因子分析應(yīng)用中一些常見問(wèn)題的解析

林海明

1 因子分析應(yīng)用中的一些常見問(wèn)題

因子分析是多元分析中降維的一種方法[1]。在心理學(xué)、教育學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、自然科學(xué)等眾多領(lǐng)域的多指標(biāo)(變量)體系中，如員工績(jī)效指標(biāo)體系、學(xué)生課程指標(biāo)體系、節(jié)約型社會(huì)指標(biāo)體系、生態(tài)環(huán)境可持續(xù)型指標(biāo)體系、和諧社會(huì)指標(biāo)體系、對(duì)外投資環(huán)境指標(biāo)體系等，因子分析常應(yīng)用于綜合評(píng)價(jià)與監(jiān)控。

傳統(tǒng)的因子分析模型是[2]：有p維的可觀測(cè)隨機(jī)向量X=(X1,…,Xp)′，E(X)= μ =(μ1,…,μp)′，Cov(X)=∑=(σij)p×p，要求X是線性依賴于幾個(gè)不能觀測(cè)的稱之為公因子的隨機(jī)向量F=(F1,…,Fm)′和附加的稱之為誤差(或特殊因子)的隨機(jī)向量ε=(ε1,…,εp)′。具體是：

或矩陣表示是：

L=(lij)p×m是公因子載荷陣，且設(shè)：

Cov(ε,F)=0，E(F)=0，Cov(F)=Im(單位陣)，E(ε)=0

上述關(guān)系與假設(shè)構(gòu)成傳統(tǒng)的正交因子分析模型。

因子分析的估計(jì)方法與理論較多，但實(shí)際上，因子分析的應(yīng)用并沒(méi)有達(dá)到較成熟的狀態(tài)，據(jù)歸納，一些使用者在應(yīng)用因子分析時(shí)，常出現(xiàn)以下8個(gè)問(wèn)題或困惑：

(1)因子分析的模型有傳統(tǒng)的因子分析模型和近期改進(jìn)的因子分析模型L(見第二部分)，使用哪個(gè)模型更好？

(2)因子分析解不唯一，有初始因子、旋轉(zhuǎn)后因子，何時(shí)使用初始因子更好？何時(shí)使用旋轉(zhuǎn)后因子更好？

(3)初始因子與旋轉(zhuǎn)后因子的計(jì)量值能混合使用嗎？

(4)現(xiàn)行因子個(gè)數(shù)的確定方法有時(shí)會(huì)失去一些原始變量的解釋，如何確定因子個(gè)數(shù)更好？

(5)因子如何命名、正向化，能保持原始變量與因子的內(nèi)在關(guān)系？

(6)前k個(gè)因子能加權(quán)綜合的條件是什么？

(7)用綜合因子對(duì)樣品進(jìn)行分類客觀嗎？

(8)綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，如何能深入到?jīng)Q策相關(guān)性程度？

有關(guān)文獻(xiàn)并沒(méi)有清楚地闡述上述問(wèn)題，以至應(yīng)用因子分析時(shí)，不易把握。本文應(yīng)用近期改進(jìn)的因子分析模型L的理論，逐一解析了上述問(wèn)題，給出了因子分析應(yīng)用中的一個(gè)綜合評(píng)價(jià)步驟，以實(shí)例說(shuō)明它的有效性，并給出了因子分析應(yīng)用中的一些建議。

2 因子分析應(yīng)用中8個(gè)問(wèn)題的解析

問(wèn)題(1)解析：傳統(tǒng)的因子分析模型沒(méi)有優(yōu)化條件，參照主成分分析能降維[1]，是因?yàn)橹鞒煞钟蟹讲钭畲蠡臈l件，故傳統(tǒng)的因子分析模型要能降維，沒(méi)有優(yōu)化條件是一個(gè)缺陷。文[3](1982)指出：因子分析的模型和理論是很不完善的，還存在許多問(wèn)題。為此，文[4](2006)用因子對(duì)變量的方差貢獻(xiàn)和最大化替代誤差項(xiàng)方差陣為對(duì)角陣的條件式(1.3)，提出了改進(jìn)的因子分析模型L；文[5](2007)用因子分析模型L求出了傳統(tǒng)因子分析模型的解，得出：傳統(tǒng)因子分析模型的公因子解不能降維，且有時(shí)會(huì)丟失一些變量的解釋，故使用傳統(tǒng)的因子分析模型不是更好的，同時(shí),傳統(tǒng)因子分析模型解的求出，為因子分析更好模型的確立提供了深入和充分的理論依據(jù)；文[6](2009)用標(biāo)準(zhǔn)化主成分法等證明了：因子分析模型L的因子解是前k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化主成分或其旋轉(zhuǎn)。因?yàn)榍発個(gè)主成分能降維，故前k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化主成分或其旋轉(zhuǎn)能降維，能解釋所有變量(見問(wèn)題②、問(wèn)題④解析)，有：

