基于容差模型的發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

王歆侃

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 噪聲振動(dòng)工程研究所，合肥 230009；2.安徽省汽車NVH與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009）

人們對汽車乘坐的舒適度要求越來越高，發(fā)動(dòng)機(jī)是汽車主要的振源，其振動(dòng)經(jīng)懸置系統(tǒng)傳遞給車架或車身，因而發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)對汽車整車減振來說非常重要。對于發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以從不同角度提出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并建立不同的數(shù)學(xué)模型。常見的目標(biāo)函數(shù)主要有：發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)六自由度完全解耦或是部分解耦，移頻使系統(tǒng)固有頻率處在合理的區(qū)間，系統(tǒng)的支反力（矩）最小或是傳遞率最小?？紤]到研究的車型上的懸置位置和安裝角度已經(jīng)確定，因而以懸置的剛度為設(shè)計(jì)變量，主要從移頻且使懸置系統(tǒng)部分解耦來進(jìn)行多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。懸置廠商提供的懸置墊，懸置剛度參數(shù)一般都有很大的可變性，主要來源于懸置材料的變化和懸置幾何形狀的變化。另外在懸置與支架等的裝配過程中，往往會(huì)產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力以及懸置形狀的扭曲，也將造成懸置剛度值的變化［1］。傳統(tǒng)的確定性解耦優(yōu)化方法往往忽略了懸置剛度值的可變性，忽略了剛度偏差對懸置系統(tǒng)解耦的影響，使實(shí)際的工況下解耦效果很不理想?；趯抑脜?shù)不確定因素影響的考慮，應(yīng)該選擇一種方法一方面尋求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，另一方面應(yīng)該考慮設(shè)計(jì)變量的誤差等不確定因素，這就需要我們在優(yōu)化設(shè)計(jì)中結(jié)合穩(wěn)健設(shè)計(jì)的思想，即穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的解耦優(yōu)化中，充分考慮了各種干擾和設(shè)計(jì)變量的變差情況，不僅保證設(shè)計(jì)結(jié)果的合理性，同時(shí)也保證設(shè)計(jì)結(jié)果對懸置參數(shù)的不敏感性。同時(shí)利用Monte Carlo方法對結(jié)果進(jìn)行分析驗(yàn)證，對懸置剛度對系統(tǒng)性能的影響程度進(jìn)行研究。

1 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

傳統(tǒng)確定性優(yōu)化模型為：

式中：x，xL，xu分別為設(shè)計(jì)變量及其上下界； f （x）為目標(biāo)函數(shù)；gi（x）（j=1，2，L，m）為 m 個(gè)約束函數(shù)。

穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中，不僅考慮目標(biāo)函數(shù)均值μf變化，而且要考慮目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σf的變化。均值μf和標(biāo)準(zhǔn)差σf的計(jì)算，可以通過泰勒級(jí)數(shù)展開來近似。考慮變量相互獨(dú)立，則目標(biāo)函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

對于約束函數(shù)，由于變量變化因而引起約束的變化，于是原問題的約束變?yōu)椋?/p>

同時(shí)為了表示設(shè)計(jì)變量偏離的可行性，相應(yīng)的設(shè)計(jì)變量的邊界變?yōu)椋?/p>

（2）、（3）式中 n 為任意常數(shù)，當(dāng) n=3，x隨機(jī)變差時(shí)，其設(shè)計(jì)的可行率可達(dá)到，能滿足實(shí)際要求。

綜上，穩(wěn)健優(yōu)化模型為［3］：

2 發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)優(yōu)化模型

2.1 懸置系統(tǒng)理論模型

發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)可簡化模型為：通過三個(gè)或四個(gè)三維的粘—彈性元件懸置支承在車架上，具有六個(gè)自由度。圖1為四點(diǎn)懸置布置模型。發(fā)動(dòng)機(jī)總成的坐標(biāo)系原點(diǎn)選在總成質(zhì)心處，平行于曲軸中心線為X軸，指向發(fā)動(dòng)機(jī)前端，Z軸平行于氣缸中心線，指向發(fā)動(dòng)機(jī)缸蓋，Y軸按正交坐標(biāo)系的右手定則確定。θx、θy、θz分別為繞 X 軸、Y 軸和 Z 軸的轉(zhuǎn)角。

