指數(shù)效用函數(shù)下天使投資人的價(jià)值信號(hào)模型研究

李姚礦， 張 贏， 楊 嵌

（合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

天使投資人，一般是指向小型私人企業(yè)提供風(fēng)險(xiǎn)資本的個(gè)人，又被稱為非正式創(chuàng)業(yè)投資者，是資助創(chuàng)業(yè)企業(yè)家早期創(chuàng)業(yè)資本的重要來源。天使投資一般發(fā)生在創(chuàng)業(yè)企業(yè)家用完了家庭或朋友的資金之后，在接觸風(fēng)險(xiǎn)投資機(jī)構(gòu)之前。研究表明，天使投資是種子期和早期企業(yè)的主要資本來源，它提供了高技術(shù)創(chuàng)業(yè)企業(yè)種子期和起步階段80%的資本。從美國(guó)、英國(guó)、瑞典、日本等發(fā)達(dá)國(guó)家的調(diào)查數(shù)據(jù)來看，天使投資已成為一個(gè)巨大的市場(chǎng)，并且對(duì)一國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展發(fā)揮了重要作用［1－4］。近年來，天使投資在我國(guó)也已經(jīng)出現(xiàn)，并且成為了一些創(chuàng)業(yè)企業(yè)融資的重要渠道之一。

天使投資人不像風(fēng)險(xiǎn)投資機(jī)構(gòu)那樣會(huì)雇傭?qū)I(yè)的人員對(duì)潛在的投資項(xiàng)目進(jìn)行詳盡的考察和評(píng)價(jià)，往往僅憑自己的主觀判斷進(jìn)行投資決策，因此創(chuàng)業(yè)企業(yè)家應(yīng)提供明確的價(jià)值信號(hào)揭示項(xiàng)目的投資價(jià)值以吸引天使投資人。文獻(xiàn)［5］提出了新創(chuàng)企業(yè)的價(jià)值信號(hào)，即創(chuàng)業(yè)企業(yè)家持有的企業(yè)股權(quán)水平是企業(yè)價(jià)值的最好的信號(hào)。在發(fā)展模型時(shí)，假設(shè)創(chuàng)業(yè)企業(yè)家有無限的初始財(cái)富，根據(jù)金融管理理論的信號(hào)理論認(rèn)為，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的股權(quán)水平可以幫助天使投資人更準(zhǔn)確地評(píng)判項(xiàng)目的價(jià)值。然而，因?yàn)閷?shí)踐中創(chuàng)業(yè)企業(yè)家只有有限的初始凈財(cái)富［6］，其股權(quán)水平可能不是一個(gè)有價(jià)值的信號(hào)。文獻(xiàn)［7］認(rèn)為很多創(chuàng)業(yè)企業(yè)家只有有限的個(gè)人資本，一個(gè)更合理的信號(hào)是創(chuàng)業(yè)企業(yè)家有限的初始凈財(cái)富投資于項(xiàng)目的比例，既能顯示項(xiàng)目的質(zhì)量也能顯示創(chuàng)業(yè)企業(yè)家對(duì)項(xiàng)目的承諾［7］。

文獻(xiàn)［5，7］在天使投資人信號(hào)價(jià)值研究領(lǐng)域具有重要的意義，從把創(chuàng)業(yè)企業(yè)家持有的持股水平作為企業(yè)的價(jià)值信號(hào)，到把創(chuàng)業(yè)企業(yè)家有限的初始凈財(cái)富投資于新創(chuàng)企業(yè)的比例作為價(jià)值信號(hào)，文獻(xiàn)［5，7］的研究是天使投資人價(jià)值信號(hào)相關(guān)理論的開端，也是天使投資人價(jià)值信號(hào)研究的基礎(chǔ)。但是，前人的研究有2個(gè)不足之處：① 沒有把創(chuàng)業(yè)企業(yè)家按不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行分類，而只是對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的效用函數(shù)進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，這樣的研究結(jié)果可能不夠精確，因?yàn)椴煌玫膭?chuàng)業(yè)企業(yè)家的效用函數(shù)是不同的；② 都采用了二次效用函數(shù)，已經(jīng)有許多學(xué)者用Arrow－Pratt度量r（x）＝－u″（x）／u′（x）證明，采用類似馬克維茨二次效用函數(shù)進(jìn)行決策，其風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度將隨著自身?xiàng)l件的改善變得更加惡劣，經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍認(rèn)為這是不理智的［8］。二次效用函數(shù)存在一個(gè)嚴(yán)重的問題，過了頂點(diǎn)后函數(shù)會(huì)遞減，因此不能恰當(dāng)?shù)孛枋銎茫?］。文獻(xiàn)［8］證明，一旦決策人知道自己的偏好，其對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)關(guān)系也就確立了：定常風(fēng)險(xiǎn)中立類型者其效用函數(shù)對(duì)應(yīng)為線性函數(shù)，定常風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)愛好者其效用函數(shù)必對(duì)應(yīng)為指數(shù)函數(shù)型，無論收益正態(tài)分布或非正態(tài)分布都符合［8］。因此，本文將借鑒具體的指數(shù)效用函數(shù)，把創(chuàng)業(yè)企業(yè)家分為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型和風(fēng)險(xiǎn)愛好型2類，分別討論天使投資人信號(hào)價(jià)值的確立。

