波干涉現(xiàn)象的三維圖像仿真設(shè)計(jì)

鄺雄

（海南師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，海南 海口 571158）

普通物理學(xué)中，機(jī)械波占有重要的內(nèi)容，而波的干涉現(xiàn)象又是機(jī)械波性質(zhì)的重要反映.特別是討論兩頻率相同、振動(dòng)方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時(shí)，使某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另一些地方振動(dòng)始終減弱的波的干涉現(xiàn)象，是體現(xiàn)波動(dòng)性的重要特征.觀察兩相干波干涉現(xiàn)象，一般是以水平面中兩點(diǎn)波源的相干實(shí)例來實(shí)現(xiàn)的，這樣的兩點(diǎn)波源的相干實(shí)例，難以實(shí)現(xiàn)兩點(diǎn)波源在相位與頻率改變時(shí)的干涉現(xiàn)象情況觀察，有局限性.

現(xiàn)在，可以利用計(jì)算機(jī)編程，通過程序設(shè)計(jì)方式來實(shí)現(xiàn)同頻率、同振動(dòng)方向的兩點(diǎn)波源的相干情況進(jìn)行仿真顯示，并能實(shí)現(xiàn)頻率與初相變化時(shí)的相干波的三維圖象顯示.這樣的仿真可以很好地對(duì)兩點(diǎn)波源干涉的整體情況進(jìn)行觀察.下面就討論如何仿真設(shè)計(jì).

1 波干涉原理

設(shè)有兩相干點(diǎn)波源S1、S2，它們的頻率相同、振動(dòng)方向平行，其簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程分別為

式中f為波源的振動(dòng)頻率，A1、A2分別為它們的振幅，φ1、φ2分別為兩波源的初相.假設(shè)這兩波源所發(fā)出的波都在同一介質(zhì)中傳播，其傳播的波長均為λ，在無考慮介質(zhì)對(duì)波能吸收的情況下，兩列波的振幅也分別是A1和A2，于是，在空間中P點(diǎn)處兩波相遇，見圖1.而兩波源在P點(diǎn)的振動(dòng)分別是

圖1 兩相干波在空間相遇Fig.1 Two coherent waves meet in the space

式中r1、r2分別為兩波源至P點(diǎn)的距離，則它們?cè)赑點(diǎn)的合成振動(dòng)滿足合振幅最大處的條件是

2 兩相干波干涉仿真設(shè)計(jì)

仿真設(shè)計(jì)可有多種方法，如采用3D Studio Max[2]，采用 Authoware技術(shù)[3]，也有采用MATLAB技術(shù)的[4]等等，而我們采用LabVIEW技術(shù).

LabVIEW平臺(tái)是典型G語言平臺(tái)，它有強(qiáng)大的函數(shù)功能，我們選用其合適的函數(shù)控件來設(shè)計(jì)，完全可以方便實(shí)現(xiàn)兩波的相干現(xiàn)象仿真[5].下面以LabVIEW2009平臺(tái)為基礎(chǔ)討論具體的仿真設(shè)計(jì).

2.1 函數(shù)控件的確定

從上（1）式可看出，由于兩個(gè)相干波的函數(shù)都是三角函數(shù)，我們可以選取三角函數(shù)控件.可以從LabVIEW2009平臺(tái)“程序框圖”上的“函數(shù)選板”選用“算術(shù)與比較函數(shù)”組件，選其“Express數(shù)學(xué)”中的“Express三角函數(shù)”，再從中選“余弦函數(shù)”控件.

函數(shù)控件確定后，實(shí)現(xiàn)波干涉圖形仿真顯示的基本思路是選擇在某一時(shí)刻t，考察在不同點(diǎn)的振動(dòng)合成后，再在不同時(shí)刻考察不同點(diǎn)的振動(dòng)合成.

2.2 相干波函數(shù)的變換

為實(shí)現(xiàn)波在平面中不同相干點(diǎn)P點(diǎn)的合成，一種方便方法是將決定P點(diǎn)的r1和r2轉(zhuǎn)換成由三維直角坐標(biāo)的變量來表示.

