區(qū)間數(shù)指標(biāo)權(quán)重確定的熵值法改進(jìn)

郭秀英

0 引言

多指標(biāo)決策問題廣泛存在于經(jīng)濟(jì)、管理、工程和軍事等領(lǐng)域中。而多指標(biāo)決策中合理確定指標(biāo)權(quán)重是一個非常重要的工作，因為其關(guān)系到方案優(yōu)選或排序的可靠性和準(zhǔn)確性[1]。因此，研究多指標(biāo)決策問題指標(biāo)權(quán)重的確定，具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。指標(biāo)權(quán)重的確定方法主要有兩大類[2]：一類是主觀賦權(quán)法，另一類是客觀賦權(quán)法。主觀賦權(quán)法是由專家根據(jù)經(jīng)驗對實際問題主觀判斷合理確定各指標(biāo)相對重要性程度，并通過數(shù)學(xué)處理獲得反映指標(biāo)實際重要程度的近似權(quán)重。這類方法已有成熟的研究成果，如：Delphi法、AHP法、最小平方和法、特征向量法等。其顯著的特點是確定的指標(biāo)權(quán)重能反映指標(biāo)實際重要程度的順序情況，但主觀隨意性大。適用于根據(jù)指標(biāo)本身含義確定權(quán)重，或決策者進(jìn)行多指標(biāo)決策時定性指標(biāo)較多且對各指標(biāo)有偏好的指標(biāo)權(quán)重的確定?？陀^賦權(quán)法是根據(jù)決策矩陣中某指標(biāo)下各方案指標(biāo)值差異的大小來確定其權(quán)重，各方案指標(biāo)值差異越大，該指標(biāo)權(quán)重越大，反之，該指標(biāo)權(quán)重越小。其顯著的特點是確定的指標(biāo)權(quán)重具有絕對的客觀性，無主觀影響，但確定的權(quán)重有時與實際相悖，即最不重要的指標(biāo)可能具有最大的權(quán)重，最重要的指標(biāo)卻不一定具有最大的權(quán)重。因為最重要的指標(biāo)不一定使所有決策方案的指標(biāo)值具有最大的差異，最不重要的指標(biāo)卻有可能使所有決策方案的指標(biāo)值具有最大的差異。實際決策中，各方案指標(biāo)值無差異的指標(biāo)不予考慮。因此，該類方法適用于決策者進(jìn)行多指標(biāo)決策時定量化指標(biāo)較多且對各指標(biāo)無任何偏好的指標(biāo)權(quán)重的確定。多指標(biāo)決策問題的指標(biāo)權(quán)重客觀確定已引起專家、學(xué)者的廣泛關(guān)注，取得了一些研究成果。指標(biāo)值為精確數(shù)的指標(biāo)權(quán)重客觀確定方法主要有：（1）離差最大化方法[3]—[6]。文獻(xiàn)[3]依據(jù)指標(biāo)下各方案指標(biāo)值的極差或均方差的大小確定各指標(biāo)的權(quán)重，不太合理，因為某指標(biāo)下各方案指標(biāo)值的極差或均方差大，不一定其各方案指標(biāo)值間的離差就大；文獻(xiàn)[4]、[5]依據(jù)各方案的加權(quán)規(guī)范化指標(biāo)值間的偏差最大確定各指標(biāo)的權(quán)重，計算煩瑣，且要求權(quán)重滿足單位化約束條件，這有別于人們的習(xí)慣用法——權(quán)重滿足歸一化約束條件，求得的權(quán)重不能充分反映各指標(biāo)提供信息的重要程度大??；文獻(xiàn)[6]綜合指標(biāo)值的離差最大化和指標(biāo)值權(quán)重信息熵最大化確定各指標(biāo)權(quán)重，其權(quán)重信息熵最大化有悖于多指標(biāo)決策的思想。