1 投資者初始財(cái)富有限的約束條件

為了保持研究的連續(xù)性和研究結(jié)果的可比性，本文將沿用文獻(xiàn)［7］提出的初始財(cái)富有限的約束條件及相關(guān)假設(shè)。

為了通過評(píng)估無聲信號(hào)即創(chuàng)業(yè)企業(yè)家初始凈財(cái)富投資于新創(chuàng)企業(yè)的比例φ來預(yù)計(jì)企業(yè)預(yù)期新項(xiàng)目的真實(shí)價(jià)值M，必須確定2個(gè)時(shí)間框架。這些時(shí)間框架代表：新創(chuàng)企業(yè)開始的時(shí)間T＝0和天使投資人從創(chuàng)業(yè)企業(yè)退出的時(shí)間T＝1。在T＝0時(shí)，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家擁有這樣的信息即允許其賦予項(xiàng)目期望回報(bào)一個(gè)明確的價(jià)值。這樣，在未來T＝1時(shí)，來自項(xiàng)目的價(jià)值將是M＋，其中M是項(xiàng)目期望的期末價(jià)值是隨機(jī)變量，均值為0，方差為。

假設(shè)初創(chuàng)期創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的初始凈財(cái)富為W0，初始凈財(cái)富投資于新創(chuàng)企業(yè)的比例為φ，投資于無風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)值為Y，證券市場(chǎng)組合的價(jià)值為Vm，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家擁有的比例為β，那么創(chuàng)業(yè)企業(yè)家初始凈財(cái)富的約束條件為：

假設(shè)新創(chuàng)企業(yè)的總股份為N，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家所占的股份為N0，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的持股比例為N0／N＝A，天使投資人持股比例即為1－A。并假設(shè)：

其中，K為新創(chuàng)企業(yè)的全部股本；φW0為企業(yè)家投入的股本；NPRY是天使投資人的所持股份，P為每股價(jià)格，NPRYP即天使投資人投入的股本?？梢缘贸觯?/p>

在T＝1時(shí)，企業(yè)家從投資中獲得的最終收益～W1項(xiàng)目的投資價(jià)值為：

文獻(xiàn)［7］在（1）式這一約束條件下，求（4）式的效用最大化，得到了一個(gè)關(guān)于項(xiàng)目的預(yù)期到期價(jià)值M和企業(yè)家初始凈財(cái)富投入于項(xiàng)目比例φ的關(guān)系的微分方程。

2 天使投資人價(jià)值信號(hào)模型

天使投資人的價(jià)值信號(hào)是指創(chuàng)業(yè)企業(yè)家提供的能夠被天使投資人用來識(shí)別潛在投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值的信號(hào)，本文認(rèn)為，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家有限的初始凈財(cái)富投資于新創(chuàng)企業(yè)的比例就是天使投資人的價(jià)值信號(hào)。從投資人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好角度來分，一般把投資人的風(fēng)險(xiǎn)偏好分為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)愛好型和風(fēng)險(xiǎn)中立型。如同本文的引言中指出的，一般用線性函數(shù)來表示風(fēng)險(xiǎn)中立型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的效用函數(shù)，而本文將采用的是指數(shù)型效用函數(shù)，因此本文暫不討論創(chuàng)業(yè)企業(yè)家風(fēng)險(xiǎn)中立這一情形，將討論在風(fēng)險(xiǎn)厭惡型和風(fēng)險(xiǎn)愛好型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家采用具體指數(shù)效用函數(shù)這一情形下，天使投資人價(jià)值信號(hào)φ的確立。

2.1 風(fēng)險(xiǎn)厭惡型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家價(jià)值信號(hào)模型

鑒于指數(shù)函數(shù)在描述效用方面的優(yōu)勢(shì)，本文采用了一個(gè)具體的指數(shù)函數(shù)來表示創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的效用函數(shù)［10］：