結(jié)論1因子分析模型L有因子對(duì)變量方差貢獻(xiàn)和最大化的條件，其因子能降維、能解釋所有變量，故因子分析模型L是更好的。

為了便于應(yīng)用，這里給出近期改進(jìn)的因子分析模型L及其解：

因子分析模型L[4]有p維的可觀測(cè)隨機(jī)向量X=(X1,…,Xp)′，E(X)=μ=(μ1,…,μp)′，Cov(X)=∑=(σij)p×p，要求X是線性依賴于少數(shù)幾個(gè)不能觀測(cè)的稱之為因子的隨機(jī)向量f=(f1,…,fk)′(k＜p)和附加的稱之為誤差的δ=(δ1,…,δk)′，即

Xi-μi=bi1f1+bi2f2+…+bikfk+δi,i=1,…,p. 矩陣表示是

B=(bij)p×k稱為因子載荷陣，bij稱為變量 Xi在因子fj上的載荷，且

求B、f，使：

式(1)～(3)稱為正交因子分析模型L。

設(shè)∑的特征值為λ1、…、λp，λ1≥…≥λp≥0，相應(yīng)的單位正交特征向量為e1，…，ep，記：

B0=(λ121e1,…,λ12kek)，f0=[λ-1/21e1′(X-μ),…,λ-1/2kek′(X-μ)]′(前k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化主成分)，稱B0為初始因子載荷陣，f0為初始因子。

設(shè)Г是使B0Г達(dá)到方差最大化的正交旋轉(zhuǎn)陣[3]，記BГ=B0Г，fГ=Г′f0(前k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化主成分f0方差最大化的正交旋轉(zhuǎn))，稱BГ為旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣，fГ為旋轉(zhuǎn)后因子。

引理1[6]因子分析模型L 的解：B=B0，f=f0，max{tr(B′B)}=

引理2[6]因子分析模型L的解：B=BГ，f=fГ，max{tr(B′B)}=

為了優(yōu)化現(xiàn)有因子分析理論，為了能用流行統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算因子分析模型L的解，文[6]建立了因子分析模型L的解與傳統(tǒng)因子分析模型中主成分法估計(jì)、回歸法估計(jì)的關(guān)系：

引理3[6]設(shè)L是主成分法的前k列公因子載荷陣(含旋轉(zhuǎn)后)，F(xiàn)是L回歸的因子，則因子分析模型L的解：B=L，f=F。

即引理3說(shuō)明：統(tǒng)計(jì)軟件中，計(jì)算因子分析主成分法的前k列公因子載荷陣L*及其回歸的因子F*，是因子分析模型L的解。

注:因?yàn)橹鞒煞址ㄕ`差項(xiàng)的方差陣不是對(duì)角陣，故主成分法估計(jì)的因子載荷陣L及其回歸的因子F，不是傳統(tǒng)因子分析模型的解。

由結(jié)論1，因子分析模型以下指的是：因子分析模型L；由引理3，因子分析模型的解以下指的是：主成分法的因子載荷陣L及其回歸的因子F。

問(wèn)題(2)解析：因子分析是用因子f解釋變量X的，故要求每個(gè)變量Xi(i=1,2,…,p)僅在某個(gè)因子fj(1≤j≤p)上有高額的載荷bij[2]。由式(2.3)，tr(B′B)=達(dá)到最大，非零載荷bij的絕對(duì)值—bij—總體上會(huì)更大，故因子分析模型L解釋所有變量是更好的，由引理3，主成分法的因子載荷陣是更好的。變量X標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，因子載荷陣B是變量X與因子f的相關(guān)陣，載荷bij是變量Xi與因子fj的相關(guān)系數(shù)，考慮到降維，該要求用因子載荷陣B描述是：B的每行有一個(gè)高額載荷的絕對(duì)值較靠近1，B的列數(shù)較小，稱此為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化。因此，有：