因為，權(quán)重信息熵越大，權(quán)重信息的無序度越高，權(quán)重可利用程度越低[7]，而求解多指標(biāo)決策問題一般期望各指標(biāo)的權(quán)重區(qū)分度越高越好，即決策中權(quán)重的利用程度越高越好。（2）理想方案偏離法[8]—[10]。依據(jù)各方案的加權(quán)規(guī)范化指標(biāo)值與理想方案的偏差最小，或與負(fù)理想方案的偏差最大確定各指標(biāo)的權(quán)重。不太符合客觀賦權(quán)法的基本思想，因為：①未充分利用指標(biāo)值的客觀信息；②各方案指標(biāo)值與理想方案指標(biāo)值的差異不能反映各方案指標(biāo)值間的差異狀況。因此，求得的指標(biāo)權(quán)重只是反映各方案與正理想方案指標(biāo)值偏差最小，與負(fù)理想方案指標(biāo)值偏差最大的指標(biāo)權(quán)重，不能反映指標(biāo)值提供的決策信息的重要程度[11]。（3）熵值法[12]。利用多指標(biāo)決策問題各指標(biāo)下各方案指標(biāo)值提供的信息熵來確定指標(biāo)權(quán)重，是多指標(biāo)決策的較成熟的一種客觀賦權(quán)法。指標(biāo)值為區(qū)間數(shù)的指標(biāo)權(quán)重客觀確定方法，借助于指標(biāo)值為精確數(shù)的指標(biāo)權(quán)重客觀確定方法的思想，增加區(qū)間數(shù)指標(biāo)值偏差的處理，也主要有三類研究成果：（1）離差最大化方法[13]—[15]。思想同文獻(xiàn)[4]、[5]。但指標(biāo)值規(guī)范化標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一。（2）理想方案偏離法[16]—[19]。思想同文獻(xiàn)[8]—[10]。但文獻(xiàn)[17]的理想方案不合理，并要求權(quán)重向量滿足單位化條件，不符合人們的習(xí)慣用法；[16]、[18]、[19]指標(biāo)值規(guī)范化標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一。（3）熵值法[20]。以各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值與理想方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的相離度序列信息熵確定各指標(biāo)權(quán)重。不太符合客觀賦權(quán)法的基本思想，因為此相離度序列信息熵，不能充分反映各方案指標(biāo)值間的偏差程度。另外，此三類方法在區(qū)間數(shù)指標(biāo)值偏差處理中，除[13]、[14]外，均存在區(qū)間數(shù)相離度或距離的定義與精確數(shù)相離度或距離的定義不符。綜上分析，離差最大化方法、熵值法符合客觀賦權(quán)法的基本思想和原理，是較好的客觀賦權(quán)方法論。但離差最大化賦權(quán)和區(qū)間數(shù)指標(biāo)熵值法賦權(quán)存在一定的不足，有必要對其進(jìn)行進(jìn)一步的研究，以完善客觀賦權(quán)法的理論與方法。本文僅針對區(qū)間數(shù)指標(biāo)熵值法賦權(quán)的不足進(jìn)行研究，綜合利用區(qū)間數(shù)指標(biāo)值上、下界序列的信息熵，合理衡量各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值間的差異，提出一種新的區(qū)間數(shù)指標(biāo)客觀賦權(quán)的熵值法。

