倒U型多拐點社會問題的測度

羅愛華

0 引言

收入分配是人文社會科學領域一大重要課題，社會學家通常從促進社會公平和穩(wěn)定的角度闡述收入分配不平等的危害。而在經(jīng)濟學領域，學者們更多的是探究收入分配不平等對消費、總收入等經(jīng)濟變量的影響。過去半個多世紀以來，學者們就經(jīng)濟增長與收入不平等之間互動因果關系進行了大量探討，所得理論成果也是百家爭鳴。庫茲涅茨在其論文《經(jīng)濟增長與收入不平等》中將收入分配不平等視為解釋變量，經(jīng)濟發(fā)展水平為被解釋變量，利用英、美、德等多國數(shù)據(jù)推論出其著名的“倒U型假說”。倒U型假說揭示每一經(jīng)濟體在經(jīng)濟發(fā)展過程中所顯示出的共通規(guī)律：在經(jīng)濟發(fā)展初期，收入差距將隨著經(jīng)濟發(fā)展水平上升而擴大，而當經(jīng)濟發(fā)展到一定階段后，收入差距將隨經(jīng)濟發(fā)展水平上升而縮小?！暗筓型假說”似乎完美地解說了一個經(jīng)濟社會良好的發(fā)展軌跡，但這半個多世紀以來關于此假說的爭論一直未停止過。反對者主要是針對庫茲涅茨使用的數(shù)據(jù)等方面進行質疑，表示其推論不一定具有普適性。

本文在研究中采用的是計量經(jīng)濟學領域較為前沿的擬合倒U曲線的研究方法，事先不假定收入分配不平等與基尼系數(shù)之間的關系，利用重慶城鎮(zhèn)收入不平等、經(jīng)濟發(fā)展數(shù)據(jù)，使用非參數(shù)局部多項式進行函數(shù)擬合，對倒U假說進行驗證。

1 理論模型

1.1 非參數(shù)局部多項式回歸模型

對于基尼系數(shù)和人均GDP（或其值的對數(shù)值）函數(shù)關系擬合學者們一直都有深入的研究，本文采用的是計量經(jīng)濟學領域較為前沿的模型分析方法，非參數(shù)局部多項式回歸模型。非參數(shù)局部多項式回歸模型是非參數(shù)回歸模型的一種。

給定n對觀察值（X1,Y1）（X2,Y2）…（Xn,Yn）,自變量X和因變量Y之間的關系由下面方程定義：

這里的R(x)為回歸函數(shù)，Rn(Xi)為其估計值。對該回歸函數(shù)的估計有多種方法，核估計便是其中常見的一種。核估計條件下，選擇一個估計量a=Rn(Xi)使得

最小。其中W(Xi)=K((Xi-x)/h)為核函數(shù)，h為帶寬，即在x領域內選擇多大的帶寬以包含參與回歸估計的點。核函數(shù)的種類較多，但研究表明選擇不同核函數(shù)進行估計其估計值差別不大，真正影響非參數(shù)回歸估計精準性的是帶寬的選擇。然而傳統(tǒng)的核估計也不是非參數(shù)回歸最佳的選擇，因為核估計存在邊界效應，即邊界處收斂于實際函數(shù)的速度慢于內點處的收斂速度，同時核估計帶來的估計誤差較大，偏差與自變量的密度函數(shù)有關。相比經(jīng)典的N-W核回歸估計，局部多項式估計方法均可避免上述問題。另外，局部多項式估計方法既適用于解釋變量為確定性變量的固定設定模型，也適用于解釋變量為隨機性變量的隨機設定模型；既適用于隨機設定模型解釋變量分布均勻的情形，也適用于分布不均勻的情形。此外，局部多項式估計還可估計出回歸函數(shù)的導函數(shù)、二階導等（取決于多項式的階數(shù)），方便進行經(jīng)濟學領域內的邊際效益、彈性分析等。局部多項式估計擁有的諸多優(yōu)點使該項回歸方法近年來備受計量經(jīng)濟學各領域學者的青睞。

