用正切代換方法證明幾何不等式

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

用正切代換方法證明幾何不等式

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

提出用正切代換方法證明三角形幾何不等式和圓內(nèi)接四邊形不等式；給出了代換公式，諸多實例表明該方法是有效的；同時，針對正切代換方法，提出了2個待解決的問題．

三角形幾何不等式；圓內(nèi)接四邊形不等式；正切代換方法

文獻[1]的作者提出用正切代換方法證明三角形不等式和圓內(nèi)接四邊形不等式．本文中，筆者繼續(xù)對正切代換的相關(guān)問題進行討論．

1 正切代換方法及其代換公式

1．1 三角形中的正切代換方法

△ABC中的齊次不等式，總可以化為關(guān)于三角形3個內(nèi)角函數(shù)的不等式

f(A,B,C)≥0．(1)

由于A＋B＋C＝π，故可將式(1)中的角元消去1個．現(xiàn)假設(shè)消去角C，得到僅含有角元A和B的三角函數(shù)不等式

g(A,B)≥0．(2)

φ(t1,t2)≥0, t1＞0,t2＞0．(3)

這樣就將三元不等式(1)轉(zhuǎn)化成了二元不等式(3)．在這個轉(zhuǎn)化過程中，由于應(yīng)用了萬能置換公式，即把三角形內(nèi)角的三角函數(shù)通過其半角的正切表示出來，故將這種證明不等式的方法稱為正切代換方法．

設(shè)△ABC的3條邊為a,b,c，3個內(nèi)角為A,B,C，半周為s，3條角平分線為wa、wb、wc，中線為ma、mb、mc，高和旁切圓半徑分別為ha、hb、hc和ra、rb、rc，內(nèi)切圓和外接圓半徑分別為r和R，則有如下代換公式：

評注1 注意不等式(1)是三角形幾何不等式，它是帶約束條件的，那么不等式(3)也是帶有約束條件的．由公式1)～35)知，這個約束條件是

式(4)本質(zhì)上就是三角形的構(gòu)成條件．

1．2 圓內(nèi)接四邊形中的正切代換方法

設(shè)有圓內(nèi)接四邊形ABCD．由于圓內(nèi)接四邊形對角互補，即C＝π－A,D＝π－B，故對一個僅含圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角三角函數(shù)的不等式

而言，式(5)可化為僅含有角元A和B的三角函數(shù)不等式g(A，B)≥0．按正切代換方法，g(A，B)≥0又可化為關(guān)于tan的不等式φ(t1，t2)≥0(t1＞0,t2＞0)，這樣圓內(nèi)接四邊形不等式(5)的證明，就可轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的二元不等式φ(t1，t2)≥0的證明．從形式上看，這個二元不等式與三角形中的不等式(3)是一樣的．

圓內(nèi)接四邊形的正切代換公式如下：

在不等式自動發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2010[2]中，對三角形不等式進行正切代換的命令是subs(lst＿ta,bds)；對圓內(nèi)接四邊形不等式進行正切代換的命令是subs(lst＿t,bds)．

2 應(yīng)用舉例

2．1 證明三角形幾何不等式

2．2 證明圓內(nèi)接四邊形不等式

例3 設(shè)u,v,t,k∈R，證明圓內(nèi)接四邊形ABCD中的不等式

證 用判別式鏈方法[3]容易證明：要證不等式(6)，只需證

例4 在不等式自動發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2010[1]讀入內(nèi)存的情況下，鍵入如下命令：

＞df:＝{sgm＿s＿d(sin(A)),sgm＿s＿d(sin(A/2)),sgm＿s＿d(sin(A/2)＋sin(B/2))};

＞ trga＿s＿jjyg(df,df,1,0);

經(jīng)過282秒運算后，輸出41個圓內(nèi)接四邊形不等式，試證明其中的

3 結(jié)語

本文通過熟知的三角函數(shù)萬能置換公式，得到了證明三角形不等式和圓內(nèi)接四邊形不等式的正切代換方法．原則上講，正切代換適用于一切關(guān)于三角形線元及內(nèi)角三角函數(shù)的不等式，但對圓內(nèi)接四邊形來說，情況則有所不同．在圓內(nèi)接四邊形中，由于邊長或其他線元不一定能夠用內(nèi)角的三角函數(shù)表示出來，故正切代換對含有邊長等線元的圓內(nèi)接四邊形不等式無效．另外，對一般不等式而言，正切代換后得到的二元非齊次不等式φ(t1,t2)≥0的證明并不容易，難度較大．從本文的諸例可以看出，配平方和方法可能是解決這類不等式的有效方法．很顯然，正切代換方法還有許多需要進一步完善的地方．現(xiàn)提出2個主要問題：

問題1 正切代換后得到的二元非齊次不等式φ(t1,t2)≥0是否有統(tǒng)一的證明方法？

問題2 對角元和線元混合型圓內(nèi)接四邊形不等式，如何建立比較通用的證明方法？

[1] 劉保乾.四邊形不等式的自動發(fā)現(xiàn)[J].汕頭大學(xué)學(xué)報,2012,27(2):9-17.

[2] 劉保乾.不等式的自動發(fā)現(xiàn)原理及其實現(xiàn)[J].汕頭大學(xué)學(xué)報,2011,26(2):3-11.

[3]王挽瀾.建立不等式的方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2011:162.

Proving Geometric Inequality with the Method of Tangent Substitution

LIU Baoqian

(Information Center,Tibet Personnel Bureau,Lhasa,Tibet 850000,China)

The method for proving geometric inequality in triangle&round inscribed quadrangle is built on the basis of tangent substitution,and the formula of tangent substitution is given.A number of examples state that the method is effective.Two outstanding questions are posed in the end based on the method of tangent substitution.

geometric inequality in triangle;inequality round inscribed quadrangle;the method of tangent substitution

O122．3

A

1009－8445（2012）05－0001－04

(責(zé)任編輯：陳 靜)

2011－12－28

劉保乾(1962－),男,陜西鳳翔人,西藏組織編制信息管理中心工作人員．