1 區(qū)間數(shù)指標(biāo)權(quán)重確定的熵值法原理與算法

定 義1[21]設(shè) 非 負(fù) 序 列 X={x1,x2,…,xm} ，且。則稱:

為序列X的信息熵。規(guī)定：0ln0≡0

可見，信息熵 E≥0；當(dāng) x1=x2=…xm=1/m時，E=1。因此，0≤E≤1，E值越大，序列X越趨于常數(shù)列，即序列X中的元素偏差程度越?。籈值越小，序列X中的元素偏差程度越大。即序列X的信息熵E是反映序列X中元素的偏差程度的。

設(shè)多指標(biāo)決策問題有m個可行方案：A1、A2、…、Am，n個評價指標(biāo)：G1、G2、…、Gn，可行方案 Ai在評價指標(biāo)Gj下的指標(biāo)值為非負(fù)區(qū)間數(shù)，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。決策矩陣為：。評價指標(biāo)Gj的權(quán)重為 wj（ j=1,2,…,n）未知，并且

由客觀賦權(quán)法的原理，評價指標(biāo)Gj下各方案指標(biāo)值偏差越大，則該評價指標(biāo)對方案優(yōu)選或排序的作用越大，該評價指標(biāo)的權(quán)重也應(yīng)越大；反之，則該評價指標(biāo)對方案優(yōu)選或排序的作用越小，該評價指標(biāo)的權(quán)重也應(yīng)越小。

評價指標(biāo)Gj下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值序列的偏差體現(xiàn)在其上界值序列的偏差和下界值序列的偏差。而定義的序列信息熵能準(zhǔn)確度量評價指標(biāo)Gj下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的上界值序列偏差程度和下界值序列偏差程度。

評價指標(biāo)Gj下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的下界序列信息熵E-j：

目前，地鐵軌道建設(shè)規(guī)模已經(jīng)成為衡量城市水平的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)達(dá)的地鐵軌道可以提升人們的出行速度，降低交通壓力，提升城市效率。我國的地鐵軌道建設(shè)項目規(guī)模不斷增大，其質(zhì)量安全問題必須得到充分的關(guān)注。加強施工中的重點難點分析，并提出科學(xué)合理的應(yīng)對措施對提高地鐵軌道項目的質(zhì)量至關(guān)重要，對延長工程項目的使用壽命、降低工程成本有很大的作用。

其中：

上界序列信息熵E+j：

其中：

因此，評價指標(biāo)Gj下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值序列的偏差程度，可以其下界序列信息熵E-j和上界序列信息熵的平均值反映。

稱Ej為評價指標(biāo)Gj下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值序列的信息熵。

熵值Ej越大，Gj指標(biāo)下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值間的偏差越小，也即Gj對方案優(yōu)選或排序的重要程度越小，則Gj指標(biāo)的權(quán)重越??；熵值Ej越小，Gj指標(biāo)下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值間的偏差越大，也即Gj對方案優(yōu)選或排序的重要程度越大，則Gj指標(biāo)的權(quán)重越大。

因此，Gj指標(biāo)對方案優(yōu)選或排序的重要程度dj為：

區(qū)間數(shù)指標(biāo)Gj的權(quán)重為：

綜上所述，熵值法確定區(qū)間數(shù)指標(biāo)權(quán)重的算法：

（3）按式（6）計算各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值序列信息熵Ej（j=1,2,…,n）。

（4）按式（7）計算Gj指標(biāo)對方案優(yōu)選或排序的重要程度 dj（ j=1,2,…,n）。

（5）按式（8）計算Gj指標(biāo)的權(quán)重 wj（ j=1,2,…,n）。

2 實例分析

新產(chǎn)品開發(fā)投資方案評價問題[15][20]。為開發(fā)新產(chǎn)品，擬定了5個投資方案 A1、A2、A3、A4、A5，各方案的4個評價指標(biāo)值如表1所示。試根據(jù)各方案評價指標(biāo)值信息確定各評價指標(biāo)的權(quán)重。

下面用本文給出的熵值法求4個評價指標(biāo)的權(quán)重。

（1）各方案指標(biāo)值的下界決策矩陣：

表1 各方案指標(biāo)值

由式（2）、（3）計算出各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的下界序列信息熵：

（2）各方案指標(biāo)值的上界決策矩陣：

由式（4）、（5）計算出各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的上界序列信息熵：

（3）由式（6）計算各區(qū)間數(shù)指標(biāo)值序列信息熵：

（4）由式（7）計算各指標(biāo)對方案優(yōu)選或排序的重要程度：

（5）由式（8）計算各評價指標(biāo)的權(quán)重：

此計算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果相近，并且權(quán)重的大小順序完全一致。說明本文的方法是有效可行。