結(jié)論2變量X標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，主成分法下，多個(gè)不同列旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣中選出的因子載荷陣B0Г達(dá)到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，B0Г與 B0比較(見注 2)。

(1)如果B0Г達(dá)到更好的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，則使用相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)后因子；

(2)如果B0達(dá)到更好的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化或B0Г、B0都是差異不大的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，則使用相應(yīng)的初始因子。

注2旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣B0Г是逐次對(duì)初始因子載荷陣B0每?jī)闪性剡M(jìn)行方差最大化正交旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，初始因子載荷陣B0是列元素平方和(因子方差貢獻(xiàn)vj)降序排列達(dá)到最大化的結(jié)果[3]，即B0Г、B0的最大化方向不同，故一般情況下B0Г、B0的結(jié)果是不同的。

問(wèn)題(3)解析：由注2，一般情況下B0Г、B0的結(jié)果是不同的，故初始因子、旋轉(zhuǎn)后因子解釋的變量一般都發(fā)生了變化，這使得兩者因子的計(jì)量值、方差貢獻(xiàn)都不一樣，故有：

結(jié)論3初始因子、旋轉(zhuǎn)后因子有最大化方向不同的條件，結(jié)果不同，故初始因子、旋轉(zhuǎn)后因子不能混淆、不能混合使用。

問(wèn)題(4)解析：現(xiàn)行因子個(gè)數(shù)的確定方法有時(shí)是不合理的，如用累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到85%確定因子個(gè)數(shù)，有時(shí)會(huì)失去一些原始變量解釋。因?yàn)橐蜃臃治鲋惺怯靡蜃咏忉屪兞?，故選取的因子應(yīng)該與變量有顯著相關(guān)性(大樣本時(shí)至少應(yīng)達(dá)到中度相關(guān))，于是有：

結(jié)論4記達(dá)到更好結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的m列因子載荷陣是Bm，若(Bm,λ12m+1em+1,…,λ12pep)前k列元素絕對(duì)值大于顯著相關(guān)的臨界值(大樣本取0.5-0.8)，則因子個(gè)數(shù)為k，相應(yīng)因子載荷陣記為Bk。

問(wèn)題(5)解析：變量標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，因子載荷陣Bk是變量X與因子f=(f1,…,fk)′的相關(guān)陣，Bk的第j列bj是變量X與因子fj的相關(guān)系數(shù)，絕對(duì)值大于顯著相關(guān)臨界值(大樣本取0.5-0.8)的對(duì)應(yīng)變量與fj相關(guān)性高，因此有：

結(jié)論5在Bk的第j列bj的元素中，選出絕對(duì)值大于顯著相關(guān)臨界值(大樣本取0.5～0.8)的對(duì)應(yīng)變量，歸為因子fj一組，由這組變量的內(nèi)在關(guān)系對(duì)因子fj進(jìn)行命名及其正向化，這樣的因子分析能保持一些變量與因子的內(nèi)在關(guān)系。正向化后因子載荷陣及其因子記為B、f。

問(wèn)題(6)解析：因子是標(biāo)準(zhǔn)化的、彼此不相關(guān)，參照普通中學(xué)學(xué)生，語(yǔ)文、英語(yǔ)、數(shù)學(xué)考試成績(jī)可總分的條件：標(biāo)準(zhǔn)化、不相關(guān)、同方向，有：

結(jié)論6如果因子f=(f1,…,fk)′是正向的，則因子可進(jìn)行相應(yīng)方差貢獻(xiàn)率的加權(quán)綜合。

問(wèn)題(7)解析：綜合因子是前k個(gè)因子方差貢獻(xiàn)率的加權(quán)平均。綜合因子的樣品值反映的是n個(gè)樣品在綜合因子中的綜合相對(duì)位置(樣品相應(yīng)的優(yōu)勢(shì)、劣勢(shì)、差距狀況等)，前k個(gè)因子的樣品值反映的是n個(gè)樣品在前k個(gè)因子中的相對(duì)位置。僅用綜合因子進(jìn)行分析會(huì)失去前k個(gè)因子的特征，僅用前k個(gè)因子進(jìn)行分析會(huì)失去綜合因子的特征，這樣是不客觀的，因此，有：

