略，牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力的過(guò)程等著重培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，分析能力和應(yīng)用能力。教師應(yīng)有意識(shí)地收集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的實(shí)例，盡可能多地將高等數(shù)學(xué)與工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域聯(lián)系起來(lái)，展現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的巨大魅力。教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)對(duì)課程中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)方法加以闡述，如類比、演繹、遞推、構(gòu)造、換元、化歸、建模等方法，對(duì)深化學(xué)生知識(shí)，提高學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的整體素質(zhì)有著重要作用。就拿建模來(lái)說(shuō)，一切數(shù)學(xué)概念和知識(shí)都是從現(xiàn)實(shí)世界中的各種模型中抽象出來(lái)的，利用建模思想進(jìn)行教學(xué)是理論與應(yīng)用相結(jié)合的重要手段。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)也強(qiáng)調(diào)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，建立模型，再引入概念和方法。我認(rèn)為，創(chuàng)新教育中貫徹建模思想，應(yīng)強(qiáng)調(diào)量的差異，應(yīng)舉更多的有實(shí)際意義的例子。

二、教學(xué)方法的創(chuàng)新

新教學(xué)理念應(yīng)教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)，如何思考，如何發(fā)現(xiàn)，變“信息源泉”和“知識(shí)傳播者”為一個(gè)合作者和一個(gè)咨詢者，讓學(xué)生以生活中“找”數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)生活化，從實(shí)踐中“做”數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)活動(dòng)化；在情景中“問(wèn)”數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題化。學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，創(chuàng)新的課堂教學(xué)是主渠道。必須擯棄傳統(tǒng)的教學(xué)模式，采用科學(xué)探究性的教學(xué)模式和創(chuàng)造性培養(yǎng)的教學(xué)模式，如嘗試發(fā)現(xiàn)型，自學(xué)——探究型，引導(dǎo)——探索型等教學(xué)模式，在這樣的教學(xué)模式中進(jìn)行創(chuàng)造性地教和學(xué)；必須改革傳統(tǒng)的注入式教學(xué)方法，采用以啟發(fā)式為指導(dǎo)思想的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)方法，如嘗試指導(dǎo)法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、啟研法、自學(xué)輔導(dǎo)法等。

要組織好一堂課，教師需具備兩個(gè)最基本的條件，一是要有較好的表達(dá)能力，二是吃透教學(xué)內(nèi)容。但是僅僅具備上述兩點(diǎn)只是最低層面的要求。一個(gè)教師如果僅僅能夠把知識(shí)準(zhǔn)確無(wú)誤地傳授給學(xué)生，而不能告訴學(xué)生為什么要做某些事，學(xué)生就不能真正理解所學(xué)的內(nèi)容從而將其自身的能力，素質(zhì)教育就無(wú)從談起。在教學(xué)過(guò)程中，我們要教給學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。因?yàn)橐磺锌茖W(xué)的研究，毫無(wú)例外地都要經(jīng)歷提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程。

科學(xué)研究是由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的。費(fèi)馬和巴斯卡的關(guān)于“賭金問(wèn)題”的討論引發(fā)了“概率論”。牛頓對(duì)萬(wàn)有引力的思考導(dǎo)致微積分的創(chuàng)立，歌得巴赫猜想驅(qū)動(dòng)許多人去思考。因此，數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教學(xué)應(yīng)該用一系列的問(wèn)題組織起來(lái)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下呈現(xiàn)數(shù)學(xué)。我這里提到的數(shù)學(xué)問(wèn)題是指本原的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、對(duì)于在全局上增加學(xué)生的理解、能激發(fā)學(xué)生火熱的思考，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力的問(wèn)題。