其中，k1為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（k1?0）；w1為收益。在收益w1服從正態(tài)分布，σ2）的條件下，（5）式對(duì)應(yīng)的期望為：

本文將在線性約束條件（1）式下建立拉格朗日函數(shù)（8）式，求出期望收益～W1最大化條件下關(guān)于φ1的方程：

對(duì)（8）式拉格朗日一階求導(dǎo)得：

根據(jù)方程（9）式，得到：

根據(jù)方程（10）式，得到：

（11）式和（12）式相等，可得：

將（12）兩邊取對(duì)數(shù)，得到：

即

在（15）式中，由于σ、k1、Y、r、λ、Vm、～m、K、W0以及M都是假設(shè)的已知量，可以得出等式（15）的左邊為一個(gè)常數(shù)，記為C1；k1W0M／K 和k1～m都為常系數(shù)，分別記為I1和J1，這樣就得到一個(gè)線性方程：

也就是說，在（13）式這一條件下，即創(chuàng)業(yè)企業(yè)家投資于證券市場(chǎng)的財(cái)富T＝0時(shí)的價(jià)值和T＝1時(shí)的價(jià)值的比值，與新創(chuàng)企業(yè)的初創(chuàng)期全部股本K與T＝1期的價(jià)值的比值相等的前提下，得到～W1的最大效用為：

這時(shí)，可以得到一個(gè)φ1的線性方程：

根據(jù)不同項(xiàng)目的實(shí)際情形對(duì)相關(guān)系數(shù)賦值，就可以得到φ的值。

2.2 風(fēng)險(xiǎn)愛好型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家價(jià)值信號(hào)模型

根據(jù)前述提出的指數(shù)函數(shù)描述效用方面的優(yōu)勢(shì)，同樣采用一個(gè)具體的描述風(fēng)險(xiǎn)愛好型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家效用的指數(shù)型效用函數(shù)：

其中，k2為風(fēng)險(xiǎn)愛好系數(shù)（k2?0）；w1為收益。在收益服從正態(tài)分布（，σ2）的條件下，（19）式對(duì)應(yīng)的期望為：

建立拉格朗日函數(shù)得：

對(duì)（22）式拉格朗日一階求導(dǎo)得：

由（23）式得：

由（24）式得：

由于（25）式和（26）式相等，可以得到：

對(duì)（25）式兩邊取對(duì)數(shù)得：

其中，由于σ、k2、Y、r、λ、Vm、～m、K、W0以及 M 都是假設(shè)的已知量，可以得到k2W0M／K和k2～m為常系數(shù)，分別記為I2和J2；ln（λK／（k2M）－σ2k22／2－k2Y（1＋r）為常數(shù)，記為C2，得到一個(gè)線性方程：

也就是說，在（27）式這一條件下，即創(chuàng)業(yè)企業(yè)家投資于證券市場(chǎng)的財(cái)富T＝0時(shí)的價(jià)值和T＝1時(shí)的價(jià)值的比值，與新創(chuàng)企業(yè)的初創(chuàng)期全部股本K與T＝1期的價(jià)值的比值相等的前提下，得到的最大效用為：

這時(shí)，可以得到一個(gè)φ的線性方程：

根據(jù)不同項(xiàng)目的實(shí)際情形對(duì)相關(guān)系數(shù)賦值，可以得到φ的值。

2.3 討論

根據(jù)前述推導(dǎo)，在σ、k1、Y、r、λ、Vm、～m、K、W0、k2及M已知的假設(shè)下，發(fā)現(xiàn)不論創(chuàng)業(yè)企業(yè)家是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型還是風(fēng)險(xiǎn)愛好型，天使投資人的價(jià)值信號(hào)φ都是在Vm／～m＝K／M這一前提，也就是創(chuàng)業(yè)企業(yè)家投資于證券市場(chǎng)的財(cái)富T＝0時(shí)的價(jià)值和T＝1時(shí)的價(jià)值的比值，與新創(chuàng)企業(yè)的初創(chuàng)期全部股本K與T＝1期的價(jià)值的比值相等的前提下，一個(gè)以創(chuàng)業(yè)企業(yè)家投資于證券市場(chǎng)的比例β為自變量的線性函數(shù)，如（16）式和（30）式所示。

從（18）式和（32）式可以得出，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)k1和風(fēng)險(xiǎn)愛好型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的風(fēng)險(xiǎn)愛好系數(shù)k2會(huì)對(duì)天使投資人的信號(hào)價(jià)值φ產(chǎn)生影響，但本文中，把這2個(gè)系數(shù)假設(shè)為常量，所以研究結(jié)果還無法確認(rèn)是正相關(guān)的影響還是負(fù)相關(guān)的影響。在天使投資人的信號(hào)價(jià)值φ確立之后，天使投資人就可以根據(jù)自身對(duì)項(xiàng)目的評(píng)價(jià)函數(shù)M（φ）來得出對(duì)項(xiàng)目的具體評(píng)價(jià)價(jià)值，從而確定是否投資潛在的投資項(xiàng)目。

