變分?jǐn)?shù)階微積分在描述材料力學(xué)性質(zhì)演變方面的應(yīng)用

李彥青 殷德順 吳 浩

（河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 210098）

最近，分?jǐn)?shù)階微積分正在被廣泛地應(yīng)用于粘彈性材料的研究中［1－4］.人們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型具有參數(shù)少、形式簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，并且模型中的參數(shù)可以指代材料力學(xué)性質(zhì)，使定量描述力學(xué)性質(zhì)成為可能.但是常分?jǐn)?shù)階中階數(shù)是不變的，不考慮力學(xué)性質(zhì)隨時(shí)間變化的情況，而在實(shí)際中，材料在受力過(guò)程中，力學(xué)性質(zhì)是隨時(shí)間變化的，這意味著在受力過(guò)程中階數(shù)也應(yīng)該是隨時(shí)間變化的，這就需要考慮采用變分?jǐn)?shù)階模型來(lái)定量描述材料力學(xué)性質(zhì)的變化情況.

變分?jǐn)?shù)階微積分本構(gòu)模型也開(kāi)始引起廣大研究者的興趣［5］，變分?jǐn)?shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的最新發(fā)展，它的階數(shù)不但不再是整數(shù)而且可以隨時(shí)間或空間變化，即可以是一個(gè)變量.所謂變分?jǐn)?shù)階模型就是希望通過(guò)階數(shù)的變化來(lái)描述變形過(guò)程中力學(xué)性質(zhì)的演變.這一方面的研究在國(guó)際上剛剛起步，還沒(méi)有引起國(guó)內(nèi)學(xué)者的重視，本文希望建立變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型，可以定量描述粘彈性材料力學(xué)性質(zhì)演變.

本文在常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上提出了變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型.從理論上講，可以通過(guò)變分?jǐn)?shù)階階數(shù)的變化來(lái)展示材料力學(xué)性質(zhì)的變化，但其結(jié)果是否可靠是個(gè)問(wèn)題.通過(guò)對(duì)塑性金屬銅、鋁、低碳鋼進(jìn)行了一系列的等應(yīng)變率加載試驗(yàn)，并用本文所提的變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型進(jìn)行分析，探求其在受力過(guò)程中力學(xué)性質(zhì)的演變與實(shí)際是否相符，以此來(lái)驗(yàn)證該模型是否可以用來(lái)描述材料力學(xué)性質(zhì)演變.

本文所研究的階數(shù)的變化范圍為0到1，所以該模型也可用于其他粘彈性材料在具有時(shí)間效應(yīng)的受力及變形過(guò)程中力學(xué)性質(zhì)演變的分析，如巖土及高分子材料的應(yīng)力松弛與蠕變，等應(yīng)變率加載等.之所以選擇金屬作為研究對(duì)象是因?yàn)椋孩俟腆w力學(xué)理論來(lái)源于塑性金屬；②塑性金屬性質(zhì)穩(wěn)定，而且對(duì)于金屬的性質(zhì)研究較為透徹.

1 變分?jǐn)?shù)階微分簡(jiǎn)介

變分?jǐn)?shù)階微積分是在常分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，目前對(duì)于變分?jǐn)?shù)階有很多定義［5－9］，而階數(shù)α（t，τ）一般有3種形式［10］：α（t，τ）＝α（t），α（t，τ）＝α（τ），α（t，τ）＝α（t－τ）.而第1種形式?jīng)]有階數(shù)記憶性，第2種形式具有較弱的階數(shù)記憶性，第3種形式具有較強(qiáng)的階數(shù)記憶性.所謂階數(shù)記憶性是指歷史時(shí)間點(diǎn)的階數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)當(dāng)前時(shí)間的計(jì)算結(jié)果有影響，而記憶性強(qiáng)弱是由階數(shù)改變產(chǎn)生的影響大小決定的.在本文中采用第3種形式.

