賠付率超額再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中的鞅方法

沈亞男

(哈爾濱商業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱150028)

一、課題研究背景

隨著高科技的不斷發(fā)展和廣泛應(yīng)用，以及高新產(chǎn)業(yè)的大量涌現(xiàn)，大額保險(xiǎn)標(biāo)的日益增多，這些標(biāo)的一旦發(fā)生事故，損失可高達(dá)幾千萬(wàn)，甚至上億美元，遠(yuǎn)非一家保險(xiǎn)公司所能承擔(dān)。為了增強(qiáng)投保人及保險(xiǎn)公司的利益保障，再保險(xiǎn)應(yīng)運(yùn)而生。所謂再保險(xiǎn)，也稱為分保，在原保險(xiǎn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)簽訂分保合同，保險(xiǎn)公司將其承保的部分或全部風(fēng)險(xiǎn)責(zé)任向其他一個(gè)或多個(gè)保險(xiǎn)人進(jìn)行保險(xiǎn)的方式。本文通過(guò)對(duì)再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行進(jìn)一步研究，提出了一類帶有干擾項(xiàng)的賠付率超額再保險(xiǎn)Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，從而可為保險(xiǎn)公司的穩(wěn)健經(jīng)營(yíng)提供可靠的理論保障。

二、賠付率風(fēng)險(xiǎn)模型的建立

(一)相關(guān)準(zhǔn)備

賠付率超額再保險(xiǎn)是指按年度賠款與保費(fèi)的比率來(lái)確定自負(fù)責(zé)任和再保險(xiǎn)責(zé)任的一種再保險(xiǎn)方式。在約定的年度內(nèi)，當(dāng)賠付率超過(guò)分出的自負(fù)責(zé)任比率時(shí)，超過(guò)的部分由再保險(xiǎn)公司負(fù)責(zé)。賠付率超額再保險(xiǎn)是以原保險(xiǎn)人一段時(shí)間(一般是1年)的總損失額為理賠基礎(chǔ)。記Ci為單位時(shí)間收取的保費(fèi)，單位時(shí)間是以年為單位，Xi(i=1，2，……)為第i年的理賠額。則原保險(xiǎn)公司的賠付模型表示為：

式中：βi是第i年約定的自負(fù)責(zé)任比率，(0＜βi＜1)。

(二)模型的建立

(Ω，F(xiàn)，P)表示一個(gè)完備的概率空間，以下隨機(jī)過(guò)程(變量)均定義在該空間之上。

①u≥0是保險(xiǎn)公司初始資本;

②{N(t)，t＞0}是一個(gè)齊次Poisson過(guò)程，其強(qiáng)度分別為σ，且N(0)=0，它表示［0，t)時(shí)間內(nèi)(規(guī)定到整年止)接受保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的年數(shù);

③{Ci，i=1，2，……}，{Xi，i=1，2，……}分別是取值于(0，+∞)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，設(shè)E［Xi] =λ1，E［Ei] = λ2，實(shí)際意義如前所述;

④{W(t)，t＞0}是一標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻t的均值為0，方差為t的正態(tài)分布，它表示保險(xiǎn)公司的不確定性付款或投資收益，作為干擾項(xiàng)，ρ為干擾因子;

⑤CR表示再保險(xiǎn)費(fèi)率

假定{N(t)，t＞0}、{Ci，i=1，2，……}、{Xi，i=1，2，……}、{W(t)，t＞0}是相互獨(dú)立的。則

稱{U(t)，t≥0}為帶干擾的賠付率超額再保險(xiǎn)的Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，它表示保險(xiǎn)公司到時(shí)刻t后的總資本;

稱為到時(shí)刻t后的盈余資本。為了保證保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的持續(xù)性，E［S(t)] ＞0，即

于是，記 Tu=inf{t：U(t) ＜0，t＞0}，inf? = ∞，T 為保險(xiǎn)公司有賠付率再保險(xiǎn)情況下首次破產(chǎn)的時(shí)刻，即首次盈余為負(fù)的時(shí)刻，簡(jiǎn)稱為破產(chǎn)時(shí)刻;記ψ(u)=Pr{TU＜∞|U(0)=u}為再保險(xiǎn)條件下，初始盈余為u情況下破產(chǎn)發(fā)生時(shí)的概率，稱其為最終破產(chǎn)概率，簡(jiǎn)稱破產(chǎn)概率。并且假定 Ci，Xi(i=1，2，…)的矩母函數(shù)均存在，即存在r＞0，使得 MXi(r)=E［erXi] ＜ + ∞ ，MCi(r)=E［erCi] ＜+∞。

三、相關(guān)引理

引理1 盈利過(guò)程{S(t)，t≥0}是一個(gè)右連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，且具有下列性質(zhì)

(2)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性;

(3)存在正數(shù)r，使得E(e-rS(t))＜+∞;

(4)存在函數(shù)g(r)使得E［e-rS(t)] =etg(r);其中g(shù)(r)

MXi(r)=E［erXi] ＜ + ∞，MCi(r)=E［erCi] ＜ + ∞分別為年理賠額和保費(fèi)的矩母函數(shù)。證明：(1)，(2)，(3)顯然成立。

(4)證明如下：

Xi＞αiβi同樣可證引理2對(duì)于任意的r，令A(yù)u(t)=則{Au(t)，t≥0}是鞅。其中定義事件流FSt=σ{FNt∨FWt，t≥0}。

證明：由Au(t)可測(cè)，且E|Au(t)|＜+∞，對(duì)于任意的0＜m≤t。

{Au(t)，t≥0}是鞅。

引理3 存在惟一的正常數(shù)R，使得g(r)=0，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。其中g(shù)(r)如引理1所示。

引理4 Tu是停時(shí)。

四、結(jié)論

定理：在賠付率超額再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型{U(t)，t≥0}下，最終破產(chǎn)概率仍滿足Lundberg不等式ψ(u)≤e-Ru;最終破產(chǎn)概率仍滿足公式其中，稱為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明 因?yàn)門u是停時(shí)，選取t0＜+∞，易知t0∧Tu是有界停時(shí)，根據(jù)引理1和有界停時(shí)定理有

由于在{Tu＜∞}的條件下，u+S(Tu)＜0，

上式兩端令t0→+∞，得

ψ(u，φ，h)≤e-ru·et·g(r)

取R=sru＞p0{r：g(r)≤0}

所以 ψ (u，φ，h)≤e-Ru

根據(jù)上(1)式，取r=R得

I(A)表示集合A的示性函數(shù)，有

由于0≤e-RU(t0)·I{u(T0)≥0}≤1且根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律可證當(dāng)時(shí)t0→+∞

由控制收斂定理有

于是在(2)兩端令t0→+∞，即得

證畢。

基于保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營(yíng)還有很多不確定因素，如利率、不確定付款和收益等，還有待于對(duì)完善的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行進(jìn)一步的分析研究。另外，保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的險(xiǎn)種往往不是一種或幾種，多險(xiǎn)種的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型仍需繼續(xù)深入探索，為保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營(yíng)提供可靠的理論依據(jù)。

［1] 唐國(guó)強(qiáng)，楊端翠．成數(shù)再保險(xiǎn)和超額賠款再保險(xiǎn)策略［J] ．廣西科學(xué)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22(1)：58-60．

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［3] 孔繁亮．B值漸進(jìn)鞅的強(qiáng)弱大數(shù)定律［J] ．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，41(3)：667-672．