結(jié)論7因子分析中既要進(jìn)行綜合因子的樣品分析，又要進(jìn)行前k個(gè)因子的樣品分析，兩者的結(jié)合分析才是較客觀、較可靠的。

樣品數(shù)量較多，逐個(gè)樣品分析看不出共性規(guī)律。僅按綜合因子值給出分類結(jié)果，失去了前k個(gè)因子的多因素特征，事實(shí)上，樣品的共性規(guī)律表現(xiàn)在前k個(gè)因子的樣品值中，對(duì)前k個(gè)因子樣品值進(jìn)行聚類分析(前k個(gè)因子是標(biāo)準(zhǔn)化，不相關(guān)的，選取歐式距離的聚類分析效果較好)，并按綜合因子值相應(yīng)順序給出分類，便找出了樣品之間較為客觀、可靠性的共性規(guī)律，故有：

結(jié)論8對(duì)前k個(gè)因子樣品值進(jìn)行系統(tǒng)聚類分析，按綜合因子值相應(yīng)順序給出樣品的分類，能較客觀、可靠地反映樣品之間的共性規(guī)律，便于進(jìn)行樣品的共性分析。

問(wèn)題(8)解析：因子分析、聚類分析給出了樣品客觀、可靠的個(gè)性與共性特征。但因子fj有綜合性，決策的相關(guān)性有待與原始指標(biāo)結(jié)合起來(lái)，由結(jié)論5，因子fj是按與其顯著相關(guān)(大樣本時(shí)達(dá)到中度相關(guān))的原始變量歸為因子fj這一類命名的，故將相應(yīng)原始變量對(duì)應(yīng)替換為因子fj進(jìn)行聯(lián)系性分析，便得出了較為可靠的決策相關(guān)性結(jié)果。

結(jié)論9將因子fj對(duì)應(yīng)替換為與其顯著相關(guān)(大樣本時(shí)達(dá)到中度相關(guān))的原始變量，對(duì)這些聯(lián)系性的原始變量逐組(當(dāng)作因子fj)和綜合地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得出的是較為客觀、可靠的決策相關(guān)性結(jié)果。

3 因子分析的一個(gè)綜合評(píng)價(jià)步驟

現(xiàn)行論文和文獻(xiàn)中，應(yīng)用因子分析的步驟大部分是:指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化；求變量樣本相關(guān)陣R、初始因子載荷陣、旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣、旋轉(zhuǎn)后因子；用因子方差累計(jì)貢獻(xiàn)率確定因子個(gè)數(shù)；旋轉(zhuǎn)后因子的命名。以下步驟增加了：指標(biāo)的正向化，指標(biāo)高度相關(guān)性的判定，因子是否旋轉(zhuǎn)的確定、因子的正向化，更新了因子個(gè)數(shù)確定方法，更新了因子命名方法，建立了因子、綜合因子與原始變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因子中變量的內(nèi)在關(guān)系，能進(jìn)行深入的數(shù)據(jù)分析。

(1)指標(biāo)正向化[7]、標(biāo)準(zhǔn)化；

(2)指標(biāo)間高度相關(guān)性判定：用變量相關(guān)陣R判定，若變量間有高度相關(guān)，因子分析繼續(xù)，否則，直接進(jìn)行逐個(gè)指標(biāo)分析，用x進(jìn)行綜合分析(x是正向化、標(biāo)準(zhǔn)化ii的)；

(3)選取用于比較的因子載荷陣：主成分法下(引理3)，對(duì)多個(gè)旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣，找出結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣B0Г：即B0Г每行有一個(gè)元素的絕對(duì)值較靠近1、列數(shù)較??；

(4)確定因子是否旋轉(zhuǎn)：B0Г、B0比較，若B0Г達(dá)到更好的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，則用旋轉(zhuǎn)后因子(結(jié)論2)；若B0達(dá)到更好的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化或B0Г、B0都是差異不大的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，則用初始因子(結(jié)論2)；記達(dá)到更好結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的m列因子載荷陣是Bm；