從上（1）式中知，兩波源到P點(diǎn)的距離分別為r1、r2，假設(shè)不同的P點(diǎn)是在三維直角坐標(biāo)空間中xy平面上的點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)波源s1和s2的座標(biāo)分別為s1（a1、b1）和s2（a2、b2），則兩波源到P點(diǎn)處的距離r1、r2分別表示為

做上式變換后，兩相干波的相位差就為

這就是仿真平臺(tái)上用于直角坐標(biāo)變量x、y表示的相位差函數(shù).

2.3 x和y變量的變化步長與仿真座標(biāo)源點(diǎn)的確定

在LabVIEW2009平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)兩波相干的仿真，就是如何在LabVIEW2009平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)變量x、y的取值問題，也就是如何實(shí)現(xiàn)取樣點(diǎn)x、y進(jìn)行運(yùn)算的問題.仿真顯示是以每次取一樣點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，并將結(jié)果顯示的方式來實(shí)現(xiàn)逐點(diǎn)仿真的.于是變量x、y的取樣點(diǎn)問題，就是取變量x、y值應(yīng)如何變化問題，也就是x、y的變化步長問題.

在LabVIEW2009平臺(tái)上仿真時(shí)，實(shí)現(xiàn)變量變化的簡(jiǎn)單方式就是利用循環(huán)控件中的循環(huán)變化量來完成.平臺(tái)中的循環(huán)變化量一般都是按自然數(shù)遞增規(guī)律變化的，即它的最小變化步長為1.Lab-VIEW2009的循環(huán)結(jié)構(gòu)有多種，可選有循環(huán)次數(shù)控制的for循環(huán)結(jié)構(gòu)，就利用for循環(huán)語句方式來實(shí)現(xiàn)變量的取值.for循環(huán)的方式是從0開始取值，進(jìn)行程序計(jì)算顯示，再接著增1取值，再進(jìn)行計(jì)算再顯示，如此循環(huán)下去，直至循環(huán)次數(shù)滿足要求為止.最大的循環(huán)次數(shù)就是總?cè)狱c(diǎn)數(shù)，如果以單位米（m）來表示，也就是仿真的范圍，可稱為仿真寬度.

利用這一規(guī)律，也可以循環(huán)取值的最小步長乘上一比例常數(shù)來實(shí)現(xiàn)函數(shù)各種不同等比例變量的變化.本例中的x和y變量的變化步長，可取比例常數(shù)為1，就是取樣點(diǎn)的變化步長為1.

上（2）式中的變量x、y是可正可負(fù)值變化的，為了實(shí)現(xiàn)變量x、y的負(fù)值變化，可以將x和y分別減去一個(gè)正常數(shù).如設(shè)兩個(gè)正常數(shù)分別為x10和y10，相當(dāng)于座標(biāo)源點(diǎn)平移至點(diǎn)（x10，y10），于是作轉(zhuǎn)換：

變換后在仿真過程中，x和y的取樣點(diǎn)按自然數(shù)遞增規(guī)律變化，即取0、1、2、…，就將x變量的變化轉(zhuǎn)換成：0-x10、1-x10、2-x10、…；y的變化就轉(zhuǎn)換成：0-y10、1-y10、2-y10、….這樣，在LabVIEW2009平臺(tái)上仿真顯示三維直角坐標(biāo)上xy平面函數(shù)圖形時(shí)，就能實(shí)現(xiàn)變量x、y的負(fù)值變化，也就相當(dāng)于將該函數(shù)平移至源點(diǎn)為（x10，y10）的座標(biāo)中顯示.在這里我們可以取點(diǎn)（x10，y10）的座標(biāo)為最大取樣寬度的中點(diǎn)來表示，即將變量x、y的最大取樣點(diǎn)數(shù)分別除以2作為x10和y10的值.這樣就可實(shí)現(xiàn)所顯示圖像變量x、y的正負(fù)值變化的情況.

2.4 兩相干波源點(diǎn)的選擇

根據(jù)上面平移xy平面座標(biāo)原理的（3）式，x、y的取樣值是大于零的遞增自然數(shù)，于是，波的相干涉圖形仿真顯示只能在xy平面坐標(biāo)中的第一象限中，為能觀察干涉波源四周的圖像，盡量使圖形顯示于平臺(tái)的中間位置.于是，兩相干波的波源點(diǎn)還應(yīng)做相應(yīng)變換.如在x、y變量的仿真寬度都為200米的平臺(tái)座標(biāo)上，可以設(shè)計(jì)兩波源點(diǎn)分別處于s1（80 m，80 m）與s2（140 m，140 m）兩點(diǎn)，這時(shí)決定兩相干波相干點(diǎn)P點(diǎn)的變量r1和r2必須考慮到函數(shù)平移至點(diǎn)（x10，y10）后的影響.

