用FDTD法求解傳輸線方程

高方平，姚纓英，季蘇蕾

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

0 引言

在高壓遠(yuǎn)距離交流電力線路、高頻信號電信線路中，在同一瞬間沿線的電壓、電流都不相同，必須作為分布參數(shù)處理。計算機(jī)和高速數(shù)控系統(tǒng)，雖然線路尺寸不大，但當(dāng)線路尺寸l＞λ/30時，仍采用集中參數(shù)電路的方法會造成很大誤差。同樣在極短時的沖擊電壓 (或電流)的作用下，也需要用分布參數(shù)的方法處理。在分布參數(shù)電路中，電壓、電流不僅是時間的函數(shù)，而且是距離的函數(shù)，列寫的動態(tài)方程是偏微分方程。用時域法或復(fù)頻域法求解傳輸線方程都有相當(dāng)?shù)碾y度，不易獲得解析解。因此為了解決某些實(shí)際問題，應(yīng)用數(shù)值求解方法去分析傳輸線成為了一個研究方向[1]。

1966年由 K．S．Yee提出的時域有限差分(FDTD)法的主要思想是把Maxwell方程在空間、時間上離散化，用差分方程代替一階偏微分方程，求解差分方程組，從而得出各網(wǎng)格單元的場值[2，9]。由于 FDTD算法簡單，精度較高，計算量較小，不管是在高壓輸電線路過電壓電流的計算還是在高速集成電路中互連效應(yīng)的分析中，應(yīng)用FDTD算法較多[3]。傳輸線方程的時域數(shù)值解法還有傳輸線矩陣 (TLM)方法、傳輸線模型法、波形松弛算法、精細(xì)積分法、狀態(tài)空間分析法以及其它差分格式的應(yīng)用[4]。文獻(xiàn)[5～8]根據(jù)FDTD法原理采用不同的差分格式解傳輸線方程并分析傳輸線的暫態(tài)過程，但是其給出的迭代方程式較難理解，且編程比較麻煩。

本文應(yīng)用FDTD法原理給出了一種簡單、快速、有效的差分格式，從時域響應(yīng)角度討論了兩線傳輸線在各種情況下的暫態(tài)過程問題，求解傳輸線方程。此方法具有編程易、計算速度快，可以直接得出時域數(shù)值解的優(yōu)點(diǎn);并能夠計算零(非零)初始值、具有線性 (非線性)負(fù)載的均勻 (非均勻)傳輸線的暫態(tài)響應(yīng)。

1 均勻傳輸線分布參數(shù)電路及電報方程

圖1為雙傳輸線結(jié)構(gòu)圖，在均勻傳輸線的始端x處取一小段長度元 dx。在此 dx段中，設(shè)導(dǎo)線的電阻為R0dx，電感為 L0dx，導(dǎo)線間漏電導(dǎo)為G0dx，導(dǎo)線間漏電容為 C0dx。則均勻傳輸線的分布參數(shù)電路如圖2 所示。其中 R0，L0，G0，C0是表征傳輸線特性的電路參數(shù)，分別表示導(dǎo)線每單位長度的電阻、電感以及單位長度導(dǎo)線之間的電導(dǎo)和電容。經(jīng)過推到得均勻傳輸線的電報方程如式 (1):

圖1 雙傳輸線結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of double transmission line

圖2 均勻傳輸線的分布參數(shù)電路Fig.2 Distributed parameter circuit of uniform transmission line

式 (1)表明:均勻傳輸線上連續(xù)分布的電阻和電感分別引起相應(yīng)的電位降致使線間電壓沿線變化;均勻傳輸線導(dǎo)線間連續(xù)分布的漏電導(dǎo)和電容分別在線間引起相應(yīng)的泄漏電流和位移電流，致使電流沿線變化。

2 用FDTD法求解傳輸線方程的推導(dǎo)

2.1 FDTD法的原理及具體應(yīng)用

運(yùn)用FDTD的原理，取節(jié)點(diǎn)電壓和兩點(diǎn)之間的電流作為求解分量，將傳輸線沿線的傳輸方向以空間間隔Δx進(jìn)行一維空間離散。設(shè)傳輸線的總長為L，總共被離散成M段，將第一點(diǎn)設(shè)為電壓節(jié)點(diǎn) u1，依次下去設(shè)定為 u2，u3，…，uM+1，它們的空間坐標(biāo)分別為0，Δx，2Δx，…，MΔx。然后將 u1和 u2之間的支路電流設(shè)定為i1，將u2和u3之間的支路電流設(shè)定為 i2，依次 下去設(shè)定為 i3，i4，i5，…，iM，它們的空間坐標(biāo)分別取為 0.5Δx，(1+0.5)Δx，(2+0.5)Δx，…，(M －0.5)Δx。這樣電壓離散節(jié)點(diǎn)共有M+1個，電流節(jié)離散點(diǎn)有M個。電壓和電流節(jié)點(diǎn)交錯設(shè)置，其空間間隔為0.5Δx。同時，對時間步長按步長為Δt進(jìn)行離散，設(shè)求解總時間為T，離散為n段，初始時刻為 0，下一時刻依次為 Δt，2Δt…，nΔt。按照以上過程，傳輸線的電壓和電流波過程就變成了一組空間、時間上的離散點(diǎn)。其空間節(jié)點(diǎn)取樣示意圖如圖3所示。其時空迭代關(guān)系如圖4所示。

圖3 沿架空線空間離散的示意圖Fig.3 Schematic of the spatial discretization along the line

2.2 迭代方程式的推導(dǎo)

利用中心差分進(jìn)行空間和時間的離散，即

將式 (2)和式 (3)代入式 (1)得到如下表達(dá)式:

整理得:

圖4 電壓、電流時空離散圖Fig.4 Time and spatial discretization

2.3 確立邊界條件

考慮傳輸線末端負(fù)載，并記及傳輸線單位長電阻、電導(dǎo)參數(shù)時，可得傳輸線的等效分布參數(shù)電路圖如圖5所示。us表示始端電壓源。Rs，RL分別表示始端負(fù)載和末端負(fù)載。整條傳輸線可視為無數(shù)多個微分段級聯(lián)而成，每個微分段是由R0dx，L0dx，C0dx，G0dx構(gòu)成的集中參數(shù)電路。在線路的始端、終端利用集中參數(shù)電路模型，推導(dǎo)偏微分

方程數(shù)值解的邊界條件。

圖5 傳輸線的等效分布參數(shù)電路圖Fig.5 Equivalent circuit of transmission line

始端和末端電路依然滿足基爾霍夫定律，從圖5可知，首端的電壓電流關(guān)系如下:

則其迭代方程式為

從圖5可知，電路末端的電壓電流關(guān)系如下:

綜合式 (5)、式 (7)和式 (9)，即得到求解傳輸線方程的迭代方程組。

2.4 計算穩(wěn)定性要求

一個差分格式是否有用，最終要看差分方程的精確解能否任意逼近微分方程的解。這就是要考慮差分格式的收斂性和穩(wěn)定性。Lax等價定理[12]:對于一個適定的線性初值問題，若逼近它的差分格式是相容的則差分格式收斂的充要條件為該格式穩(wěn)定。該定理可將收斂性的討論轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定性的討論，因此只討論穩(wěn)定性即可。

采用文獻(xiàn)[3]中計算穩(wěn)定性要求的方法，最后推導(dǎo)出cΔt≤Δx。上式表明，時間間隔必須小于或等于波以光速通過空間步長所需的時間。

3 算例驗證及分析

電磁暫態(tài)分析軟件EMTP具有分析功能多、元件模型全和運(yùn)算結(jié)果精確等優(yōu)點(diǎn)，對于電網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)都可做仿真分析。因此，本文將算例用FDTD法得到的電壓波形與EMTP仿真得到的波形進(jìn)行對比，來驗證本文方法的可行性。算例1 已知電磁波在傳輸線中的最大傳播速度v=2×108m/s，傳輸線長L=800 m，傳輸線的分布參數(shù) R0=G0=0 L0=2.5×10－7H/m，C0=1×10－10F/m，其特征阻抗 Zc=50 Ω，電源內(nèi)阻 Rs=100 Ω，負(fù)載電阻為 RL=200 Ω，激勵源 us=60ε(t)V。本文用FDTD法計算出負(fù)載端電壓的計算結(jié)果如圖6所示。將其與用EMTP仿真得到的波形圖7對比可知:在12 us時，負(fù)載端電壓達(dá)到穩(wěn)定值40 V。在4 us時，電壓波到達(dá)末端，末端負(fù)載電壓發(fā)生數(shù)值振蕩。其原因是激勵源為理想階躍電壓源，在零時刻存在一個突變，其中包含了大量的高頻分量。

圖6 用FDTD得到的末端負(fù)載電壓波形Fig.6 Voltage waveform at the end by FDTD

圖7 用EMTP軟件仿真得到的負(fù)載末端波形Fig.7 Voltage waveform at the end by EMTP

算例2 傳輸線參數(shù)同上例，將電壓源為雙指數(shù)波形電壓源，表達(dá)式為 u(t) = 60×(e－8×105t－e－1×106t)V。用本文中 FDTD 法計算結(jié)果如圖8所示。因激勵電源波形相對光滑，因此計算結(jié)果基本上不存在數(shù)值振蕩。將其與EMTP仿真得到的波形圖9所示對比可知:用FDTD法得到的波形與仿真波形非常接近。

算例3 傳輸線參數(shù)和激勵電壓源同算例2，末端接負(fù)載如圖10所示。RL=100 Ω，CL=1×10－9F，LL=1 Η 求負(fù)載電壓波形。

圖8 用FDTD得到的末端負(fù)載電壓波形Fig.8 Voltage waveform at the end by FDTD

圖9 用EMTP軟件仿真得到的負(fù)載末端波形Fig.9 Voltage waveform at the end by EMTP

圖10 含動態(tài)元件負(fù)載示意圖Fig.10 Dynamic components load

與圖11相對應(yīng)的末端邊界條件滿足如下方程式:

圖11 傳輸線末端等效電路圖Fig.11 Equivalent circuit at the end of transmission line

求解方程式 (5)、(7)、(11)得到負(fù)載電壓如圖12所示。用EMTP仿真得到的波形如圖13所示。對比可知用FDTD法得到的波形與仿真波形非常接近。

圖12 用FDTD得到的末端負(fù)載電壓波形Fig.12 Voltage waveform at the end by FDTD

圖13 用EMTP軟件仿真得到的負(fù)載末端波形Fig.13 Voltage waveform at the end by EMTP

綜上所述，按本文提出的FDTD迭代格式得到的電壓波形與EMTP仿真得到的波形在各極值以及變化規(guī)律方面完全一致，驗證了此方法的可行性。

4 結(jié)論

對于一階雙曲型的傳輸線方程，本文應(yīng)用FDTD法給出了一種簡單、快速、有效的差分格式，從時域響應(yīng)角度討論了兩線傳輸線在各種情況下的暫態(tài)過程問題，分析了傳輸線的傳輸特性。利用電壓，電流在始端、終端上的約束關(guān)系，運(yùn)用傳輸線集中參數(shù)的等效模型確定邊界條件;最后利用MATLAB編程計算，仿真得到響應(yīng)波形，并且將此波形與用EMTP-ATP軟件仿真得到的波形進(jìn)行對比，驗證了此方法的可行性。

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