利用拉格朗日方程可推導(dǎo)出系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為：

式中:［M ］ 為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣， ［K ］為系統(tǒng)的剛度矩陣，［C ］為系統(tǒng)的阻尼矩陣，｛q ｝=［x，y，z，θx，θy，θz］T為六個(gè)廣義坐標(biāo)列向量， ｛F（t） ｝= ［ fx，fy，fz，fθx，fθy，fθz］T為系統(tǒng)所受激勵(lì)向量。

對系統(tǒng)進(jìn)行固有頻率和固有振型的計(jì)算，只需考慮無阻尼自由振動(dòng)情況，系統(tǒng)微分方程為［M ］［K ］｛q｝=｛0 ｝， 可計(jì)算得到懸置系統(tǒng)的六階固有頻率 ωj（j=1，2，L，6）和固有振型［φ ］。

2.2 能量法解耦

發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)六自由度振動(dòng)耦合往往導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)振幅加大，振動(dòng)頻帶過寬。由此需要對其進(jìn)行解耦設(shè)計(jì)。從能量的角度去評價(jià)懸置系統(tǒng)的耦合程度［4，5］，由振動(dòng)微分方程得到的系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。當(dāng)系統(tǒng)以第j階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，定義能量分布矩陣為：

式中：φ（k，j），φ（l，j）分別為第 j階振型的第 k 個(gè)和第l個(gè)元素；M（k，l）為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣的第k行、第l列元素；ωj是第j階固有頻率。

當(dāng)系統(tǒng)以第j階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，第k個(gè)廣義坐標(biāo)分配的能量占系統(tǒng)總能量的百分比：

當(dāng)其值為100%，則系統(tǒng)作第j階模態(tài)振動(dòng)時(shí)能量全部集中在k個(gè)廣義坐標(biāo)上，此時(shí)，該階模態(tài)振動(dòng)完全解耦。

2.3 懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化模型

設(shè)計(jì)變量：發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)特性與發(fā)動(dòng)機(jī)及其變速箱等的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，懸置的安裝位置、安裝角度及其懸置主剛度值等因素有關(guān)。但是考慮到發(fā)動(dòng)機(jī)和變速箱的本身的特性不能改變，同時(shí)懸置的安裝位置和角度已經(jīng)確定，故而以懸置的主剛度值K1、K2、L、Ks（i=1，2，L，s）為設(shè)計(jì)變量，其中 s 為懸置主剛度個(gè)數(shù)。

優(yōu)化目標(biāo)：

式中：Eθx、Ez分別為側(cè)傾自由度上能量百分比和垂向自由度上能量百分比；w1、w2分別為側(cè)傾自由度上能量百分比和垂向自由度上能量百分比的加權(quán)因子。

約束條件：（1）懸置位移不能過大，過大的位移既容易使懸置剪切破壞，又使使用壽命降低，因而懸置主剛度不能過小，即（i=1，2，L，s）；（2）懸置系統(tǒng)的最大固有頻率必須小于發(fā)動(dòng)機(jī)自身激勵(lì)頻率1/的，才能起到隔振效果 。最小激勵(lì)頻率為怠速下的著火脈沖f=N·n/30C（N為汽缸數(shù)，n為曲柄轉(zhuǎn)速（r/min），C為沖程數(shù)），使有更好的隔振效果，則取懸置系統(tǒng)最大固有頻率為fmax≤N·n/30C。另外還需要避開車身的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率、車身垂直跳動(dòng)頻率、路面激勵(lì)頻率等，綜上取懸置系統(tǒng)固有頻率范圍為5≤f≤N·n/30。即：

