軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)的自適應(yīng)輸出反饋控制

李建雄， 方一鳴，2， 石勝利

(1.燕山大學(xué)工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北秦皇島 066004;2.國(guó)家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，河北秦皇島 066004)

0 引言

電液伺服系統(tǒng)因其具有功率體積比大、響應(yīng)速度快、控制精度高等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)過(guò)程中得到了廣泛應(yīng)用。但由于電液伺服系統(tǒng)本身具有較強(qiáng)的非線性特性，并存在內(nèi)部參數(shù)和外負(fù)載等不確定性，這些因素增加了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難度。

為提高液壓伺服系統(tǒng)的控制性能，文獻(xiàn)［1］考慮到液壓系統(tǒng)中存在的非線性、參數(shù)不確定性和未知外部擾動(dòng)，基于非連續(xù)投影算法，提出了一種自適應(yīng)魯棒控制方法。文獻(xiàn)［2-3］考慮到系統(tǒng)中存在的非線性不確定參數(shù)，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)特殊的Lyapunov函數(shù)，將非線性不確定參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性不確定參數(shù)問(wèn)題，然后利用滑模自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)控制器，能使系統(tǒng)達(dá)到漸近跟蹤。另外，文獻(xiàn)［4］采用了自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)的方法，文獻(xiàn)［5］將模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法應(yīng)用到液壓伺服位置控制中。上述結(jié)果都是在假定系統(tǒng)所有狀態(tài)可測(cè)的前提下得到的，然而，通常情況下，在液壓伺服系統(tǒng)中并非所有狀態(tài)都是可測(cè)的，如柱塞速度。

考慮到液壓伺服系統(tǒng)中存在不可測(cè)狀態(tài)，文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，文獻(xiàn)［7］在假定只有壓力可測(cè)的前提下，構(gòu)造了一個(gè)PI觀測(cè)器重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)?？紤]到不確定參數(shù)和未知外部擾動(dòng)的存在，文獻(xiàn)［8］提出了基于魯棒自適應(yīng)觀測(cè)器的速度跟蹤控制方法。然而，在文獻(xiàn)［8］中，除外部擾動(dòng)外，只考慮了兩個(gè)參數(shù)是未知的情況，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一個(gè)較為特殊的結(jié)構(gòu)，并將一些含有輸入的非線性項(xiàng)歸為不確定項(xiàng)，這樣處理將會(huì)在一定程度上影響控制效果。

本文在只有缸位移信號(hào)和油壓信號(hào)可測(cè)的前提下，針對(duì)存在未知參數(shù)和未知外負(fù)載力的軋機(jī)液壓伺服位置控制系統(tǒng)，提出了一種基于高增益觀測(cè)器的自適應(yīng)輸出反饋控制算法。

對(duì)于存在未知參數(shù)的非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制，通常的方法是先構(gòu)造帶有參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)觀測(cè)器，然后基于所構(gòu)造的觀測(cè)器設(shè)計(jì)輸出反饋控制器。常用的帶有參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)觀測(cè)器有兩種:一是需要滿足觀測(cè)器匹配條件的自適應(yīng)觀測(cè)器，這里的觀測(cè)器匹配條件是指未知參數(shù)包含在可測(cè)輸出狀態(tài)的動(dòng)態(tài)內(nèi)，比如文獻(xiàn)［9］的BTP=MC和文獻(xiàn)［10］的 ψT(t)ΛST=E(t)G(t)C0。二是需要引入輔助變量的自適應(yīng)觀測(cè)器，比如文獻(xiàn)［11］需要引入一個(gè)n×q維輔助矩陣變量，文獻(xiàn)［12-13］需要引入兩個(gè)分別為n×q和q×q維的輔助變量，其中n和q分別為系統(tǒng)狀態(tài)和未知參數(shù)的維數(shù)。對(duì)于本文所考慮的液壓伺服位置系統(tǒng)，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)并不滿足第一種觀測(cè)器要求的匹配條件。并且由于需要估計(jì)的未知參數(shù)較多，因此，采用第二種觀測(cè)器將會(huì)大大增加觀測(cè)器的維數(shù)。

不同與以上的自適應(yīng)觀測(cè)器，本文設(shè)計(jì)的高增益觀測(cè)器不依賴(lài)于系統(tǒng)輸入和參數(shù)的估計(jì)值，只以系統(tǒng)的輸出作為觀測(cè)器輸入，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。除包含高增益觀測(cè)器外，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)輸出反饋控制器還包括參數(shù)估計(jì)器和動(dòng)態(tài)反饋控制器。理論分析表明，所提出的算法能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)最終有界穩(wěn)定，系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(jì)誤差最終收斂到原點(diǎn)的一個(gè)由高增益決定的鄰域內(nèi)。最后，將所設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)用到某650 mm可逆冷帶軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出算法的有效性。