在應用非參數(shù)局部多項式估計方法時，針對曲線上不同X0點進行泰勒展開。假設收入分配不平等為變量y,經(jīng)濟增長為變量x,倒U曲線函數(shù)形式未知，但我們可以表示為一般形式：y=m(x)。

對于每一x點我們都按泰勒展開式展開：

Q2(x)可看成是隨機誤差，令

X0的選擇可以是任意的，顯然我們的估計值m(X0),m’(X0),m’’(X0)/2…m(p)(X0)/p!與X0有關。非參數(shù)二項式估計方法同核估計方法本質相同，要求下式取得最小值：

其中，K(x)是核函數(shù)，I(x)是顯示函數(shù)。核函數(shù)為每一參與局部多項式回歸的觀測點賦予權重，顯示函數(shù)的含義則是當括號內的不等式成立時函數(shù)值取1否則取0，由此確定X0鄰域內參與高點局部多項式回歸的觀測點。其中Y=（Y1，Y2，...，Yn）T；β =（ β1，β2，...，βn）T；W=Diag

由此，上式的加權最小二乘解為：

1.2 回歸模型的幾點說明

非參數(shù)局部多項式回歸模型中涉及到的幾個比較重要的因素是窗寬h、核函數(shù)及階數(shù)p的選擇。

（1）最佳窗寬的選擇

窗寬參數(shù)h在局部回歸中影響到參與回歸的觀測點個數(shù)，太大的窗寬將使與x=X0距離較遠的點也參與回歸，而太小的窗寬則使領域內較少的點參與局部回歸，這兩者都會使估計結果與真實值有較大偏差。因而尋求最佳窗寬是本研究重要任務之一。最佳窗寬的估計原理是在每個觀察點Xn處，剔除該點對其余n-1個點進行核權估計，最終選擇平均擬合誤差達最小的窗寬h。本研究中，在尋找最佳窗寬過程中，首先采用系統(tǒng)默認值發(fā)現(xiàn)模型擬合效果較差。最后通過在R軟件中進行編程求得最佳窗寬0.513，此時模型擬合性狀較優(yōu)。

（2）核函數(shù)的選擇

核函數(shù)為一個對稱的概率密度函數(shù)，它在局部回歸中的意義是起到平滑的作用。具體到每一觀測點X0來講，在進行局部回歸時對參與回歸的X0領域內觀測點賦予權重，與X0距離近的觀測點賦予較大權重;相反則賦予較小權重，從而能夠消除隨機因素影響，使模型擬合結果更符合實際情況。而實際上在局部多項式回歸當中，不同核函數(shù)的選擇對估計結果的影響不是特別大。因此，本研究中核函數(shù)選用的是系統(tǒng)默認的高斯核函數(shù)。

（3）階數(shù)p的選擇

對于給定的窗寬h，階數(shù)越大局部多項式回歸的估計偏差越小，但同時也導致了較大的方差。本文在研究中主要考慮到局部多項式回歸常數(shù)項、導數(shù)項、二階導數(shù)項對于經(jīng)濟學中的彈性分析、拐點分析，能夠更好地反映函數(shù)的性態(tài)，因此p選擇了二次多項式回歸。

2 實證分析

2.1 基尼系數(shù)源數(shù)據(jù)采集與計算

基尼系數(shù)的計算有多種方法，而本研究的重點在探討基尼系數(shù)與人均GDP之間的關系，因此基尼系數(shù)的計算采取相對較為簡單便捷的公式法。根據(jù)《重慶統(tǒng)計年鑒》里關于城鎮(zhèn)人口收入分組調查數(shù)據(jù)，我們可以選擇下述公式進行計算：

其中，Wi是按收入分組后的人口數(shù)占總人口數(shù)的比重，Yi是按收入分組后各組人口所擁有的收入占收入總額的比重，Vi是Yi從i=1的累計數(shù)即Vi=Y1+Y2+???Yi[4]。

本研究收集到1989～2009年《重慶市統(tǒng)計年鑒》中關于城鎮(zhèn)人口收入分組數(shù)據(jù)，由此針對每一年的收入分組數(shù)據(jù)進行計算得到歷年的城鎮(zhèn)基尼系數(shù)值。在計算中，公式里有些參數(shù)大都是不能直接得到，如Wi需要根據(jù)每一分組所占的戶數(shù)及戶人均人口來計算，Yi、Vi則都要根據(jù)戶數(shù)、戶人均人口及人均可支配收入來計算。表1給出了1989～2009年計算出的基尼系數(shù)值。