(5)確定因子個(gè)數(shù)k：若(Bm,λ12m+1em+1,…,λ12pep)前k列元素絕對(duì)值大于顯著相關(guān)的臨界值(大樣本取0.5-0.8)，則因子個(gè)數(shù)為k(結(jié)論4)，相應(yīng)的因子載荷陣記為Bk[(λ12m+1em+1,…,λ12pep)是p列初始因子載荷陣后面的p-m列]；

(6)因子的命名及其正向化：在Bk的第j列bj的元素中，選出絕對(duì)值大于顯著相關(guān)臨界值(大樣本取0.5-0.8)的對(duì)應(yīng)變量，歸為因子fj一組，由這組變量的內(nèi)在關(guān)系對(duì)因子fj進(jìn)行命名(結(jié)論5)；正向化是：如果歸為因子fj一組變量的內(nèi)在關(guān)系是越大越好，則因子fj取正號(hào)，否則，取負(fù)號(hào)。

正向化后因子載荷陣及其因子記為B、f=(f1,…,fk)′(k≥m時(shí)，f的前m個(gè)因子是Bm回歸的正向化因子，第m+1、…、k個(gè)因子是p列初始因子載荷陣回歸的第m+1、…、k個(gè)正向化初始因子；k＜m時(shí)，f是Bm前k列因子載荷陣回歸的正向化因子，引理3)；

(8)對(duì)前k個(gè)因子f1,…,fk的樣品值、綜合因子f綜的樣品值進(jìn)行排序；

(9)用前k個(gè)因子f1,…,fk的樣品值做系統(tǒng)聚類分析(如類平均法)，按綜合因子f綜樣品值順序給出樣品相應(yīng)的分類結(jié)果(結(jié)論 8)；

(10)結(jié)合前k個(gè)因子樣品值的聚類分析結(jié)果，因子、綜合因子樣品值和排序，因子、綜合因子與原始變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因子中變量的內(nèi)在關(guān)系，進(jìn)行優(yōu)勢(shì)、劣勢(shì)、潛力狀況和原因等的綜合評(píng)價(jià)，給出較客觀、可靠的決策相關(guān)性建議(結(jié)論7、結(jié)論9)。

4 應(yīng)用實(shí)例

為驗(yàn)證上述因子分析綜合評(píng)價(jià)步驟的有效性，用廣東省2008年規(guī)模以上9大產(chǎn)業(yè)發(fā)展水平的數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。指標(biāo)選取為：X1-企業(yè)科技活動(dòng)人員(人)、X2-當(dāng)年科技活動(dòng)經(jīng)費(fèi)支出總額(千元)、X3-企業(yè)單位數(shù)(個(gè))、X4-工業(yè)總產(chǎn)值(億元)、X5-工業(yè)增加值(億元)、X6-全部從業(yè)人員年均人數(shù)(萬(wàn)人)、X7-主營(yíng)業(yè)務(wù)收入(億元)、X8-利稅總額(億元)、X9-全員勞動(dòng)生產(chǎn)率(元/人)、X10-百元固定資產(chǎn)原價(jià)實(shí)現(xiàn)利稅(元)。9個(gè)行業(yè)為：1-電子信息業(yè)、2-電氣機(jī)械及專用設(shè)備、3-石油及化學(xué)、4-紡織服裝、5-食品飲料、6-建筑材料、7-森工造紙、8-醫(yī)藥、9-汽車及摩托車，數(shù)據(jù)見表1。

表1 廣東省規(guī)模以上9大產(chǎn)業(yè)發(fā)展水平的數(shù)據(jù)

⑴指標(biāo)都是正向的，僅對(duì)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；

⑵由表1數(shù)據(jù)，用SPSS軟件計(jì)算得，X4與X7的相關(guān)系數(shù)為0.972，X5與X7的相關(guān)系數(shù)為0.974，變量間有高度相關(guān)性，因子分析繼續(xù)；

⑶多個(gè)不同列的旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣挑選得，m=3時(shí)，旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣B0Г達(dá)到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化(見表2)，旋轉(zhuǎn)后因子方差貢獻(xiàn)v1=4.863、v2=2.252、v3=1.914；

表2 因子載荷陣

⑷初始因子載荷陣B0(見表2)與B0Г比較：由表2得表3，表3表明，B0Г達(dá)到更好的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，故用旋轉(zhuǎn)后因子；