1 問(wèn)題描述

軋機(jī)液壓壓下系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用非對(duì)稱(chēng)液壓缸(油缸)，而非對(duì)稱(chēng)油缸的力平衡方程可表示為［7］

式中，p1和p2分別為油缸無(wú)桿腔和有桿腔的壓力;A1和A2分別為無(wú)桿腔和有桿腔活塞的有效作用面積;xp為缸位移(其增/減對(duì)應(yīng)于軋機(jī)輥縫的減/增);m為柱塞和上輥系運(yùn)動(dòng)部件的等效總重量;Bp為柱塞及負(fù)載運(yùn)動(dòng)中的粘滯摩擦系數(shù);ks為負(fù)載彈性剛性系數(shù);FL為作用在柱塞上的外負(fù)載力。忽略外泄漏的影響，系統(tǒng)的流量方程為［3，14］

式中:Ct為液壓缸內(nèi)泄漏系數(shù);βe為體積彈性模量;V10和V20分別為無(wú)桿腔及相連管道與有桿腔相連管道的初始容積;Q1和Q2分別為無(wú)桿腔流入與有桿腔流出的流量，可表示為［7，14］

伺服閥的閥芯位移xv和伺服閥輸入u之間可以近似為比例關(guān)系，即可以表示為xv=kvu，其中kv＞0為增益系數(shù)。

然后，令z1=xp，z2==xp，z=［z1z2z3］T，則由式(1)～式(5)，整理可得

首先，在液壓系統(tǒng)中，缸位移信號(hào)y=z1=xp以及兩腔壓力信號(hào)p1和p2可以通過(guò)位移傳感器和壓力傳感器測(cè)量得到。在系統(tǒng)(6)中，狀態(tài)z2和z3的物理意義分別油缸柱塞的速度信號(hào)和加速度信號(hào)，這兩個(gè)信號(hào)通常是不能直接測(cè)量的。

其次，由于油缸的沖程是有限的，即z1是有限的，進(jìn)一步可以得出系統(tǒng)狀態(tài)z是有界的，不失一般性地假設(shè)|zi|≤其中 ˉzi＞ 0=1，2，3。并考慮到油壓p1和p2的有界性，可以得出，φ1(z1)，φ2(z1，p)和 φ2(z1，p)都是有界的，且 ψ(z1，p)＞0。

另外，由于參數(shù)Ct，βe，Cd，w，ρ在不同系統(tǒng)溫度、不同工作環(huán)境等情況下是不確定的;由于管路等原因，V10和V20也不能準(zhǔn)確測(cè)量;m不能精確已知，外負(fù)載力FL也是未知的，因此系統(tǒng)(6)中的參數(shù)θ，θ5和d(t)是未知的。假定 θ，θ5和d(t)都是有界的，即有 θi≤θi≤，|d|≤，其中 θi＞0＞0，i=1，…，5＞0 為已知常數(shù)。并假定未知參數(shù) θi，i=1，…，5是定?；蚵龝r(shí)變的。

本文的主要目的是:針對(duì)具有不可測(cè)狀態(tài)、未知參數(shù)、非線性和未知干擾的系統(tǒng)(6)，設(shè)計(jì)控制器u使系統(tǒng)輸出y能夠快速有效地跟蹤參考軌跡yr。

2 自適應(yīng)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)將給出一種基于高增益觀測(cè)器和參數(shù)估計(jì)器的自適應(yīng)輸出反饋控制算法。

首先，假定參考軌跡yr有界，并且和存在且有界。令zr=［yryryr］T，e=z-zr，e=［e1e2e3］T，由式(6)，可得出誤差模型為

為簡(jiǎn)化和方便表示，可將函數(shù)φz(e+zr，p)表示為 φz(ζ，e2，e3)，其中 ζ=［e1，pT］T為可測(cè)量信號(hào)，e2和e3為不可測(cè)量信號(hào)。

然后，構(gòu)造自適應(yīng)輸出反饋控制器，即

式(9)中的投影算子proj可表達(dá)為［15］

可以看出，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)輸出反饋控制器包含三部分:用于估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的高增益觀測(cè)器(8)、用于反饋的控制器(10)和用于估計(jì)參數(shù)的參數(shù)估計(jì)器(9)。而反饋控制器(10)又由兩部分組成:確保系統(tǒng)穩(wěn)定的主反饋部分和用于抵消干擾項(xiàng)d和部分不確定的補(bǔ)償部分。

