自反矩陣下矩陣方程AXB+CXD=E的最佳逼近解

孫合明，李慶芳，楊家穩(wěn)

(1.河海大學(xué)理學(xué)院，南京 210098;2.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇滁州 239000)

首先介紹本文中的一些符號(hào)。Rm×n表示m×n階矩陣的集合。I表示單位矩陣。AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。對(duì)于矩陣A，B∈Rm×n，A?B表示A與B的Kronecker積，〈A，B〉=trace(BTA)定義為它們的內(nèi)?！珹‖表示矩陣A的Frobenius范數(shù)，即‖A‖2=〈A，A〉。vec(·)是矩陣A=(aij) ∈Rm×n的拉伸算子，定義為

矩陣P若滿足PT=P和P2=I，則稱P是反射矩陣。對(duì)反射矩陣P∈Rm×m和Q∈Rn×n，若有A=PAQ，則稱矩陣A∈Rm×n是關(guān)于(P，Q)的廣義自反矩陣，并把所有 m×n階(P，Q)廣義自反矩陣的全體表示為(P，Q)。

本文主要考慮如下問(wèn)題:

問(wèn)題 1 對(duì)于給定的實(shí)矩陣 A，C∈Rs×m，B，D∈Rn×t，E∈Rs×t，求 X∈(P，Q)，使得

問(wèn)題2 設(shè)問(wèn)題1的解集合為SE，對(duì)于給定(P，Q)，求，使得

矩陣方程在控制和通信理論有著重要作用，在計(jì)算數(shù)學(xué)方面也是一個(gè)非?；钴S的研究專題。問(wèn)題2來(lái)源于常見(jiàn)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，這里矩陣X*可由實(shí)驗(yàn)獲得，它可能不是矩陣方程AXB+CXD=E的解。

文獻(xiàn)［1－2］提出了幾種解決矩陣方程AX+XB=C的方法。文獻(xiàn)［3］給出了矩陣方程AXAT+BXBT=C的對(duì)稱解。在矩陣方程ATXB+BTXTA=D相容的情況下，文獻(xiàn)［4］給出了它的極小范數(shù)解。在矩陣方程ATXB+BTXTA=D不相容的情況下，文獻(xiàn)［5］給出了求解給定矩陣最佳逼近解的一種算法，文獻(xiàn)［6－7］分別給出了其最小二乘解和極小范數(shù)最小二乘解。文獻(xiàn)［8］給出了求解矩陣方程AXB+CXTD=E極小范數(shù)最小二乘解的迭代方法。文獻(xiàn)［9］給出了矩陣方程AXB+CXD=F相容情況下的中心對(duì)稱最佳逼進(jìn)解。關(guān)于反射矩陣P的自反(反自反)矩陣在系統(tǒng)和控制理論、工程、科學(xué)計(jì)算等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用［10－11］。目前，已有越來(lái)越多的學(xué)者致力于研究矩陣方程的自反(反自反)最佳逼近解［12－13］，但是還沒(méi)有文獻(xiàn)涉及求解矩陣方程AXB+CXD=E的自反(反自反)最佳逼近解。

本文在線性系統(tǒng)解集標(biāo)準(zhǔn)正交基的基礎(chǔ)上，給出了集合SE的表示形式，繼而在集合SE中給出問(wèn)題2的最佳逼近解的表達(dá)式，最后通過(guò)2個(gè)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證該算法的有效性。

1 問(wèn)題1和問(wèn)題2的解

本節(jié)利用矩陣零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，給出問(wèn)題1和問(wèn)題2解的表達(dá)方式。

問(wèn)題1是一般的約束優(yōu)化問(wèn)題，由于給定的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的特殊性，可以給出問(wèn)題1解的表達(dá)方式。

定理 1 X=PXQ 等價(jià)于 vec(X)=B1x，其中 B1=(ξ1，…，ξr)，x=(x1，x2，…，xr)T，ξ1，ξ2，…，ξr是矩陣(QT?P－I)零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

證明 由自反矩陣的定義有

設(shè)ξ1，…，ξr是矩陣(QT?P－I)零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則式(5)的任意解vec(X)可以表示為故得式(6)。

定理 3 問(wèn)題 1 的最優(yōu)解可以表述成 vec(X)=B1B2y+t，其中 y=(y1，y2，...，ys)T，B2=(η1，…，ηs)，t=B1T，η1，…，ηs是矩陣A'B1零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，T 是方程A'B1x=b'的一個(gè)特解，B1，A'，c'如定理1和定理2所述。

證明 將vec(X)=B1x代入ψ(vec(X))=‖AXB+CXD－E‖2，得到

要使Φ1(x)取得極值，必有▽?duì)?(x)=2A1x－2b1=0，得A1x=b1。設(shè)η1，…，ηs是矩陣A1零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，T 是 A1x=b1的一個(gè)特解，則 x=(η1，…，ηs)(y1，…，ys)T+T=B2y+T，其中 y=(y1，y2，…，ys)T，B2=(η1，…，ηs)，則問(wèn)題1的最優(yōu)解可以表述為 vec(X)=B1x=B1(B2y+T)=B1B2y+t，其中t=B1T。

定理4 設(shè)B1，B2分別是定理1和定理3中的列滿秩矩陣，則B1B2是列滿秩矩陣。

證明 B1是(p2+q2)×r列滿秩矩陣，則必存在一個(gè)r×r的滿秩矩陣U和一個(gè)r×r的單位矩陣Ir，

使得

定理5 設(shè)VX*=vec(X*)，其中X*是給定的矩陣，則問(wèn)題2的解為

其中B1、B2、t分別如定理1和定理3所述。

證明 根據(jù)定理3，問(wèn)題1的最優(yōu)解為VX=vec(X)=B1B2y+t。設(shè)

注釋1

2)對(duì)于問(wèn)題1和問(wèn)題2，如果限制矩陣X和Y屬于反自反矩陣集合，那么通過(guò)類似的方法可以求得它的反自反最佳逼近解。

2 數(shù)值測(cè)試

選取2個(gè)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證本文的算法。試驗(yàn)均在Matlab 2007R上進(jìn)行。

例1 考慮方程AXB+CXD=E，其中

可以證明上述方程是相容的，有唯一自反矩陣解

應(yīng)用式(7)，可以直接得到如下解:

相應(yīng)的誤差R=‖A X^B+C X^D－E‖=5.070248950780553e－012。例1有力地說(shuō)明了本文所給解的表達(dá)式的正確性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文借助于矩陣零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，首先給出約束條件的解的一般表達(dá)式，繼而得到問(wèn)題1的解的表達(dá)式。根據(jù)函數(shù)取得極值的必要條件，最后得出問(wèn)題2的最佳逼進(jìn)解的表達(dá)式。該表達(dá)式簡(jiǎn)單明了，無(wú)需迭代即可直接計(jì)算出結(jié)果。對(duì)任意給定的矩陣，無(wú)論矩陣方程是否相容，運(yùn)用本文給出的解的表達(dá)式都可以求出方程AXB+CXD=E的最佳逼近解。本文給出的2個(gè)數(shù)值實(shí)例有力地證明了該表達(dá)式的有效性。

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