表3 因子載荷陣每行載荷最大絕對(duì)值靠近1對(duì)比表

⑸前3個(gè)旋轉(zhuǎn)后因子，變量正態(tài)分布下，取顯著水平為5%，顯著相關(guān)的臨界值是r(7)=0.666[8]，由B0Г和r(7)判斷，前3個(gè)旋轉(zhuǎn)后因子與變量顯著相關(guān)；其它因子與變量沒(méi)有顯著相關(guān)，故因子個(gè)數(shù)k=3，前三個(gè)因子的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為90.29%；

⑹因子命名與正向化：由B0Г和r(7)判斷，f1Γ與X7-主營(yíng)業(yè)務(wù)收入、X4-工業(yè)總產(chǎn)值、X5-工業(yè)增加值、X6-全部從業(yè)人員年均人數(shù)、X3-企業(yè)單位數(shù)顯著正相關(guān)，因子f1稱為產(chǎn)值人力因子；f2Γ與X9-全員勞動(dòng)生產(chǎn)率、X10-百元固定資產(chǎn)原價(jià)實(shí)現(xiàn)利稅、X8-利稅總額顯著正相關(guān)，因子f2Γ稱為效益因子；f3Γ與X1-企業(yè)科技活動(dòng)人員、X2-當(dāng)年科技活動(dòng)經(jīng)費(fèi)支出總額顯著正相關(guān)，因子f3Γ稱為科技水平因子。因子f1Γ、f2Γ、f3Γ是正向化的；

⑺以旋轉(zhuǎn)后方差貢獻(xiàn)率vip為權(quán)數(shù)構(gòu)造綜合因子(xi是 Xi的標(biāo)準(zhǔn)化)：

⑻旋轉(zhuǎn)后因子、綜合因子樣品值及排序見表4；

⑼用系統(tǒng)聚類分析類平均法，選用歐氏距離，通過(guò)表4三個(gè)旋轉(zhuǎn)后因子f1Γ、f2Γ、f3Γ的樣品值對(duì)樣品進(jìn)行聚類。取分類閾值為1.68時(shí)，分成五類，結(jié)合綜合因子樣品值排名順序給出相應(yīng)共性分類結(jié)果如表4：

表4 旋轉(zhuǎn)后因子、綜合因子樣品值及排序

第一類：3-石油及化學(xué)；第二類：1-電子信息業(yè)；第三類：2-電氣機(jī)械及專用設(shè)備：6-建筑材料；第四類：4-紡織服裝、7-森工造紙；第五類；5-食品飲料、8-醫(yī)藥、9-汽車及摩托車。

(10)結(jié)合前3個(gè)旋轉(zhuǎn)后因子樣品值的聚類分析結(jié)果，因子、綜合因子樣品值和排序，因子、綜合因子，原始數(shù)據(jù)，原始變量名稱的意義，進(jìn)行優(yōu)勢(shì)、劣勢(shì)和影響因素等的綜合評(píng)價(jià)，給出客觀、可靠的決策相關(guān)性建議。

建議：3-石油及化學(xué)行業(yè)在繼續(xù)保持效益因子f2Γ中X9-全員勞動(dòng)生產(chǎn)率、X8-利稅總額、X10-百元固定資產(chǎn)原價(jià)實(shí)現(xiàn)利稅均排第1優(yōu)勢(shì)；產(chǎn)值人力因子f1Γ中應(yīng)保持和提高X7-主營(yíng)業(yè)務(wù)收入排第3、X4-工業(yè)總產(chǎn)值排第3、X5-工業(yè)增加值排第3、X3-企業(yè)單位數(shù)排第3、X6-全部從業(yè)人員年均人數(shù)排第5的較好優(yōu)勢(shì)；科技水平因子f3Γ中，適當(dāng)增加X1-企業(yè)科技活動(dòng)人員和發(fā)揮好他們的作用，加大X2-當(dāng)年科技活動(dòng)經(jīng)費(fèi)的投入，必然產(chǎn)生更強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。