所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)輸出反饋控制器中的待定矩陣L，K和PK由下面定理給出。

定理1 選擇γ＞1和α＞0，如果存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣 PL∈R3×3，XK∈R3×3和 QL∈R3×3，矩陣 YL∈R3和 YK∈R1×3以及正數(shù) ε1和 ε2，使得不等式

證明 該證明由(P1)和(P2)兩部分組成。

(P1)部分:觀測(cè)器收斂性分析

由式(7)和式(8)，可得

由于z1和 θi(i=1，…，5)有界，容易得出 φ1(z1)，φ2(z1，p)和v2都有界，再根據(jù)式(9)和式(11)，可得(i=1，…，5)有界，因此存在常數(shù)cηj＞ 0，j=1，2，3，使得‖η1‖≤cη1，‖η2‖≤cη2，|η3|≤cη3。

考慮正定函數(shù)V1(ξ)=ξTPLξ，由式(15)，可得

將式(17)和式(18)代入式(16)中，整理得

令YL=PLL，如果不等式(12)成立，則有

由于QL＞0，γ＞1，因此存在一個(gè)有限時(shí)間T1，使得當(dāng)t≥T1時(shí)，有

(P2)部分:閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

由系統(tǒng)(7)和控制器(10)，經(jīng)整理可得到閉環(huán)系統(tǒng)為

考慮由式(10)第三個(gè)公式定義的v2，以及≥1，可得

根據(jù)由式(11)定義的投影算子，若對(duì)未知參數(shù)θi的估計(jì)為=(βiχi)，i=1，…，5，其中，θi≤θi≤，容易驗(yàn)證

式中:κj=1，j=1，…，4;κ5=＞0。

再將不等式(25)，式(26)和式(28)代入式(24)中，整理可得

顯然α1＞0，若選取適當(dāng)?shù)摩煤挺潦沟忙?2＞0，由式(32)可以得出，，閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)是有界的，‖e‖和‖~‖最終收斂到原點(diǎn)的一個(gè)由?1決定的鄰域內(nèi)，實(shí)際上，最終收斂邊界由γ-1決定，選擇的γ越大，得到的最終收斂域就越小。

證畢。

由定理1可知，選取的γ越大，系統(tǒng)狀態(tài)和估計(jì)誤差的最終收斂域越小，但是，如果可測(cè)輸出中存在噪聲干擾，在高增益觀測(cè)器中，選取的高增益γ越大，噪聲被放大的也越大［13］。因此，在實(shí)際過(guò)程中，選取的γ值不宜過(guò)大。

3 仿真研究

為驗(yàn)證所給出的控制方案的有效性，下面以某650 mm單機(jī)架可逆冷帶軋機(jī)液壓伺服位置控制系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真。仿真中所用的主要物理參數(shù)為:m=1 500 kg，A1=0.125 6 m2，A2=0.042 2 m2，ks=109N/m，Bp=2.25 ×106N·s/m，w=0.025，kv=1.25 ×10-4m/V，Cd=0.61，βe=7 ×108Pa，ps=24 MPa，pr=1 MPa，Ct=5 ×10-16m5/(N·s)，V10=3.768 ×10-3m3，V20=1.266 ×10-3m3，ρ=850 kg/m3。

仿真中選取的參數(shù)為:γ =10，α =209，cη2=102，β1=105，β2=107，β3=104，β4=2 000，β5=0.2。通過(guò)求解不等式(12)和(13)，可以解得

利用上面得到的數(shù)據(jù)，將構(gòu)造的輸出反饋控制器式(8)～式(10)作用到原系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

從仿真結(jié)果圖可以看出，所構(gòu)造的輸出反饋控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)有界，系統(tǒng)狀態(tài)，及其估計(jì)值和估計(jì)誤差都收斂到原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)。具體地，從圖1(a)可以看出，系統(tǒng)跟蹤誤差在較短的時(shí)間內(nèi)趨向于零，具有較好的跟蹤效果。

另外，各參數(shù)的估計(jì)值(如圖2所示)也收斂到其各自的允許范圍內(nèi)，控制輸入(如圖3所示)和油缸壓力(如圖4所示)都收斂到其各自的穩(wěn)定值。仿真結(jié)果驗(yàn)證了定理1的結(jié)論。

圖1 誤差模型(7)的系統(tǒng)狀態(tài)，及其估計(jì)值和估計(jì)誤差Fig．1 System states of Error Model(7)，their estimates and estimation errors