本文采用Caputo型分?jǐn)?shù)階微分理論算子，對(duì)函數(shù)f（t）的α（t）階積分在α（t，τ）＝α（t－τ）時(shí)的定義為

當(dāng)f（t）＝at時(shí)，令公式（1）中的t－τ＝x，則公式（1）變?yōu)?/p>

將公式（2）寫(xiě)成疊加的形式，疊加形式所表示的物理意義則可由圖1來(lái)說(shuō)明.令g（tk，αk）＝），則可得

公式（3）中的a（t）按照表1變化.

表1 階數(shù)α（t）的取值

圖1為疊加形式的變分?jǐn)?shù)階函數(shù)物理意義的示意圖.圖1中的黑實(shí)線為新的變分?jǐn)?shù)階微分，虛線為階數(shù)分別為α1、α2、α3的常分?jǐn)?shù)階微分.從圖中可以看出黑色實(shí)線是由常分?jǐn)?shù)階部分曲線平移組成.圖1（a）中，按時(shí)間的先后順序，階數(shù)的順序?yàn)棣?、α2、α3，如果順序變?yōu)棣?、α1、α3，則變分?jǐn)?shù)階就為圖1（b）.通過(guò)圖1（a）與（b）的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，雖然t2到t3的階數(shù)都為α3，但是由于0到t2之間的階數(shù)不同，導(dǎo)致變分?jǐn)?shù)階的結(jié)果不同.由此可以看出新的變分?jǐn)?shù)階對(duì)階數(shù)有記憶性，再者新的變分?jǐn)?shù)階由常分?jǐn)?shù)階微分直接拓展而來(lái)，與常分?jǐn)?shù)階有直接的聯(lián)系，因此可以認(rèn)為這個(gè)定義比較適合將要建立的本構(gòu)模型.

圖1 疊加算法的物理意義示意圖

2 變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型

2.1 常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型

介于理想固體與理想流體之間的材料的本構(gòu)方程可以用Smit和De Vries［11］提出的“中間模型”來(lái)描述

式中，E、θ、μ均為材料常數(shù).當(dāng)α為常數(shù)時(shí)，材料的力學(xué)性質(zhì)不發(fā)生改變，因此這個(gè)模型被稱(chēng)為常分?jǐn)?shù)階模型.

公式（4）的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型能夠?qū)⒘W(xué)性質(zhì)看作一個(gè)序列，理想固體和牛頓流體位于序列的兩端.在一系列的參數(shù)α中，不同的α代表了材料不同的力學(xué)性質(zhì).這個(gè)模型最主要的創(chuàng)新點(diǎn)在于它可以將材料的力學(xué)性質(zhì)在理想固體和牛頓流體之間找到確切的定位，如圖2所示.

圖2 材料力學(xué)性質(zhì)劃分

當(dāng)公式（4）中的ε＝αt時(shí)，即等應(yīng)變率加載時(shí)，公式（4）可變形為

由公式（5）可得，在等應(yīng)變率加載過(guò)程，應(yīng)力逐漸增大，常分?jǐn)?shù)階模型可描述等應(yīng)變率加載過(guò)程中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲線.但是公式（5）所提模型中的階數(shù)為常數(shù)，意味著材料的力學(xué)性質(zhì)在等應(yīng)變率加載過(guò)程中均保持不變，而這顯然與實(shí)際不符，因此有必要探討采用變分?jǐn)?shù)階微積分理論，考慮材料在變形過(guò)程中力學(xué)性質(zhì)的變化.

2.2 變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型

在常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型中，階數(shù)指代材料力學(xué)性質(zhì)，對(duì)于材料性質(zhì)的認(rèn)識(shí)從定性認(rèn)識(shí)變?yōu)槎空J(rèn)識(shí)，但是仍然不能定量描述力學(xué)性質(zhì)變化過(guò)程，因此在這里考慮建立變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型.

Ingman［2］和Samko［5］曾經(jīng)提出

因?yàn)?，式中，E 量綱是［應(yīng)力］［時(shí)間］α（t），所以，其物理意義是不確定的.另外，這個(gè)變分?jǐn)?shù)階模型仍然不能反映材料力學(xué)性質(zhì)演變.

本文認(rèn)為正確的模型應(yīng)該為

與公式（4）類(lèi)似，公式（7）中的力學(xué)參數(shù)都有明確的物理意義.