表1 1989年到2009年基尼系數(shù)值

需要說明的是有些年份（1996、2006）的基尼系數(shù)源數(shù)據(jù)統(tǒng)計上有明顯錯誤，因此選取其前后兩年的基尼系數(shù)的算術平均值。對比學者陳昌兵計算出的1995年到2004年的重慶城鎮(zhèn)居民基尼系數(shù)值，與本文算出的基尼系數(shù)大致是吻合的。圖1給出了基尼系數(shù)隨年份的變化趨勢。

從圖1可以看出1989年至2009年基尼系數(shù)的整體變化趨勢。雖然從絕對數(shù)值上來講，重慶市城鎮(zhèn)居民基尼系數(shù)一直在警戒線以下，但我們要看到隨著經(jīng)濟發(fā)展，城鎮(zhèn)基尼系數(shù)本身有著不斷上升的趨勢。目前重慶市城鎮(zhèn)基尼系數(shù)已由上世紀90年代初期的0.15左右上升到0.27左右，幾乎上漲了一倍，因此其帶來的影響不可忽略。

圖1 1989年至2009年基尼系數(shù)值折線圖

圖1 中基尼系數(shù)變化趨勢可分為幾個階段。第一階段是1989～1993年，這一階段的特點是基尼系數(shù)以上下波動的方式變化，且前后相差不是太大。追溯到統(tǒng)計年鑒中的數(shù)據(jù)，在上世紀90年代初期城鎮(zhèn)居民收入并不高，收入分組數(shù)據(jù)中顯示最高收入分組為180元以上，收入分組組距相差較小。因此我們推斷在早期基尼系數(shù)維持在一個相對較低且穩(wěn)定的水平，一方面歸因于經(jīng)濟整體發(fā)展水平不高，收入水平尚不能拉開較大差距；另一方面則歸因于早期相對平均、集中的分配方式。第二階段是1994～2001年，1994年是一個轉折點，首先體現(xiàn)在收入分組方法上，最低收入規(guī)定為150元及以下，最高收入戶則上升到750元以上，此后的年份在此基礎上有一些微調。其次在數(shù)值上，1994年基尼系數(shù)明顯高于其前后的年份，可能與分組方法等因素有關。1995～2001年基尼系數(shù)的變化基本呈上升態(tài)勢，很好地反映了經(jīng)濟發(fā)展中收入不平等水平的變化趨勢。第三階段是2002～2009年，2002年在此處又是一個轉折點。統(tǒng)計年鑒中說明，由于2002年統(tǒng)計制度的調整，2002年以后的收入分組統(tǒng)計口徑與先前的年份有不同，這一原因可能造成了2002年基尼系數(shù)明顯偏大。同時在考察學者們對其他省份該年份及前后幾年城鎮(zhèn)基尼系數(shù)值后發(fā)現(xiàn)各省份城鎮(zhèn)基尼系數(shù)均在2002年有一個相對畸高的上升。2002年以后，城鎮(zhèn)基尼系數(shù)變化則是呈現(xiàn)先升后降的趨勢，且下降的年份是在2008、2009年。綜合上述分析，我們可得出，1989～2009年重慶市城鎮(zhèn)基尼系數(shù)總體上呈上升趨勢，城鎮(zhèn)居民收入不平等水平是越來越大，政府有必要重視這一現(xiàn)實。

2.2 倒U曲線擬合實證分析

本研究中經(jīng)濟增長采用人均GDP的對數(shù)值作為自變量，即GDP與基尼系數(shù)之間的關系是Gini=m(lngdp)。從重慶市統(tǒng)計年鑒采集人均GDP數(shù)值并計算對數(shù)值。如表2所示。