圖2 未知參數(shù)的估計(jì)Fig．2 Estimates of the unknown parameters

圖3 控制輸入Fig．3 Control input

圖4 油缸壓力Fig．4 Pressure of the cylinders

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)具有不可測(cè)狀態(tài)、未知參數(shù)和非線性的軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)，提出了一種基于高增益觀測(cè)器和參數(shù)估計(jì)器的自適應(yīng)輸出反饋控制算法。通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，系統(tǒng)跟蹤誤差可以收斂到原點(diǎn)的一個(gè)很小的鄰域內(nèi)，鄰域的邊界依賴(lài)于高增益值，并且閉環(huán)系統(tǒng)的其他信號(hào)都有界。最后，以某650 mm可逆冷帶軋機(jī)液壓伺服位置控制系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出算法的有效性。

［1］YAO Bin，BU Fanping，CHIU George T C.Non-linear adaptive robust control of electro-?hydraulic systems driven by double-?rod actuators［J］.International Journal of Control，2001，74(8):761-775.

［2］管成，潘雙夏.含有非線性不確定參數(shù)的電液系統(tǒng)滑模自適應(yīng)控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2008，25(2):261-267.

GUAN Cheng，PAN Shuangxia.Sliding mode adaptive control of electro-?hydraulic system with nonlinear unknown parameters［J］.Control Theory＆ Applications，2008，25(2):261-267.

［3］GUAN Cheng，PAN Shuangxia.Adaptive sliding mode control of electro-?hydraulic system with nonlinear unknown parameters［J］.Control Engineering Practice，2008，16(11):1275-1284.

［4］方一鳴，王志杰，解云鵬，等.軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)多模型切換滑模變結(jié)構(gòu)控制［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2010，14(5):91-97.

FANG Yiming，WANG Zhijie，XIE Yunpeng，et al.Sliding mode variable structure control of multi-model switching for rolling mill hydraulic servo position system［J］.Electric Machines and Control，2010，14(5):91-97.

［5］仲偉峰，何小溪.電液位置伺服系統(tǒng)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［J］，電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2007，12(4):478-482.

ZHONG Weifeng，HE Xiaoxi.Fuzzy neural network control of electro-hydraulic position servo system［J］.Electric Machines and Control，2007，12(4):478-482.

［6］趙琳琳，方一鳴，范志遠(yuǎn)，等.冷帶軋機(jī)厚控系統(tǒng)自適應(yīng)魯棒輸出反饋動(dòng)態(tài)控制器設(shè)計(jì)［J］.控制理論與應(yīng)用，2008，25(4):787-790.

ZHAO Linlin，F(xiàn)ANG Yiming，F(xiàn)AN Zhiyuan，et al.Design of adaptive robust output feedback dynamic controller for thickness control in a cold strip rolling mill［J］.Control Theory＆ Applications，2008，25(4):787-790.

［7］GARIMELLA P，YAO Bin.Nonlinear adaptive robust observer for velocity estimation of hydraulic cylinders using pressure measurement only［C］//ASME 2002 International Mechanical Engineering Congress and Exposition，November 17-22，2002，New Orleans，USA.2002:907-916.

［8］MAKKARAT P，KUNTANAPREEDA S.Observer-based backstepping force control of an electro-hydraulic actuator［J］.Control Engineering Practice，2009，17(8):895-902.

［9］丁玉琴，劉允剛.無(wú)未知參數(shù)先驗(yàn)信息的非線性自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)［J］.控制理論與應(yīng)用，2008，25(1):27-37.

DING Yuqin，LIU Yungang.Nonlinear adaptive observer design without a prior knowledge on the unknown parameters［J］.Control Theory＆ Applications，2008，25(1):27-37.

［10］DONG Yali，MEI Shengwei.Adaptive observer for a class of nonlinear systems［J］.Acta Automatica Sinica，2007，33(9):1081-1084.

［11］BESANCON G，ZHANG Qinghua，HAMMOURI H.High-gain observer based state and parameters estimation in nonlinear systems［C］//ALLG?WER F，ZEITZ M.Nonlinear control systems 2004:a proceedings of the 6th International Federal of Automatic Control Symposium，Stuttgart，Germany，September 1-3，2004，Oxford:Elsevier，2005，1:327-332.

［12］FARZA M，M’SAAD M，ROSSIGNOL L.Observer design for a class of MIMO nonlinear systems［J］.Automatica，2004，40(1):135-143.

［13］FARZA M，M’SAAD M，MAATOUG T，et al.Adaptive observers for nonlinearly parameterized class of nonlinear system［J］.Automatica，2009，45(9):2292-2299.

［14］MERRITT H E.Hydraulic control systems［M］.New York:John Wiley and Sons，1967.

［15］LEE K W，KHALIL H K.Adaptive output feedback control of robot manipulators using high-gain observer［J］.International Journal of Control，1997，67(6):869-886.