弧底梯形明渠正常水深的簡化計算法

滕凱，周輝

（1.齊齊哈爾市水務(wù)局，齊齊哈爾161006；2.嫩江尼爾基水利水電有限責(zé)任公司）

由于弧底梯形明渠水流條件好，適宜機械化連續(xù)施工作業(yè)[1-3]，且因弧底所形成的反拱式結(jié)構(gòu)，與其它斷面形式比較更具有較好的抗凍性能[4-6]。因此，該種斷面形式也越來越廣泛地被應(yīng)用于我國北方地區(qū)的水利水電供排水工程[7-8]。由于弧底梯形明渠斷面正常水深計算涉及高次方程求解問題，常規(guī)的試算法、圖表解法[9-11]、迭代法[12]或是計算過程繁復(fù)，或是求解成果精度不高，不便應(yīng)用；而由計算機編程求解[13-16]又不便基層工程技術(shù)人員實際工作，因此，尋求一種更加簡單實用的簡化計算方法具有一定的實際意義，但到目前為止，尚沒有比較理想的有關(guān)弧底梯形斷面正常水深計算方法的研究成果。文獻[17，18]通過優(yōu)化擬合的方法分別給出了0＜m≤1.0、0.4≤x≤3.0和0＜m≤0.36、1.0≤x≤2.0（m為渠道坡比系數(shù)，x為無量綱水深）情況下的近似計算公式，公式適用范圍小而且形式相對復(fù)雜；文獻[19]通過采用級數(shù)展開形式獲得了0＜m≤50、1.0≤x≤2.0情況下的簡化公式，雖然公式的適用范圍較大，但需計算的中間變量參數(shù)較多，計算過程繁復(fù)；文獻[20]通過采用迭代法并經(jīng)適當(dāng)簡化后獲得了該種斷面1.0≤m≤4.0、0.4≤x≤4.0情況下正常水深的簡化近似計算式，公式的適用范圍及形式稍好于其他近似公式，但因該公式涉及的中間變量參數(shù)仍顯較多，適用范圍仍顯不夠（m較小時不適用）。為了進一步改進該種斷面臨界水深的求解計算方法，采用優(yōu)化擬合的方法，獲得了計算過程簡捷、求解精度高、使用范圍廣的簡化近似計算式，可在實際工程設(shè)計中推廣應(yīng)用。

1 正常水深的基本計算方程

根據(jù)水力學(xué)原理[21]，正常水深的基本計算方程為：

式中：Q為渠道通過流量（m3/s）；X為濕周（m）；A為過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；n為渠道糙率；i為渠道設(shè)計坡降。

對于弧底梯形明渠（見圖1所示），其正常水深計算可分兩種情況：即弧底圓形斷面正常水深計算（圓弧內(nèi)）和弧底梯形斷面正常水深計算（圓弧外）。

圖1 弧底梯形明渠斷面Fig.1 Trapezoidal cross-section with an arc bottom

1.1 正常水深計算公式判別

由斷面過流條件可知，當(dāng)正常水面線位于弧底曲線與梯形邊坡線的切點以下時，正常水深發(fā)生在圓弧內(nèi)，反之，正常水深發(fā)生在圓弧外。用數(shù)學(xué)方法可求得通過切點處的水深為：

因此可得：

當(dāng)

當(dāng)

其中

式中：h為正常水深（m）；r為弧底圓形半徑（m）。

由式（2）可見，當(dāng)m→∞時，h→0，切點逐步接近弧底頂點，渠道斷面漸進與一條直線；而當(dāng)m→0時，h→r，切點逐步接近（r，r）點，渠道斷面逐步接近與標(biāo)準(zhǔn)U形明渠。