3 結(jié)論和展望

本文根據(jù)創(chuàng)業(yè)企業(yè)家對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好將創(chuàng)業(yè)企業(yè)家分成風(fēng)險(xiǎn)厭惡型和風(fēng)險(xiǎn)偏好型，并采用不同的效用函數(shù)進(jìn)行討論，而不僅僅用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整系數(shù)對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整；提出了創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的風(fēng)險(xiǎn)偏好將對(duì)其投資的結(jié)果產(chǎn)生重大影響，從而影響天使投資人對(duì)項(xiàng)目的評(píng)價(jià)，認(rèn)為創(chuàng)業(yè)企業(yè)家應(yīng)充分考慮這一因素；針對(duì)不同偏好的創(chuàng)業(yè)企業(yè)家，采用具體的指數(shù)效用函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，證明了在創(chuàng)業(yè)企業(yè)家效用達(dá)到最大時(shí)，天使投資人的價(jià)值信號(hào)φ存在，并且提出了關(guān)于價(jià)值信號(hào)φ的確立的簡(jiǎn)潔的線性方程，留待實(shí)證檢驗(yàn)。本文認(rèn)為，天使投資人價(jià)值信號(hào)φ的確立，不僅有助于創(chuàng)業(yè)企業(yè)家決定自己的投資規(guī)模從而吸引天使投資人的資金，解決新創(chuàng)企業(yè)的融資問題，同時(shí)也幫助天使投資人搜尋到合意的投資項(xiàng)目，減少創(chuàng)業(yè)企業(yè)家和天使投資人因?yàn)樾畔⒉粚?duì)稱而錯(cuò)失機(jī)會(huì)。

本文的不足之處在于，僅用指數(shù)型效用函數(shù)代替了創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的效用函數(shù)?，F(xiàn)實(shí)中，不同類型的企業(yè)家的效用函數(shù)是多種多樣的，發(fā)展一個(gè)更為精確或者標(biāo)準(zhǔn)的效用函數(shù)，進(jìn)一步建立更通用的模型來確立天使投資人的價(jià)值信號(hào)，是值得進(jìn)一步研究的問題。此外，由于本文所使用的指數(shù)效用函數(shù)在表達(dá)風(fēng)險(xiǎn)中立型創(chuàng)業(yè)企業(yè)家效用方面的局限性，本文沒有具體討論在創(chuàng)業(yè)企業(yè)家風(fēng)險(xiǎn)中立這一情形下價(jià)值信號(hào)φ的確立；同時(shí)，本文也沒有進(jìn)一步研究創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的厭惡系數(shù)和偏好系數(shù)、價(jià)值信號(hào)φ的具體關(guān)系，這些都有待進(jìn)一步研究。

［1］Avdeitchikova S.On the structure of the informal venture capital market in Sweden：Developing investment roles［J］.Venture Capital，2008，10（1）：55－85.

［2］Harrison R T，Mason C M.Does gender matter？Women business angels and the supply of entrepreneurial finance［J］.Entrepreneurship Theory and Practice，2007，5：445－472.

［3］Morrissette S G.A profile of angel investors［J］.The Jour－nal of Private Equity，2007（2）：52－67.

［4］Wong K P，Ho Y P.Characteristics and determinants of informal investment in Singapore［J］.Venture Capital，2007，9（1）：43－70.

［5］Leland H E，Pyle D H.Informational asymmetries，financial structure，and financial intermediation［J］.The Journal of Finance，1977，32：371－387.

［6］Amit R，Busentitz L，Muller E.Entrepreneurship ability，venture investments，and risk sharing［J］.Management Science，1990，36：1232－1255.

［7］Prasad D.Bruton G D，Vozikis G.Signaling value to business angels：the proportion of the entrepreneur’s net worth invested in a new venture as a decision signal［J］.Venture Capital，2000，2：167－182.

［8］Jia J，Dyer J S.A standard measure of risk and risk－value models ［J］.Management Science，1996，42（12）：1691－1705.

［9］姜青舫.證券投資的風(fēng)險(xiǎn)偏好與期望效用決策模型［J］.審計(jì)與經(jīng)濟(jì)研究，2006，21（5）：77－81.

［10］史代敏.一類組合證券投資決策［J］.系統(tǒng)工程1997，15（2）：46－49.