關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)的研究

唐朝君，廖正琦

(重慶交通大學(xué)理學(xué)院，重慶 南岸 400074)

線性代數(shù)是理工科和經(jīng)管類專業(yè)開(kāi)設(shè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力等方面都起著重要的作用．線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，尤其在計(jì)算機(jī)技術(shù)日益發(fā)展的今天，該課程的地位與作用顯得更為重要．線性代數(shù)的內(nèi)容比較抽象，課時(shí)較少，加上長(zhǎng)期受到應(yīng)試教育的影響，“填鴨式”為主的教學(xué)仍然占絕對(duì)的統(tǒng)治地位，使得大部分學(xué)生感覺(jué)該門課程枯燥、乏味，缺乏學(xué)習(xí)的積極性．筆者從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)通過(guò)3個(gè)方面來(lái)提高線性代數(shù)的教學(xué)效果．

1 豐富應(yīng)用實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

線性代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具，它的理論和方法在物理、化學(xué)、生物技術(shù)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)和航空等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，但在目前多數(shù)線性代數(shù)教材中，相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例非常少．這就使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中看不到所學(xué)知識(shí)有何應(yīng)用，加上課程內(nèi)容比較抽象，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感覺(jué)到枯燥、乏味，從而缺乏學(xué)習(xí)的積極性．因此，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)主動(dòng)搜集相關(guān)的實(shí)例，解決學(xué)生心中“該門課程有何應(yīng)用”的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．

例如，教材上有計(jì)算范德蒙行列式的這個(gè)例題，單單是求解這樣一個(gè)行列式，似乎沒(méi)有太大意義．如果能夠介紹它的應(yīng)用，不但能使學(xué)生加深印象，還能提高學(xué)習(xí)的興趣．事實(shí)上，可以用范德蒙行列式的結(jié)論證明大家熟知的一個(gè)結(jié)論，即一個(gè)實(shí)系數(shù)的n次代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)至多有n個(gè)不同的零點(diǎn)．假設(shè)x1，…，xn+1為n次代數(shù)方程a0+a1x+…+anxn=0的n+1個(gè)不同的零點(diǎn)，將這些零點(diǎn)代入到方程當(dāng)中可得：

不妨把代數(shù)方程中的系數(shù)a0，a1，…，an當(dāng)做未知數(shù)，那么上面的n+1個(gè)等式就是一個(gè)齊次線性方程組．很顯然，其系數(shù)行列式正好是一個(gè)范德蒙行列式，根據(jù)假設(shè)和范德蒙行列式的結(jié)論，系數(shù)行列式不等于0，則可推出ai=0，i=0，1，…，n，與已知條件矛盾．故結(jié)論得證．

矩陣運(yùn)算在密碼學(xué)中的應(yīng)用也是一個(gè)非常好的實(shí)例．預(yù)先定義

1 2 3 …26 a b c …Z

為了傳輸信息：home，把對(duì)應(yīng)的代碼寫(xiě)成：

由于軍事機(jī)密的要求，可設(shè)定可逆矩陣(密鑰)：

接收者收到的矩陣(密碼)為：

當(dāng)收到密碼時(shí)，只需通過(guò)計(jì)算B=A-1C就可破譯出原始密碼．實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中，還可設(shè)定更為復(fù)雜的密鑰．有了這個(gè)例子，可以讓學(xué)生看到矩陣的運(yùn)算在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用．

2 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，發(fā)揮其主體地位

現(xiàn)代教育理論告訴我們，在教育過(guò)程中，既要承認(rèn)教師的主導(dǎo)地位，重視教師的主導(dǎo)作用，又要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)作用．因?yàn)槿魏我环N教學(xué)活動(dòng)，教師的主導(dǎo)作用都必須建立在學(xué)生的主體地位的基礎(chǔ)上，脫離了學(xué)生的主體地位，教師的主導(dǎo)作用就不會(huì)產(chǎn)生作用．同時(shí)，學(xué)生主動(dòng)性的發(fā)揮又會(huì)促使教師主導(dǎo)作用更好地發(fā)揮［3］．在線性代數(shù)的教學(xué)中，教師必須進(jìn)行有效的引導(dǎo)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行思考．

再例如，在做矩陣運(yùn)算的時(shí)候，特別是運(yùn)算中包含乘積運(yùn)算時(shí)，很多學(xué)生容易使用矩陣乘法的“交換律”，那么如何讓學(xué)生主動(dòng)意識(shí)到矩陣乘法一般不滿足交換律呢?可以給出下面兩個(gè)例子，留出時(shí)間讓學(xué)生自己運(yùn)算，然后讓他們自己進(jìn)行總結(jié)．

從這兩個(gè)例子當(dāng)中，學(xué)生都會(huì)得到AB≠BA，甚至在(1)中BA沒(méi)有意義．這樣一個(gè)結(jié)論由學(xué)生自己進(jìn)行計(jì)算，自己總結(jié)，其教學(xué)效果要比教師灌輸給學(xué)生好得多．

3 結(jié)合Matlab軟件進(jìn)行輔助教學(xué)

將Matlab數(shù)學(xué)軟件作為輔助工具引入到線性代數(shù)的教學(xué)中，可以提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的能力，也可為學(xué)生今后應(yīng)用該軟件在工程、信息等領(lǐng)域進(jìn)行計(jì)算、模擬、仿真等打下良好的基礎(chǔ)，在讓學(xué)生感到學(xué)有所用的同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解．Matlab軟件使用起來(lái)非常方便，對(duì)于課程中要求掌握的大部分計(jì)算內(nèi)容，都只需在命令窗口輸入簡(jiǎn)單的命令就可以實(shí)現(xiàn)．例如，只需在命令窗口輸入rank(A)、det(A)、eig(A)就可以分別求出矩陣A的秩、行列式和特征值．因此，可以把教師和學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)，從而提高教學(xué)效率．教師也可以把教學(xué)重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程上，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

例如，在講授初等矩陣的時(shí)候，往往要任意選取一些矩陣和初等矩陣做乘積運(yùn)算，讓學(xué)生觀察初等矩陣在做乘積運(yùn)算時(shí)的作用．在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對(duì)矩陣乘積的運(yùn)算已經(jīng)非常熟悉，沒(méi)有必要再花時(shí)間去做乘積運(yùn)算．此時(shí)，使用Matlab軟件可以直接得到運(yùn)算的結(jié)果，學(xué)生可以有更多的時(shí)間去觀察其中的規(guī)律，從而可以把有限的時(shí)間花在關(guān)鍵的內(nèi)容上，提高教學(xué)效果．

4 結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，課程的內(nèi)容比較抽象．為了使學(xué)生能夠更好地掌握該課程的內(nèi)容，本文從3個(gè)方面探討了如何在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中提高教學(xué)效果，對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了積極、有益的探索．這些措施能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，收到了較好的教學(xué)效果．

［1］朱永婷．《線性代數(shù)》教學(xué)的一些思考［J］．科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2011(3)：176-178．

［2］李大潛．將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程［J］．中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，22(8)：89-92．

［3］王其林，廖正琦．點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)中提高學(xué)生的抽象思維能力探討［J］．重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，28(6)：79-81．

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．線性代數(shù)［M］．北京：高等教育出版社，2007：1-40．