綜上，由式（2）～（5）將以上模型轉(zhuǎn)化為穩(wěn)健優(yōu)化模型：

式中：n取為3。

2.4 最優(yōu)化方法

考慮到該優(yōu)化模型為兩目標(biāo)優(yōu)化問題，需要使用多目標(biāo)優(yōu)化算法。同時(shí)該模型設(shè)計(jì)變量多，優(yōu)化目標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，存在許多局部最優(yōu)解，需要選用合適的最優(yōu)化算法。遺傳算法隱含著并行性，能夠同時(shí)搜索到多個(gè)局部最優(yōu)解，利于找到全局最優(yōu)解。而如果將多目標(biāo)問題通過加權(quán)組合法等轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，則無法發(fā)揮遺傳算法的優(yōu)勢。將Pareto最優(yōu)解方法和遺傳算法結(jié)合構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的Pareto遺傳算法［6］，能計(jì)算得到多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集。此時(shí)從得到的最優(yōu)解集中，根據(jù)具體的設(shè)計(jì)要求，選出最符合要求的解作為最終的設(shè)計(jì)結(jié)果。因而選擇Pareto遺傳算法來進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)。

3 優(yōu)化實(shí)例

對于某具體的車型，該發(fā)動(dòng)機(jī)為六缸四沖程的發(fā)動(dòng)機(jī)，懸置系統(tǒng)為四點(diǎn)平置，左右對稱布置。其怠速為n=800 r/min，則其點(diǎn)火脈沖頻率為f=N·n/30C=40 Hz，則該懸置系統(tǒng)的固有頻率要滿足fmax≤N·n/3=28.3 Hz。懸置系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)、定位參數(shù)及其剛度參數(shù)分別如表1～3所示，優(yōu)化前系統(tǒng)的固有頻率及能量分布如表4所示。

表1 懸置系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù) kg·m2

表2 懸置定位參數(shù) mm

表3 優(yōu)化前各懸置剛度值 N/mm

表4 優(yōu)化前系統(tǒng)固有頻率與能量分布 Hz

由表4可以看出，部分頻率分布間隔過小，最高固有頻率過大，且各轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向的解耦度較低，其中側(cè)傾方向的解耦度只有78.53%，耦合較嚴(yán)重，需要改進(jìn)。

采用Monte Carlo法分析懸置剛度對振動(dòng)耦合能量分布的影響。假定剛度值按正態(tài)分布，變化范圍±10%，以4個(gè)懸置的剛度作為自變量對原系統(tǒng)進(jìn)行魯棒性分析，經(jīng)過1 000次隨機(jī)試驗(yàn)分析，得到垂直和側(cè)傾方向解耦度的Monte Carlo圖，如圖2和圖3所示。

可以看出，垂直方向的解耦度分布較合理，最低與最高解耦度差值為 4.19%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.6%，而側(cè)傾方向的解耦度分布不甚合理，最低與最高解耦度差值為 15.25%，標(biāo)準(zhǔn)差為 2.39%，穩(wěn)健性較差。

利用穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，采用Pareto遺傳算法，對動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的剛度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后各懸置剛度值如表5所示，系統(tǒng)各階固有頻率與能量分布如表6所示。

表5 優(yōu)化后各懸置剛度值 N/mm

表6 優(yōu)化后系統(tǒng)固有頻率與能量分布 Hz

可以看出，與優(yōu)化前相比，系統(tǒng)的各階固有頻率分布更加合理，最高頻率有了較大的降低，各平動(dòng)方向的解耦度有所降低，但各轉(zhuǎn)動(dòng)方向解耦度有了較大的提高，其中主要的側(cè)傾方向由原來的78.53%提高到99.26%，系統(tǒng)的振動(dòng)解耦有了較大的改善。

用同樣的參數(shù)和方法對優(yōu)化后的結(jié)果進(jìn)行Monte Carlo分析，結(jié)果如圖4和圖5所示。

可以看出，優(yōu)化后的垂向解耦度分布仍較合理，而側(cè)傾方向的解耦度分布，最低與最高差值只有5.65%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.6%，穩(wěn)健性有了較大的提升。

4 總結(jié)

懸置剛度值的變差在實(shí)際中不可避免，懸置剛度值容差的減小意味著制造成本的提高。在不增加成本的前提下，需要有更好的方法對發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文在考慮懸置剛度變差的情況下，從解耦的角度，進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。并且對結(jié)果進(jìn)行Monte Carlo法分析，來決定優(yōu)化結(jié)果在實(shí)際中的可行性。由文中的實(shí)例分析可得，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果比較滿意。

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