3 結(jié)論

針對指標(biāo)值為區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)決策中指標(biāo)權(quán)重確定的客觀賦權(quán)問題，本文提出了一種基于評價指標(biāo)下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的差異程度確定區(qū)間數(shù)指標(biāo)權(quán)重的分析方法。該方法中，依據(jù)客觀賦權(quán)的原理和序列信息熵的含義，利用各指標(biāo)下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的上、下界序列的信息熵，反映各方案指標(biāo)值的偏差程度，給出了確定各區(qū)間數(shù)指標(biāo)權(quán)重的一種熵值法。該方法簡捷合理，計算量小，可操作性強。實例分析表明，該方法分析思路清晰，能充分運用多指標(biāo)決策問題各指標(biāo)值的信息，合理有效，簡單實用。因此，本文的研究對完善權(quán)重信息未知的區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策問題的權(quán)重客觀確定，有一定的理論意義和實用價值。

[1]崔杰，黨耀國，劉思峰.基于灰色關(guān)聯(lián)度求解指標(biāo)權(quán)重的改進(jìn)方法[J].中國管理科學(xué)，2008,（5）．

[2]王明濤.多指標(biāo)綜合評價中權(quán)數(shù)確定的一種綜合分析方法[J].系統(tǒng)工程，1999,（2）．

[3]王明濤.多指標(biāo)綜合評價中權(quán)數(shù)確定的離差、均方差決策方法[J].中國軟科學(xué)，1999,（8）．

[4]王應(yīng)明.運用離差最大化方法進(jìn)行多指標(biāo)決策與排序[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，1998,（7）．

[5]王應(yīng)明.離差平方和的多指標(biāo)決策方法及其應(yīng)用[J].中國軟科學(xué)，2000,（3）．

[6]汪澤焱.一種基于最大離差和熵的多指標(biāo)評價方法[J].解放軍理工大學(xué)學(xué)報，2002,（6）．

[7]王婧，張金鎖.綜合評價中確定權(quán)重向量的幾種方法比較[J].河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2001,（2）．

[8]高峰記，黃詠芳，任曉燕.多指標(biāo)區(qū)間決策的理想點貼近法[J].數(shù)學(xué)的認(rèn)識與實踐，2005,（1）．

[9]錢鋼，徐澤水.三種基于理想點的不確定多屬性決策優(yōu)化模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003,（5）．

[10]孫在東，徐澤水，達(dá)慶利.基于方案貼近度的不確定型多屬性決策模型[J].中國管理科學(xué)，2001,（6）．

[11]肖小英.關(guān)于理想點多屬性決策方法中權(quán)值的確定[J].統(tǒng)計與決策，2010,（9）．

[12]郭秀英.預(yù)測決策的理論與方法[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2010.

[13]閆書麗，楊萬才，肖新平.屬性權(quán)重未知的混合型多屬性決策方法[J].統(tǒng)計與決策，2008,（1）．

[14]饒從軍，肖新平.風(fēng)險型動態(tài)混合多屬性決策的灰矩陣關(guān)聯(lián)度法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006,（9）．

[15]徐澤水，孫在東.一類不確定型多屬性決策問題的排序方法[J].管理科學(xué)學(xué)報，2002,（3）．

[16]解瑤，毛曉楠，張蓓蓓.屬性權(quán)重信息不完全區(qū)間數(shù)多屬性決策方法[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007,（3）．

[17]張堯，樊治平.部分指標(biāo)權(quán)重信息下的區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策方法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008,（10）．

[18]楊春玲，張傳芳，許文翠.基于區(qū)間數(shù)貼近度的不確定多屬性決策模型[J].數(shù)學(xué)的認(rèn)識與實踐，2010,（21）．

[19]汪澤焱，王春霞，張金輝.一種基于理想?yún)^(qū)間數(shù)和熵的多指標(biāo)評價法[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2006,（1）．

[20]朱方霞，陳華友.確定區(qū)間數(shù)決策矩陣屬性權(quán)重的方法——熵值法[J].安徽大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006,（5）．

[21]楊玉中，吳立云，張強.基于灰熵的不確定型決策方法及其應(yīng)用[J].工業(yè)工程于管理，2006,（2）．