根據(jù)上（3）式，兩相干點(diǎn)波源的源點(diǎn)可以設(shè)置于平移點(diǎn)（x10，y10）的兩邊，其具體值可由下式定：

s1點(diǎn)波源座標(biāo)：xs1=80-x10；ys1=80-y10；

s2點(diǎn)波源座標(biāo)：xs2=x10-140；ys2=y10-140；

做上變換后，在LabVIEW2009平臺(tái)上顯示兩相干點(diǎn)波源的源點(diǎn)座標(biāo)，可以將相干波的波源點(diǎn)顯示在圖形的中間位置，可方便地觀察波源周圍波干涉時(shí)的整體效果，同時(shí)在改變兩干涉波的源點(diǎn)時(shí)，就可以獲得與x、y變量取樣值一至的座標(biāo)顯示值.

2.5 相干波相位函數(shù)中時(shí)間變量變化步長的確定

根據(jù)上（1）式，對(duì)于一定波長的相干波，相位中有兩個(gè)變量t和r，同一時(shí)間t，不同的波源r也不同.如何實(shí)現(xiàn)t和r的取值變化是仿真必須解決的關(guān)鍵問題.

（1）式中因?yàn)樽兞縯和r的變化是獨(dú)立的，我們可以設(shè)t和r的變化各自為線性變化，這里，我們只用設(shè)t和r的變化步長不一樣就可以了.按前面分析，r已變換為相應(yīng)的x、y變量.對(duì)于時(shí)間變量t的步長，只用將t乘上一個(gè)比例常數(shù)便可，可以取這變量為1.

2.6 前面板控件的選擇

為實(shí)現(xiàn)干涉波的三維真實(shí)效果，必須選擇合適的顯示方式，在LabVIEW2009平臺(tái)的前面板上，選用Active三維曲面圖形控件是較理想的.該控件可以從“控件選板”中選擇，在“控件選板”的“經(jīng)典控件”中選“經(jīng)典圖型”，再從中選擇“Active三維曲面圖形”控件便可.

從三維曲面圖形控件的運(yùn)算特點(diǎn)可知，三維曲面在作圖顯示處理時(shí)采用的是描點(diǎn)法，它的三維曲面作圖過程是根據(jù)x和y的坐標(biāo)數(shù)組，先在xy平面上確定一個(gè)矩形網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著三維曲線上一個(gè)點(diǎn)在xy坐標(biāo)平面的投影.z矩陣數(shù)組給出每個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲面點(diǎn)的z坐標(biāo)，三維曲面根據(jù)這些信息就能完成作圖[6].

2.7 兩點(diǎn)波源干涉圖仿真程序

根據(jù)以上幾點(diǎn)考慮，我們采用兩個(gè)for循環(huán)結(jié)構(gòu)，所設(shè)計(jì)的兩個(gè)點(diǎn)波源相干的仿真程序見圖2.

圖2 程序設(shè)計(jì)圖Fig.2 Program design

程序是以上面兩點(diǎn)波源的基本方程（1）和它們的疊加結(jié)果為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.程序中x、y變量的最大取樣點(diǎn)數(shù)設(shè)置為可變輸入量，且設(shè)計(jì)為兩者等量變化，即觀察窗口為正方形形式，這只是便于觀察而已.另外，兩相干波的頻率也設(shè)計(jì)為同時(shí)變化的輸入量，因?yàn)槲覀兯懻摰氖峭l率的相干情況.

與上圖2程序相對(duì)應(yīng)的前面版圖見圖3.

圖3 前面版圖Fig.3 Front diagram

在圖3中，左邊統(tǒng)一安排了一些可輸入的變量，右面大片空間就是程序運(yùn)行結(jié)果的三維仿真圖形，所顯示的圖形為右上俯視圖，點(diǎn)擊圖形拖動(dòng)還可以調(diào)整方位，圖形的橫座標(biāo)為x，縱座標(biāo)為y，豎向?yàn)閦，圖左邊的輸入變量，從上到下排列是：

1）“變量取樣范圍”.即所仿真函數(shù)x、y變量的取值范圍，也稱仿真變量的觀察寬度，我們以兩者等量的正方形方式來觀察，單位用m表示.