表2 1989～2009年重慶市城鎮(zhèn)居民人均GDP及對數(shù)值

在獲取模型實證分析所需的數(shù)據(jù)后，本研究主要通過R軟件中運用locpoly命令進行非參數(shù)局部多項式回歸。非參數(shù)局部多項式回歸中對于帶寬的選擇對于估計值的準確性有很大影響，這個部分的實現(xiàn)通過在R軟件編程計算得到最佳窗寬為0.513。表3是通過軟件進行非參數(shù)局部多項式回歸的數(shù)據(jù)結果。

根據(jù)前述的倒U曲線非參數(shù)局部多項式回歸模型，我們要估計的主要參數(shù)值即為βj在上表中則為基尼系數(shù)估計值，擬合函數(shù)的一階導、二分之一二階導。二階偏導數(shù)數(shù)學含義是，若m′(X0)＜0表示曲線在X0點附近是凸弧，收入分配不平等速度減速上升；若m″(X0)＞0則表示曲線在X0附近是凹弧，收入分配不平等速度加速上升。當m″(X0)=0時，且X0點左右二階導符號相反，則X0點處為函數(shù)的一個拐點。一階導的數(shù)學含義是，若m″(X0)＜0表示在X0處m(X0)有上升的趨勢，反之表示m(X0)有下降的趨勢。

表3 模型數(shù)據(jù)與主要估計結果

由表3的數(shù)據(jù)結果我們可以給出倒U曲線圖，以方便我們更清晰明了地探討倒U曲線的發(fā)展變化趨勢，如圖2所示

從圖2可以看出，通過R軟件進行非參數(shù)局部多項式回歸擬合后的收入不平等曲線是一條光滑曲線，能夠清晰地看出基尼系數(shù)與經(jīng)濟增長之間的互動關系。整體上來講，在1989～2009年間，隨著經(jīng)濟水平的提高，重慶城鎮(zhèn)基尼系數(shù)除在個別年份有回落外主要呈不斷上升趨勢，顯示出重慶城鎮(zhèn)收入不平等程度在逐年加深。但同時我們也注意到在圖2中，倒U曲線在發(fā)展至尾端時已非常平坦，甚至有緩慢下降的趨勢。

接下來在本研究中，我們需要尋找倒U曲線的拐點，拐點的含義是倒U曲線在此前后凹凸性發(fā)生改變，由此可以探討在基尼系數(shù)不斷上升的條件下，其增長速度是怎樣變化的。函數(shù)拐點出現(xiàn)在二階導變號，一階導保持同號的年份前后。由表3我們發(fā)現(xiàn)倒U曲線僅存在一個拐點，即在1998、1999年前后倒U曲線的凹凸性發(fā)生改變。我們將模型擬合的二階導結果繪成圖3，可清晰看到從1989年到2009年間基尼系數(shù)上升態(tài)勢確實只發(fā)生了一次改變。對倒U曲線在重慶城鎮(zhèn)地區(qū)的實證檢驗，我們并未得到與學者許冰、章上峰所提出的多拐點過山車式倒U曲線演變趨勢。但實證研究結果仍對于研究重慶地區(qū)城鎮(zhèn)居民收入不平等問題有重要指導意義。

圖2 重慶城鎮(zhèn)收入不平等曲線變化趨勢

圖3 模型擬合二階導變化曲線

結合圖形及數(shù)據(jù)充分顯示，我們可以將重慶城鎮(zhèn)收入不平等發(fā)展趨勢按增長速度簡單劃分為兩個階段。第一階段從1989年到1998年，這段時間倒U曲線一階導與二階導始終為正，這表明這段時期基尼系數(shù)是隨社會經(jīng)濟增長不斷呈加劇上升的態(tài)勢，標志著城鎮(zhèn)居民收入不平等狀況愈演愈烈；第二階段則是從1999年到2008年，這一階段倒U曲線面臨的是一階導始終為正而二階導始終為負的狀態(tài)，這表明這段期間城鎮(zhèn)基尼系數(shù)雖然也一直在上升，但其上升速度已有所放緩。同時值得注意的是在2009年倒U曲線的一階導數(shù)已變?yōu)樨摂?shù)，這說明倒U曲線必然經(jīng)歷了導數(shù)為零的駐點，即倒U曲線已達到了極大值點。

