近世代數(shù)教學(xué)的探索與實踐

龍述德

(重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，重慶 永川 402160)

近世代數(shù)是以研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科，它不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是許多其他現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，已成為數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的重要基礎(chǔ)課之一．掌握近世代數(shù)的基本概念、理論和方法也是每一位數(shù)學(xué)工作者所必需的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一．

近世代數(shù)又名抽象代數(shù)，其內(nèi)容具有高度的抽象性和概括性，這使得它不同于其他數(shù)學(xué)學(xué)科．許多學(xué)生感到這門課程非常抽象、生澀難懂、不直觀，因此他們很難具備用近世代數(shù)的基本思想和理論來解決具體問題的能力，從而直接影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)熱情．筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，認為應(yīng)該注意幾個方面．

1 上好第一節(jié)課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

俗話說，好的開始等于成功的一半．因此，上好第一節(jié)課對學(xué)生學(xué)好近世代數(shù)是很重要的．教師在第一節(jié)課不要急于上新課，在講述課程的研究對象之后，接下來可以介紹近世代數(shù)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)背景［1-2］．從一般一元 n次方程 anxn+an-1xn-1+… +a0(an≠0)的求根問題，引出法國青年數(shù)學(xué)家伽羅華(Galois)及其著名的伽羅華理論、挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel)等，并介紹他們一生的一些典型的故事和他們對近世代數(shù)課程的發(fā)展所做出的杰出貢獻，這樣會讓學(xué)生對數(shù)學(xué)天才伽羅華和阿貝爾產(chǎn)生景仰，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情．緊接著，可以講近世代數(shù)研究的意義，并用具體的例子來說明研究其意義所在．近世代數(shù)是現(xiàn)代物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、密碼學(xué)等不可缺少的工具，例如：晶體結(jié)構(gòu)分類，對稱性匹配的分子軌道，DNA序列的對稱性，編碼理論(尤其是糾錯碼)等，都要用到近世代數(shù)的理論和方法．還可進一步告訴學(xué)生，有志于在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面有所貢獻的年輕人，懂得近世代數(shù)的知識是非常必要的．這樣，可使學(xué)生明白近世代數(shù)確實是有用和具體的，進而引起他們學(xué)習(xí)的興趣．最后，為了保證學(xué)生把這門課程學(xué)好，還需告訴他們一些正確的學(xué)習(xí)方法及注意事項．

2 重視基本概念教學(xué)，提高學(xué)生的思維能力

概念是濃縮的知識點，是思維的細胞．教師在近世代數(shù)概念教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生分清實質(zhì)的能力及培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，是非常重要的．這種能力表現(xiàn)為能洞察所研究事物的本質(zhì)及其相互聯(lián)系;能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況，并且能組合各種具體模式等．教師在概念教學(xué)實踐中，應(yīng)力求通過對比、聯(lián)想概念之間的異同，找出每個概念的特點并挖掘出其關(guān)鍵所在．例如，元素的階和群的階［3-4］．元素的階是指對群G中元素a來說，使得am=e的最小正整數(shù)m．若這樣的m不存在，則a的階是無限的;而群的階是指群所含元素的個數(shù)，從定義來看，它們有本質(zhì)區(qū)別，但在學(xué)習(xí)中學(xué)生又很容易混肴．因此，在講解過程中應(yīng)讓學(xué)生仔細觀察后教師再指出前者的關(guān)鍵所在是“am=e的最小正整數(shù)m”，而后者的關(guān)鍵是“元素的個數(shù)”．這樣就抓住這兩個概念的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生洞察事物本質(zhì)的能力．還可以舉模6的剩余類加群Z6來加以說明并指出它們的聯(lián)系，從而為講后面的指標定理打下基礎(chǔ)．

3 加強直觀性教學(xué)，力促學(xué)生實現(xiàn)由形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)的基本屬性之一是抽象．然而，數(shù)學(xué)教學(xué)又要求把抽象的東西形象化，通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容［5］．這種抽象中的形象，正是數(shù)學(xué)教學(xué)的真締．教師在教學(xué)中應(yīng)多舉實例，注重與高等代數(shù)知識及中學(xué)數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系［2］，為近世代數(shù)教學(xué)建立起形象的數(shù)學(xué)模型．這是幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式的關(guān)鍵一步．學(xué)生經(jīng)過初等數(shù)學(xué)及高等代數(shù)等數(shù)學(xué)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，他們頭腦中形象的東西比較多，基本功也比較扎實，并且也具有一定的抽象思維基礎(chǔ)．這為他們理解近世代數(shù)中的高度抽象概念和一般性的理論提供了形象的實例．這不僅有利于高度抽象概念的理解，而且也能從較高的層次對初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)所學(xué)的知識內(nèi)容給予科學(xué)的解釋．例如，等價關(guān)系是一個比較抽象的內(nèi)容，可以中學(xué)實數(shù)集合中的等于關(guān)系及高等代數(shù)中的矩陣合同關(guān)系為例來說明它們都是等價關(guān)系．這樣就顯得比較直觀，并把不同的數(shù)學(xué)對象統(tǒng)一起來，進而加深學(xué)生對等價關(guān)系的理解．另外，在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生遇到過矩陣方程AX=B的求解，若是在可逆矩陣集合中求解，方程只有唯一的解，而在一般方陣集合中，方程卻可以只有一個解、無數(shù)個解甚至無解的情況，當(dāng)時不知其所以然．在學(xué)習(xí)近世代數(shù)群論概念后適時提出該問題，讓學(xué)生嘗試用群論知識進行解釋，這會讓學(xué)生心中豁然開朗，促進他們從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)化．

4 講究課堂提問技巧，激發(fā)學(xué)生的思維

5 結(jié)語

近世代數(shù)是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，對數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生而言是比較難學(xué)的．雖然筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗，提出了近世代數(shù)課程教學(xué)的一些做法，但仍然不夠成熟，在實際教學(xué)中也還會有新的問題不斷涌現(xiàn)．這需要我們根據(jù)具體情況，適時進行教學(xué)方法的調(diào)整和改進．

［1］劉紹學(xué)．談?wù)劇敖来鷶?shù)”這門課［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2000，3(3)：8-9．

［2］趙靜，周衛(wèi)，劉振海．近世代數(shù)課程教學(xué)的幾點建議［J］．廣西民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，16(3)：94-96．

［3］張禾瑞．近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］．北京：高等教育出版社，1978：34-37．

［4］吳品三．近世代數(shù)［M］．北京：高等教育出版社，1979：61-63．

［5］馮克勤．高校代數(shù)課教學(xué)的一些做法和看法［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20(5)：5-7．