第三類：2-電氣機(jī)械及專用設(shè)備、6-建筑材料，綜合因子fΓ綜值依次排3、4，2-電氣機(jī)械及專用設(shè)備高于平均水平，6-建筑材料略低于平均水平。其產(chǎn)值人力因子f1Γ值依次排2、5,2-電氣機(jī)械及專用設(shè)備高于平均水平,有較大優(yōu)勢(shì)，6-建筑材料低于平均水平；效益因子f2Γ值依次排6、7，低于平均水平；科技水平因子f3Γ值依次排1、2，高于平均水平。即該類行業(yè)是科技水平高，但效益較差的行業(yè)。原因及問(wèn)題、建議，與第一類行業(yè)的分析類似。

第二類行業(yè)綜合評(píng)價(jià)、建議方法與第一類行業(yè)類似，第四類、第五類行業(yè)綜合評(píng)價(jià)、建議方法與第三類行業(yè)類似，此略。

以上分析及結(jié)論，找到了研究對(duì)象的共性、優(yōu)勢(shì)、不足、潛力狀況和原因等，用具有可控性的原始指標(biāo)給出了較可靠的決策相關(guān)性建議，驗(yàn)證了因子分析模型L方法的有效性。

5 結(jié)論與建議

(1)模型選擇。傳統(tǒng)的因子分析模型沒(méi)有優(yōu)化條件，公因子解不能降維或會(huì)丟失一些變量(指標(biāo))的解釋，即傳統(tǒng)因子分析模型不是更好的。因子分析模型L有優(yōu)化條件，能降維、能較清晰地解釋所有變量，是因子分析更好的模型，故應(yīng)用因子分析解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建議使用近期改進(jìn)的因子分析模型L和方法。

(2)初始因子或旋轉(zhuǎn)后因子的確定。因子載荷陣達(dá)到更好的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化時(shí)，因子解釋所有變量是更好的。因子分析模型L的解(主成分法的因子載荷陣及其回歸的因子或它們的旋轉(zhuǎn))是更好的，建議對(duì)主成分法因子載荷陣及其旋轉(zhuǎn)進(jìn)行比較，用達(dá)到更好結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的因子載荷陣確定相應(yīng)的因子。

(3)因子應(yīng)用的一致性。初始因子與旋轉(zhuǎn)后因子的計(jì)量值不同，建議應(yīng)用中不要混淆。

(4)因子個(gè)數(shù)的確定。因子是解釋變量的，選出的因子應(yīng)該與變量顯著相關(guān)(大樣本時(shí)至少達(dá)到中度相關(guān)，下同)。故建議用與變量顯著相關(guān)因子的個(gè)數(shù)，確定為因子個(gè)數(shù)。

(5)因子的命名、正向化。因子是解釋與其顯著相關(guān)的變量的，故建議用與因子顯著相關(guān)的變量對(duì)該因子進(jìn)行命名、正向化。

(6)因子綜合。因子是標(biāo)準(zhǔn)化、互不相關(guān)的，建議對(duì)這些因子正向化后進(jìn)行加權(quán)綜合。

(7)樣品的分類。樣品的共性特征表現(xiàn)在前k個(gè)因子樣品值中，建議用前k個(gè)因子樣品值作系統(tǒng)聚類分析進(jìn)行分類。

(8)綜合評(píng)價(jià)。因子及與其顯著相關(guān)的原始變量有對(duì)應(yīng)關(guān)系，綜合因子是原始變量的線性組合，因子中與其顯著相關(guān)的原始變量有內(nèi)在的相關(guān)關(guān)系，建議用這些關(guān)系，對(duì)綜合因子、逐個(gè)因子的變量組進(jìn)行深入的數(shù)據(jù)分析，盡可能深入到?jīng)Q策相關(guān)性程度。

[1]方開泰編著.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1989.

[2]Johnson,R.A.,Wichern,D.W.,Applied Multivariate Statistical Analysis（6thEdition）[M].New York:Published by Pearson Education,2007.

[3]張堯庭,方開泰著.多元統(tǒng)計(jì)分析引論[M].北京：科學(xué)出版社,1982.

[4]林海明.因子分析精確模型及其解[J].統(tǒng)計(jì)與決策(理論版),2006,(7).

[5]林海明,王翊.因子分析模型L及其解是更好的[J].統(tǒng)計(jì)研究,2007,(8).

[6]林海明.因子分析模型的改進(jìn)與應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2009,28(6).

[7]陳軍才.主成分與因子分析中指標(biāo)同趨勢(shì)化方法探討[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇,2005,(2).

[8]峁詩(shī)松等編著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2000.