1.2 正常水深發(fā)生在弧底圓弧內(nèi)時

正常水深發(fā)生在圓弧內(nèi)時，實際為圓形斷面正常水深計算問題，其計算公式由文獻[22]可得：

式中：α為計算參數(shù)；x為無量綱水深；θ為均勻流時的圓心角（rad）。

1.3 正常水深發(fā)生在弧底圓弧外時

正常水深發(fā)生在圓弧外時，其過水?dāng)嗝娣e及水面寬可按下式計算：

將式（6）至（8）代入式（1），并設(shè)：

經(jīng)整理即可獲得求解弧底梯形斷面明渠正常水深的基本計算公式為

其中，k為中間變量。

2 正常水深的近似計算公式

2.1 擬合公式的建立

式（5）及（9）為含x的高次隱函數(shù)方程，無法直接獲解。為避免求解高次方程問題，在工程實用范圍內(nèi)[9-20]（即0.3≤m≤4.0、0.1≤x≤4.0），現(xiàn)假定：當(dāng)正常水深發(fā)生在圓弧內(nèi)及弧底圓弧外時，函數(shù)x=f（α）及可x=f（k）以分別替代式（5）及式（9）；并分別展繪x～α及x～m～k關(guān)系曲線，依據(jù)曲線關(guān)系經(jīng)數(shù)值相關(guān)分析，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[23]，即

式中：N為擬合計算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合[24]即可獲得如下替代函數(shù)，即

式中：A、B為中間變量；Q0為水面線通過弧底曲線與梯形邊坡線切點情況下的渠道過流量（分界流量）（m3/s）。

Q0可由式（2）與式（10）聯(lián)立求得，即為：

2.2 擬合公式的精度分析

為比較式（10）與式（5）、式（11）與式（9）的擬合精度，在給定的實用參數(shù)范圍內(nèi)，取不同的xi、mi值即可分別由式（5）及式（9）計算出與之相對應(yīng)的 αi或ki，再將 αi代入式（10）、ki代入式（11）求得與之相對應(yīng)的，并由下式完成擬合相對誤差計算，計算結(jié)果見表1所示。

表1 式（10）、（11）擬合精度比較Table1 Type（10）,（11）fitting precision comparison

式中：zi為擬合相對誤差；i為擬合計算的點數(shù)。

由表1可見，當(dāng)0.3≤m＜1.0、0.1≤x≤4.0時，式中（10）、（11）的最大計算相對誤差僅為1.54%。而通過對文獻[20]方法計算可見，在0.3≤m＜0.5、0.1≤x≤0.329區(qū)間內(nèi)，該文公式無實數(shù)解（根號下為負值）；當(dāng)0.5≤m＜1.0、0.329＜x≤4.0時，公式的最大計算相對誤差達到57.67%，是式中的37.45倍。當(dāng)1.0≤m≤4.0、0.1≤x≤4.0時，式中（10）、（11）的最大計算相對誤差為2.01%，而文獻[20]的最大計算相對誤差為4.65%，是式中的2.31倍。可見，式中公式具有較好的計算精度。

3 應(yīng)用舉例

選文獻[20]算例：已知某輸水渠通過流量Q=40.0m3/s，弧底半徑r=2.5m，邊坡比系數(shù)m=1.0，渠底坡降，糙率系數(shù)n=0.022 5，試計算渠道的正常水深h值。

解：根據(jù)已知參數(shù)可求得：

（正常水深在圓弧外）

將A、B代入式（11）即可解得x為

則有：h=x·r=4.892m

精確解為h=4.918 m，本文公式計算相對誤差為0.5%。

4 結(jié)語

針對目前弧底梯形斷面正常水深計算方法存在的問題，通過采用多參數(shù)優(yōu)化擬合的方法，經(jīng)逐次逼近計算，獲得了表達形式相對簡單且具有較高擬合精度的近似計算公式。實際工作僅借助計算器即可較簡捷地完成，適于廣大基層工程技術(shù)人員應(yīng)用。誤差分析表明，在工程實用范圍內(nèi)，計算相對誤差不超過2.1%。通過應(yīng)用舉例計算分析說明，公式計算方法簡捷，成果精度可靠，可在實際工程的設(shè)計中推廣應(yīng)用。

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