在等應(yīng)變率加載情況下，根據(jù)公式（2），則公式（7）寫(xiě)為

公式中的，a為應(yīng)變率.

根據(jù)分?jǐn)?shù)階模型的物理意義，初始階數(shù)α1＝0，在實(shí)驗(yàn)曲線達(dá)到水平狀態(tài)時(shí)，材料力學(xué)性質(zhì)為牛頓流體，此時(shí)階數(shù)為1.因此參數(shù)E可以由前幾個(gè)線性狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)得到：

這里，σ1和ε1為材料處于彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)值.參數(shù)θ的值為

3 塑性金屬拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)演變

在這節(jié)中將用變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型對(duì)塑性金屬在等應(yīng)變率拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)演變進(jìn)行分析、研究，以此來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窨梢杂脕?lái)描述材料力學(xué)性質(zhì)演變.

3.1 塑性金屬試驗(yàn)介紹

這里對(duì)3種金屬，包括銅、低碳鋼和鋁合金，進(jìn)行了等應(yīng)變率拉伸試驗(yàn).試驗(yàn)樣品的直徑為10mm，長(zhǎng)度分別為50mm、100mm.拉伸試驗(yàn)分為兩組，每組3次.兩組拉伸時(shí)的應(yīng)變率不同：銅為0.000 133／s和0.001 33／s；低碳鋼為0.000 1／s和0.001／s，鋁合金為0.000 2／s和0.00 2／s.

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)及分析

圖3～5為上述金屬試件拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力－應(yīng)變結(jié)果.通過(guò)這些曲線可以發(fā)現(xiàn)，在加載初期，試件呈現(xiàn)出固體力學(xué)中的彈性狀態(tài)，但是一旦超過(guò)這個(gè)階段的極限，材料性質(zhì)發(fā)生突變，而后進(jìn)入非線性階段，很明顯在整個(gè)加載過(guò)程中材料的性質(zhì)是不斷變化的.圖3顯示應(yīng)變率對(duì)銅有明顯的影響，而從圖4與圖5中可以看出，鋁合金和低碳鋼對(duì)應(yīng)變率的依賴(lài)性比較弱.

圖3 銅的應(yīng)力－應(yīng)變曲線

基于公式（8），當(dāng)銅的應(yīng)變率為0.000 133／s時(shí)，其應(yīng)變－階數(shù)曲線如圖6所示.由于階數(shù)可以刻畫(huà)材料的力學(xué)性質(zhì)，因此，可以根據(jù)圖6來(lái)描繪銅在加載過(guò)程中性質(zhì)的變化過(guò)程.由圖6可以看出整個(gè)力學(xué)性質(zhì)的變化過(guò)程可以分為3個(gè)階段：第1階段，階數(shù)為0，是線彈性階段；在第2階段，階數(shù)發(fā)生突變，對(duì)應(yīng)于材料晶格錯(cuò)位，材料性質(zhì)發(fā)生突變；第3階段，階數(shù)按近似線性均勻變化，材料的力學(xué)性質(zhì)也均勻變化.并且將第3階段的階數(shù)－應(yīng)變進(jìn)行線性擬合，再回代到上述本構(gòu)模型中，在圖7中給出了擬合曲線與試驗(yàn)點(diǎn)的比對(duì)圖.可以發(fā)現(xiàn)，變分?jǐn)?shù)階模型的階數(shù)變化可以描述材料力學(xué)性質(zhì)的演變過(guò)程.

上述結(jié)論僅僅是對(duì)銅在等應(yīng)變率拉伸過(guò)程中力學(xué)性質(zhì)演變一個(gè)分析，對(duì)于其他的金屬材料是否會(huì)得到類(lèi)似的結(jié)論，需要對(duì)其他金屬材料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因此本文對(duì)低碳鋼和鋁合金也做了計(jì)算對(duì)比.

圖8～11中給出的是，試驗(yàn)的應(yīng)變率分別為0.000 1／s（低碳鋼）和0.000 2／s（鋁合金）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果.在低碳鋼的試驗(yàn)中，低碳鋼的晶格錯(cuò)位明顯，力學(xué)性質(zhì)在第二階段特別明顯，而變分?jǐn)?shù)階模型的階數(shù)在這一階段的突變也很明顯，與之對(duì)應(yīng)，再次證明了模型是可信的.

