有限區(qū)間上廣義BBM－Burgers方程解的大時(shí)間性態(tài)

劉 艷，陳 琴

(暨南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣州510632)

本文研究如下廣義BBM－Burgers方程在有限區(qū)間[0，1]上的初邊值問題:

其中:u0(0)=u－(0)，u0(1)=u+(1)，u±是給定的常數(shù)且u－＜u+，流函數(shù)且滿足f(0)

本文中對(duì)邊值作如下假設(shè):

為證明上述初邊值問題的解在t→+∞時(shí)漸近收斂到邊界層解φ，特引入如下定理:

引理1[2].若且式(2)成立，則如下常微分方程:

的邊界值問題有惟一解φ∈C3([0，1]且滿足

其中:C為正常數(shù).

關(guān)于單個(gè)黏性守恒律的柯西問題，初邊值問題及其解的漸近性參見文獻(xiàn)[1－4]，文獻(xiàn)[5－6]研究了BBM－Burgers方程行波解與稀疏波解的漸近性態(tài)，文獻(xiàn)[7]用文獻(xiàn)[4]的方法研究了廣義BBM－Burgers方程在穩(wěn)定波小及初始擾動(dòng)小的情形下解的漸近性態(tài)，而半空間中廣義BBM－Burgers方程在穩(wěn)定波大及初始擾動(dòng)小的情形下的邊界層解漸近穩(wěn)定性在文獻(xiàn)[8－9]中得到討論.本文則通過能量方法研究廣義BBM－Burgers方程一般初邊值問題在初始值擾動(dòng)及穩(wěn)定波不必小的情形下解的大時(shí)間性態(tài).

記號(hào)注釋:本文中用Ca，b表示僅依賴于a，b的正常數(shù)，在沒有混淆的情況下，見簡記為C，Lp=表示一般的Lebesgue空間，其范數(shù)為表示一般的Sobolev空間，其范數(shù)為，且為簡潔起見，記并用表示.

1 主要定理

因u(0，t)-φ(0)=u-(t)-u-≠0，u(1，t)-φ(1)=u+(t)-u+≠0，為了使問題(1)的解的擾動(dòng)的邊界為0，構(gòu)造修正函數(shù)，令g(t，x)=φ(x)+(1-x)(u-(t)-u-)e-x+x(u+(t)-u+)ex-1，則

定義問題(1)的整體解u(x，t)的擾動(dòng)為ν(x，t)，即令ν(x，t)=u(x，t)-g(x，t)，則問題(1)變?yōu)?

下面給出本文的主要定理:

定理1假設(shè) ν0∈H2([0，1])，f″＞0，初邊值滿足式(2)且φx(x)＞0，則問題(5)存在惟一解 ν(x，t)且滿足

為證明定理1，先定義問題(5)解空間如下:

類似于文獻(xiàn)[5]，可以通過標(biāo)準(zhǔn)迭代方法證明問題(5)解的局部存在性，有了局部存在性我們可以通過先驗(yàn)估計(jì)及連續(xù)性討論來證明定理1.

2 先驗(yàn)估計(jì)

命題1(先驗(yàn)估計(jì)).假設(shè)ν(x，t)是問題(5)在X(0，T)上的解，則存在一與T無關(guān)的正常數(shù)C使得ν(x，t)滿足如下估計(jì):

證明 首先將式(5)第一式兩邊同乘ν并將所得結(jié)果在[0，1]×(0，t)上分別對(duì)x，t求積分可得

其中

因

由式(2)可知I5+I6≥0成立.

其中θ1介于g與φ之間.

運(yùn)用兩次分部積分可得

將以上各式代入式(9)，因f″(u)＞0，φx＞0，所以有

其次將式(5)第一式兩邊同乘νt并將所得結(jié)果在[0，1]×(0，t)上分別對(duì)x，t求積分可得

式(17)左邊第三項(xiàng)為

由中值定理及引理1可知

將以上各式代入式(17)，由式(16)可得

將式(5)第一式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，并將所得結(jié)果兩邊同乘得到

因此將式(24)在[0，1]×(0，t)上分別對(duì)x，t可得

類似于式(18)、(19)可知

將以上各式代入式(25)，再由式(16)得

因此由式(16)、(23)、(28)可知式(8)成立，從而證明了先驗(yàn)估計(jì)成立.

3 解的漸近收斂性

有了局部存在性及先驗(yàn)估計(jì)，通過連續(xù)性討論能得到解的整體存在性，只需證明解的收斂性就能證明定理1.為證解的收斂性，先引入如下定理:

引理2[5]若

從而證明了解的收斂性，即證明了定理1.

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