由上述分析可知，重慶城鎮(zhèn)人口收入分配不平等狀況目前已經(jīng)過了倒U曲線的左半邊，基尼系數(shù)的發(fā)展趨勢目前停留在減速下降的階段。因此，可以預測倒U曲線未來幾年內是以下降的趨勢發(fā)展，即城鎮(zhèn)居民收入差距過大這一現(xiàn)狀將會出現(xiàn)不斷好轉。但對于未來更長時間內城鎮(zhèn)人口收入分配不平等狀況是否會出現(xiàn)多拐點，是否會有過山車式等復雜的演變趨勢，則有賴于更為長期的數(shù)據(jù)觀察才能得出定論。

2.3 倒U曲線發(fā)展趨勢預測

經(jīng)過對重慶市城鎮(zhèn)居民收入差距進行實證研究，對倒U理論進行了驗證。最終結果顯示，在經(jīng)濟增長過程中，收入分配不平等水平確實與經(jīng)濟增長之間存在著倒U曲線變化關系，目前重慶城鎮(zhèn)收入分配不平等水平已經(jīng)過倒U曲線的左半部分，走向了倒U曲線的右半邊。在1989到2008年間，重慶城鎮(zhèn)人口收入不平等程度是逐年上升的，但上升的速度有所區(qū)別，而到2009年開始重慶城鎮(zhèn)人口收入不平等狀況已開始有所好轉。雖然目前重慶市城鎮(zhèn)人口收入不平等程度是處在減速下降階段，重慶城鎮(zhèn)收入分配不平等程度已達到相當水平，過去二十幾年來這種不平等增幅過大。政府和社會對此應高度重視。

雖然從長期看，如果承認倒U曲線的存在，則同時承認了政府干預是無效的，經(jīng)濟發(fā)展會自行走出收入分配不平等這一困境，但一個社會對貧富差距有一定的忍耐限度。目前重慶市城鎮(zhèn)基尼系數(shù)雖然在絕對值上處于國際警戒線之下，但因城鎮(zhèn)人口的增多、近年來基尼系數(shù)過大的漲幅，城鎮(zhèn)基尼系數(shù)勢必成為整體基尼系數(shù)主導因素。城鎮(zhèn)居民群體作為現(xiàn)代經(jīng)濟社會的中流砥柱，他們擁有更多的知識水平和社會資源，落實好這部分人的生活問題、安定問題，才能促進和諧社會、城鄉(xiāng)統(tǒng)籌的總目標的實現(xiàn)。因此，重慶市政府在把基尼系數(shù)納入政績考核體系時，不僅應關注現(xiàn)階段矛盾較大的城鄉(xiāng)差距，更要城鎮(zhèn)居民收入差距。

3 結語

本文通過非參數(shù)局部多項式回歸方法對重慶市城鎮(zhèn)居民基層系數(shù)和人均GDP的關系進行倒U假說驗證?？傮w來說，本文得到以下兩點重要結論：

（1）重慶市城鎮(zhèn)居民收入不平等狀況符合倒U假說，城鎮(zhèn)居民收入不平等狀況已達到極大值點，但為進一步防止重慶市城鎮(zhèn)社會各階層收入差距進一步惡化和社會不穩(wěn)定因素出現(xiàn)，政府應予以重視。

（2）重慶市城鎮(zhèn)居民收入不平等狀況增長趨勢確實發(fā)生了增速變化，但目前并未出現(xiàn)多拐點過山車式上升的演變趨勢。

[1]Kuznets S.Economic Growth and Income Inequality[J].American Eco?nomic Review,1955，（45）.

[2]許冰，章上峰.經(jīng)濟增長與收入分配不平等的倒U型多拐點測度研究[J].數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究，2010,（2）.

[3]李子奈，葉阿忠.高等計量經(jīng)濟學[M].北京：清華大學出版社，2000.

[4]陳昌兵.各地區(qū)居民收入基尼系數(shù)計算及其非參數(shù)計量模型分析[J].數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究，2007,（1）.

[5]王祖祥.中部六省基尼系數(shù)的估算研究[J].中國社會科學，2006,（4）.

[6]李玲慧.外貿出口對中國經(jīng)濟增長影響分析[J].科學決策,2010，(3).