在不同的應(yīng)變率加載情況下，金屬材料的力學(xué)性質(zhì)演變是否會(huì)受到應(yīng)變率的影響，也是需要進(jìn)行探討.在這里，對(duì)同種金屬材料在不同應(yīng)變率下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比分析.圖12給出的是，銅在應(yīng)變率分別為0.000 133／s和0.001 33／s時(shí)的階數(shù)－應(yīng)變曲線，可以發(fā)現(xiàn)兩條階數(shù)－應(yīng)變曲線的走勢(shì)幾乎相同.從圖14（應(yīng)變率分別為0.000 2／s和0.001／s）低碳鋼的試驗(yàn)及分析中也可以發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象.這進(jìn)一步說(shuō)明，變分?jǐn)?shù)階模型可以用來(lái)描述塑性金屬力學(xué)在不同應(yīng)變率情況下的性質(zhì)演變，并且在等應(yīng)變率加載條件下，塑性金屬力學(xué)性質(zhì)演變基本不受應(yīng)變率的影響.

通過(guò)上述金屬的試驗(yàn)驗(yàn)證，說(shuō)明了變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型是可以用來(lái)定量描述力學(xué)性質(zhì)演變的.并且在等應(yīng)變率加載過(guò)程中，可以認(rèn)為金屬材料的性質(zhì)變化可以分為3個(gè)階段，第1個(gè)階段為線彈性階段；第2階段，材料從彈性變?yōu)樗苄缘倪^(guò)程稱(chēng)為屈服階段，在這一階段金屬的晶格進(jìn)行錯(cuò)位，力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生突變，這與實(shí)驗(yàn)相吻合；第3階段，力學(xué)性質(zhì)按線性變化.這些數(shù)據(jù)有力地說(shuō)明了變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型是可以用來(lái)定量描述力學(xué)性質(zhì)演變的.另外加載時(shí)的應(yīng)變率對(duì)同種金屬材料的力學(xué)性質(zhì)演變基本沒(méi)有影響.

4 結(jié) 論

在常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上提出了可以描述力學(xué)性質(zhì)演變的變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型.并用金屬材料試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該模型的階數(shù)能夠定量描述塑性金屬力學(xué)性質(zhì)的演變.

用本文提出的變分?jǐn)?shù)階模型對(duì)銅、鋁合金、低碳鋼在等應(yīng)變率拉伸時(shí)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后發(fā)現(xiàn)，階數(shù)－時(shí)間曲線的變化可以分為3個(gè)階段，對(duì)應(yīng)力學(xué)性質(zhì)的變化也可以分為3個(gè)階段：第1階段，力學(xué)性質(zhì)保持不變，為線彈性階段；第2階段，對(duì)應(yīng)拉伸過(guò)程中晶格錯(cuò)位，力學(xué)性質(zhì)發(fā)生突變；第3階段，力學(xué)性質(zhì)按線性變化階段.在等應(yīng)變率加載條件下，金屬力學(xué)性質(zhì)變化基本不受應(yīng)變率影響.

在本文中所研究的等應(yīng)變率試驗(yàn)中，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線都達(dá)到一個(gè)極值點(diǎn)，而對(duì)于實(shí)際中未達(dá)到極值點(diǎn)的情況，則可以根據(jù)在第3階段中力學(xué)性質(zhì)按線性變化這一點(diǎn)，對(duì)相應(yīng)的應(yīng)力或應(yīng)變進(jìn)行預(yù)測(cè).

另外，因?yàn)樵撃Ｐ碗A數(shù)的變化范圍為0到1，所以該模型可用于其他粘彈性材料在具有時(shí)間效應(yīng)的受力及變形過(guò)程中力學(xué)性質(zhì)演變的分析，如巖土及高分子材料的應(yīng)力松弛與蠕變，等應(yīng)變率加載等.在此，筆者只是對(duì)一維的變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型進(jìn)行了分析，對(duì)于三維模型的建立，還需要進(jìn)行更深入的研究.

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