例如在講導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以用這樣的問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)：“在函數(shù)y = f(x)中，描述的是自變量x與因變量y的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而微積分是處理增量分析。為什么要研究增量？設(shè)有兩個(gè)變量x和y，x—某商品的價(jià)格，y—該商品的銷量。在一定的條件下，y與x的關(guān)系可用價(jià)格——銷售函數(shù)y = f(x)來(lái)描寫。作為決策者，銷售經(jīng)理雖然關(guān)心函數(shù)f，但是他首先要考慮的問(wèn)題是，如果現(xiàn)在的價(jià)格是x0，在x0的基礎(chǔ)上調(diào)整價(jià)格?駐x時(shí)，市場(chǎng)的反應(yīng)（銷量的增減量?駐y）如何？銷售經(jīng)理應(yīng)研究的是?駐x與?駐y的關(guān)系?駐y = f (x0+?駐x)- f(x0)。如何分析增量?駐x，?駐y，這是微積分的靈魂?！眲傞_始接觸微積分的學(xué)生。不知道為什么要研究增量，對(duì)增量?駐x的感受是“天上突然掉下個(gè)林妹妹”或者是“霧里看花開”。

在每一種數(shù)學(xué)理論和每一個(gè)重大定理的背后，都有一堆生動(dòng)的故事，躁動(dòng)著引人入勝的問(wèn)題。正是數(shù)學(xué)問(wèn)題，成為驅(qū)使數(shù)學(xué)家以畢生的精力，最美好的青春年華去追求答案的動(dòng)因。

注重學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新動(dòng)力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透文化數(shù)學(xué)，可以從以下幾方面著手：

首先，史料書籍。讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)藏著的每一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)的偶然性和必然性。以及其中所蘊(yùn)藏著的不懈的追求與探索精神。眾多數(shù)學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)，踏實(shí)，不畏艱難追求真理，敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神，會(huì)給學(xué)生極大的啟示和教育，使其受益終身。其次，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)去，現(xiàn)在和未來(lái)，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿和動(dòng)態(tài)，有助于學(xué)生產(chǎn)生使命感。這些不僅豐富了學(xué)生的頭腦，更重要的是啟迪了學(xué)生的智慧，開闊了他們的視野。

其次，數(shù)學(xué)名人和數(shù)學(xué)故事。榜樣的力量是無(wú)窮的。在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生了解一些數(shù)學(xué)名人，一方面對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)樹立了榜樣；另一方面也為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)指明了方向。讓他們感受到數(shù)學(xué)不僅僅是名人的游戲，是名人的執(zhí)著信念，熱愛科學(xué)，堅(jiān)強(qiáng)不屈，忘我投入，才使他們?nèi)〉昧肆钊瞬毮康某删?。?shù)學(xué)故事引人入勝。貼近生活與個(gè)體知識(shí)背景，經(jīng)驗(yàn)背景，能激起學(xué)生的某種愿望，情感，興趣。使學(xué)生輕松擷取數(shù)學(xué)中的小珍寶。小故事往往蘊(yùn)藏大智慧，能在愉快的閱讀中得到人生的啟迪，探討思維的竅門。

當(dāng)學(xué)生了解定理，原理誕生的時(shí)代背景，艱苦歷程，以及科學(xué)家為此付出的心血、汗水之后，再去學(xué)習(xí)和品味定理的內(nèi)涵，感受會(huì)大不一樣，展現(xiàn)在他們眼前的不算是孤零零的符號(hào)和枯燥的推演，而是有血有肉的科學(xué)寶庫(kù)中的珍品，從中還能悟出一些閃光的東西。激勵(lì)他們更加自覺地掌握前人經(jīng)過(guò)奮斗而得來(lái)的知識(shí)。

數(shù)學(xué)興趣是學(xué)生的一種力圖接近、探究了解數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的心理傾向，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自覺性和積極性的核心因素。它不僅對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有極大的推動(dòng)作用，而且還使學(xué)生在集中精力獲得知識(shí)的同時(shí)，努力地去進(jìn)行創(chuàng)造性的活動(dòng)，成為創(chuàng)新的動(dòng)力因素。學(xué)習(xí)的最好刺激，乃是對(duì)材料的興趣。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，都是要從教學(xué)素材中選取通俗生動(dòng)的事例，采用適合學(xué)生實(shí)際情況的方式激發(fā)學(xué)生的興趣，如使用“外幣兌換中的損失”來(lái)引起學(xué)生對(duì)反函數(shù)概念的學(xué)習(xí)興趣，“多少顆通信衛(wèi)星的信號(hào)可以覆蓋整個(gè)地球”來(lái)引起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)“線面積分的”高度重視等。在興趣的形成過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引起學(xué)生的探究活動(dòng)，進(jìn)而成為創(chuàng)新的動(dòng)力。