一類Reinhardt域D的全純自同構(gòu)群Aut（D）在原點(diǎn)的最大迷向子群＊

李曉燕

（杭州電子科技大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州230000）

0 引言

本文用 C 表示復(fù)平面 Cn＝ ｛z＝ （z1，…，zn）′：zj∈ C，j＝1，…，n｝表示n維向量空間.D＝ ｛z∈ C∶＜1｝表示復(fù)平面 C 的開單位圓盤，Dn＝｛z＝（z1，z2，…，zn）∈Cn∶＜1，zj∈C｝表示n維向量空間 Cn中的開單位多圓柱，Bn＝ ｛z＝ （z1，z2，…，zn）∈ Cn：∑jn＝1＜1，zj∈C｝表示n維向量空間Cn中的開單位球.

定義1 設(shè) Ω? Cn是區(qū)域，如果對任意（z1，…，zn）∈ Ω及θ1，…，θn∈ ? 必有（eiθ1z1，…，eiθnzn）∈ Ω，則稱Ω是Reinhardt域.

定義2 設(shè)Ω?Cn是區(qū)域，f：Ω→Cn是全純映射.如果f有全純的逆映射f－1，則稱f是雙全純映射.

定義3 設(shè)Ω?Cn是區(qū)域，如果f是把Ω映為自己的雙全純映射，則稱f是Ω的一個雙全純自同構(gòu).Ω的雙全純自同構(gòu)的全體記為Aut（Ω）.

熟知，Aut（Ω）在映射的復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成一個群，稱為Ω的全純自同構(gòu)群.

定義4 設(shè)G為X上的變換群，對x∈X，保持x不變的所有G的群元構(gòu)成G對x的迷向子群，記為Gx＝ ｛h∈G∶h（x）＝x｝.

在很早之前，單位球和單位多圓柱的全純自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)已經(jīng)研究清楚［1～3］.

Cn中各類區(qū)域的全純自同構(gòu)群是多復(fù)變函數(shù)論最重要的內(nèi)容之一，也是不同區(qū)域上函數(shù)空間理論研究的基本工具.譬如，Bergman核函數(shù)就與區(qū)域的可逆自同構(gòu)密切相關(guān).某些區(qū)域上的Bergman核函數(shù)未必能通過正交系直接算得，但是可以由區(qū)域的全純自同構(gòu)來計算.華羅庚利用四類典型域的全純自同構(gòu)計算出了四類典型域的Bergman核函數(shù)［4］.許以超借助正規(guī)Siegel域的可遞仿射自同構(gòu)得到了正規(guī)Siegel域的Bergman核函數(shù)［5］.

一般來說，確定一個區(qū)域的全純自同構(gòu)群是相當(dāng)困難的.華羅庚利用矩陣的方法和技巧給出了四類典型域的全純自同構(gòu)群.許以超等得到了正規(guī)Siegel域的三角群的顯式以及正規(guī)Siegel域中固定點(diǎn)的最大連通迷向子群，從而獲得了復(fù)齊性有界域的全純自同構(gòu)群［6］.90年代，王安、童武等［7，8］給出了一些特殊的Reinhardt域的全純自同構(gòu)最大群，但這方面的其他結(jié)果并不多.本文刻畫了特殊的Reinhardt域D＝｛（z1，z2，z3）∈ C3∶＋＋p＜1｝的全純自同構(gòu)群Aut（D）在原點(diǎn)的最大迷向子群的結(jié)構(gòu)，其中，0＜p≤2，并給出其證明.

1 主要結(jié)果

引理1［1］若φ∈Aut（D），φ（0）＝0，則存在3階復(fù)常數(shù)非奇異方陣A，使得φ（z）＝Az，?z∈D.

由引理1就得到下面兩個定理，也是本文的主要結(jié)論.

定理2 當(dāng)p＝1時，｛φ∈Aut（D）∶φ（0）＝0｝＝｛A∈C3×3∶A的每行每列恰有一個單位復(fù)數(shù)，其余元素全為0｝.

證明 由引理1知，｛A∈C3×3∶A的每行每列恰有一個單位復(fù)數(shù)，其余元素全為0｝?｛φ∈Aut（D）∶φ（0）＝0｝顯然成立.

下面證明｛A∈C3×3∶A的每行每列恰有一個單位復(fù)數(shù)，其余元素全為0｝?｛φ∈Aut（D）∶φ（0）＝0｝成立.這只需要證明，當(dāng)

時，A的每行每列恰有一個元素為單位復(fù)數(shù)，其余元素全為0.

z（1）＝ （1，0，0），z（2）＝ （0，1，0），z（3）＝ （0，0，1），便知A的每一列屬于?D.?z∈?D，有：

這說明：

定理3 當(dāng)0＜p≤2，且p≠1時，

其中A1是2階復(fù)常數(shù)方陣，它的每行每列恰有一個單位復(fù)數(shù)，其余元素全為0｝.

z（1）＝ （1，0，0），z（2）＝ （0，1，0），z（3）＝ （0，0，1），便知A的每一列屬于?D.

第一種情形：0＜p＜1.

?。▃1，z2，z3）∈?D 使其與A 的后2行都正交，由于∈?D，故

于是，

從而

假如（z1，z2，z3）有兩個分量不等于0，不妨設(shè)

則

從而

因此，A的第一列和第二列的其余兩個分量必然為0，與A的非奇異性相矛盾.因此（z1，z2，z3）恰有一個分量的模等于1，其余分量全為0.A的第一行中相應(yīng)的那個分量的模等于1，其所在列的后2個分量全為0.同理可知，A的每一行中有一個分量的模為1，相應(yīng)于模為1的分量所在列的其余分量全為0.注意到A的模為1的元素不能位于同一行，便知A的每行每列恰有一個分量的模為1，其余全為0.

從而

這說明A的第一行的每個分量的模長之和大于等于1.

同理可知，A的第2行的每個分量的1次模之和也大于等于1.

類似地，取（z，z，z）∈?D 使其與A 的前2行正交，由于 ∈?D，故

123

即

從而這說明A的第3行的每個分量的p次模之和大于1.

假如（z1，z2，z3）有兩個分量不等于0，則上述不等式的右邊小于1，此乃矛盾.故（z1，z2，z3）恰有一個分量模為1，其余全為0，從而A的每行中相應(yīng)的那個分量也是模為1，它所在的那一列的其余分量全為0.再注意到A的每一行每個分量的1次或p模之和恰好等于1，便知A的每一行中恰有一個分量的模為1，其余全為0，相應(yīng)于模為1的分量所在列的其余分量全為0.這說明A的每行每列恰有一個元素模為1，其余全為0.

［1］史濟(jì)懷.多復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1996.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］石生明.近似代數(shù)初步（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］華羅庚.多復(fù)變數(shù)函數(shù)論中的典型域的調(diào)和分析［M］.北京：科學(xué)出版社，1958.

［5］許以超.Cn中的齊性有界域理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.

［6］Xu Y C，Chen M R，Ma S Y.Explicit formula of holomorphic automor－phism group oncomplex homogeneous bounded domains［J］.Science in China，Ser A，2006，49（10）：1392～1404.

［7］童武.一種特殊Reinhardt域的解析自同構(gòu)最大群［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1994，15（3）：20～26.

［8］王安.一類Reinhardt域的全純自同構(gòu)最大群［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1997，18（3）：4～10.