2）“點(diǎn)波源s1的x座標(biāo)”.即兩相干波點(diǎn)波源之一s1源點(diǎn)的x座標(biāo)，單位為m.

3）“點(diǎn)波源s1的y座標(biāo)”.即兩相干波點(diǎn)波源之一s1源點(diǎn)的y座標(biāo)，單位為m.

4）“點(diǎn)波源s2的x座標(biāo)”.即兩相干波點(diǎn)波源之一s2源點(diǎn)的x座標(biāo)，單位為m.

5）“點(diǎn)波源s2的y座標(biāo)”.即兩相干波點(diǎn)波源之一s2源點(diǎn)的y座標(biāo)，單位為m.

6）“兩點(diǎn)波源的頻率”.即兩相干波點(diǎn)波源之一的振動(dòng)頻率，因?yàn)橥l干涉，則兩波源頻率相同，單位為Hz.

7）“兩波源s1和s2的初相差”.即兩相干波點(diǎn)波之間的初相之差，單位為弧度.

8）“停止”.為運(yùn)行程序后的停止控制.

3 兩同頻率點(diǎn)波源相干波形圖仿真顯示

如圖3所示，它是運(yùn)行程序后，同頻率兩相干波的干涉波形圖.從圖中可看出，仿真的x、y變量變化最大仿真寬度都為400 m，即400m×400m圖，兩相干波的波源點(diǎn)在圖中的位置分別為s1（250 m，250 m）和s2（150 m，150 m），它們的頻率都為10Hz，初相初差為0.仿真結(jié)果的三維圖中，較亮的地方為正相干加強(qiáng)點(diǎn)，較暗的地方為負(fù)相干加強(qiáng)點(diǎn)，圖中放射狀區(qū)域是兩相干波相減點(diǎn).

可以在仿真平臺(tái)上調(diào)整為正頂視圖來觀察，圖4就是它的正頂視圖，在這里，我們只取其所顯示的圖形部分.

圖4 400m×400m正視圖（截圖）Fig.4 Top view of 400m×400m

當(dāng)改變x、y變量的仿真寬度都為120 m時(shí)，并且兩相干波的波源點(diǎn)在圖中的位置分別設(shè)為s1（40 m，40 m）和s2（80 m，80 m），它們的頻率仍保持為10 Hz，初相初差為0.兩波相干的三維仿真圖形顯示見圖5和圖6，其中，圖5為頂視圖，圖6為右上俯視圖.

圖5 120m×120m正視圖（截圖）Fig.5 Top view of 120m×120m

如果改變x、y變量的仿真寬度都為300 m時(shí)，即300m×300m圖，且無斷地改變兩波源的位置，使兩相干波的波源點(diǎn)在圖中的位置向中心靠近，分別設(shè)為s1（160 m，160 m）和s2（140 m，140 m），它們的頻率調(diào)為7 Hz，初相初差為0.兩波相干的三維仿真圖形顯示如下圖7.

圖6 120m×120m正視圖（截圖）Fig.6 Top view of 120m×120m

圖7 300m×300m干涉圖Fig.7 Top view of 300m×300m

當(dāng)只改變當(dāng)它們的頻率調(diào)為8 Hz，而其他上各參數(shù)保持不變時(shí)，三維仿真圖形顯示見圖8，可見原來相加強(qiáng)點(diǎn)的正上和正下方，幾乎變?yōu)橄鄿p點(diǎn)情況.

再在上情況下，如再改變它們的初相初差為1，而其他上各參數(shù)保持不變時(shí)，三維仿真圖形顯示如下圖9，可見原來相減點(diǎn)的正上和正下方，又發(fā)生了變化.

可見，利用G語言設(shè)計(jì)兩點(diǎn)波源干涉現(xiàn)象的三維仿真圖像，不但程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，而且參數(shù)改變方便、快捷，還可以獲非常好的三維仿真直觀效果圖.

圖8 f=8 Hz干涉圖Fig.8 Interference of f=8Hz

圖9 △φ=1干涉圖Fig.9 Interference of△φ=1

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