環(huán)境激勵(lì)下大型橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別的一種方法

秦世強(qiáng)，蒲黔輝，施 洲

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

模態(tài)參數(shù)識(shí)別是橋梁健康監(jiān)測的重要組成部分，準(zhǔn)確的識(shí)別模態(tài)參數(shù)，是進(jìn)行有限元模型修正、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別以及性能評(píng)定的前提。橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別是指通過測得的動(dòng)力響應(yīng)，識(shí)別橋梁的固有振動(dòng)頻率、阻尼比和振型的過程。環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別由于不需要外部激勵(lì)設(shè)備且不影響正常交通，已經(jīng)成為大型橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別的主要方法。目前常用的方法有頻域法、時(shí)域法和時(shí)頻分析法［1]。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical mode decomposition，EMD)是由Huang等人提出的一種適用于非平穩(wěn)、非線性信號(hào)分解的方法，將多成分的復(fù)雜信號(hào)分解成一系列的單成分的本征模態(tài)函數(shù)(IMF)，突破了以傅里葉變換為基礎(chǔ)的穩(wěn)態(tài)分析;隨機(jī)子空間識(shí)別(Stochastic subspace identification，SSI)是一種環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法，由于只需要確定系統(tǒng)的階次，且不涉及迭代和收斂性問題，因此受到廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)［2] 利用EMD結(jié)合隨機(jī)減量技術(shù)識(shí)別了青馬橋的模態(tài)參數(shù)，并驗(yàn)證了EMD在非平穩(wěn)信號(hào)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的優(yōu)勢;文獻(xiàn)［3] 利用HHT提取信號(hào)的瞬時(shí)特性，再結(jié)合自然激勵(lì)技術(shù)識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù);文獻(xiàn)［4] 和文獻(xiàn)［5] 研究了隨機(jī)子空間方法在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用，并探討了其系統(tǒng)階次的確定、虛假模態(tài)等問題。大型橋梁自振頻率低、模態(tài)密集，加之測試過程中的噪聲影響，在EMD過程中往往會(huì)出現(xiàn)模態(tài)混疊;單純的利用SSI方法識(shí)別模態(tài)參數(shù)又存在虛假模態(tài)的問題，因此嘗試從解決這兩個(gè)問題的角度出發(fā)，引入屏蔽信號(hào)以消除EMD中的模態(tài)混疊，將原始信號(hào)分解成一系列只包含結(jié)構(gòu)某一階固有振動(dòng)信息的IMF，然后再利用SSI識(shí)別橋梁的模態(tài)參數(shù)。

1 基本理論

1.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

EMD通過一種稱為“篩”的算法［6]實(shí)現(xiàn):① 找出原始信號(hào)x(t)所有極值點(diǎn)，用三次樣條曲線分別擬合極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得到x(t)的上下包絡(luò)線，取其平均值為m1(t)，用原始信號(hào)x(t)減去m1(t)，可得到一個(gè)新的數(shù)據(jù)序列h1(t):

判斷h1(t)是否滿足IMF的兩個(gè)條件:① 在整個(gè)時(shí)間跨度內(nèi)，極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等或者至多相差一個(gè);② 在任意一點(diǎn)處，由極大值構(gòu)成的上包絡(luò)線和由極小值構(gòu)成的下包絡(luò)線的均值為零。一般情況下，h1(t)不是一個(gè)IMF，此時(shí)將h1(t)視作原始信號(hào)，重復(fù)上述過程 n 次，直至 h1n(t)=h1，n－1(t)－ m1n(t)滿足IMF的條件，則h1n(t)為原始信號(hào)的第一個(gè)IMF，記作c1(t)，表示原始信號(hào)中的最高成分;② 將原始信號(hào)x(t)減去c1(t)，得到一個(gè)新的序列r1(t)，對(duì)r1(t)重復(fù)步驟(1)，可以得到一系列頻率從高到低的cj(t)，和一個(gè)不可分解的余量rn(t)，它表示原始信號(hào)中的趨勢項(xiàng)。至此，原始信號(hào)x(t)可以表示為:

1.2 隨機(jī)子空間識(shí)別

線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)狀態(tài)空間方程［4]為:

式中，xk表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量，yk為輸出向量，A為n×n的系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，n表示系統(tǒng)的階次，C為輸出矩陣;wk、vk分別表示過程噪聲和測量噪聲，均假定為均值為0的白噪聲，相關(guān)函數(shù)為:

式中:E表示數(shù)學(xué)期望，δpq表示克羅內(nèi)克函數(shù)。由式(3)、式(4)兩式構(gòu)成系統(tǒng)的隨機(jī)狀態(tài)空間模型，有多種方法可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)識(shí)別，而SSI由于只需要確定系統(tǒng)階次一個(gè)參數(shù)，且計(jì)算過程引入QR分解和SVD分解，一般不涉及解的收斂性問題，因而廣受關(guān)注。SSI的主要目標(biāo)是求解系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C，為此，可以通過如下的算法［7]實(shí)現(xiàn):

(1)確定系統(tǒng)的Hankel矩陣;橋梁環(huán)境振動(dòng)測試時(shí)，由于測點(diǎn)較多而測試設(shè)備數(shù)量有限，一般會(huì)選取固定的幾個(gè)參考點(diǎn)，進(jìn)行連續(xù)的測試;而其它測點(diǎn)測試時(shí)間相對(duì)較短。

H∈R(m+n)i×j，m表示參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)，n表示其他測點(diǎn)的個(gè)數(shù)。式中上標(biāo)r表示參考點(diǎn)的輸出，下標(biāo)p，f分別表示“過去”和“將來”，是Hankel矩陣劃分塊行的一種方式。

(2)計(jì)算“將來”輸入行空間在“過去”輸入行空間上的投影，并通過QR分解，在保持系統(tǒng)原有信息的情況下縮減數(shù)據(jù)。

式中，(·)+表示·的廣義逆。通過對(duì)H進(jìn)行QR分解，Pi可以表示為:

投影的計(jì)算是隨機(jī)子空間算法的核心，它表示可以利用“過去”行空間的信息預(yù)測“將來”;

(3)對(duì)投影進(jìn)行奇異值分解，并結(jié)合卡爾曼濾波理論計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C;

(4)對(duì)A進(jìn)行特征值分解，得到特征值和特征向量，求解系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

2 模態(tài)參數(shù)識(shí)別存在的問題及解決方法

2.1 EMD中的模態(tài)混疊

EMD能有效的處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，并且是自適應(yīng)的。從提出至今，EMD方法已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到廣泛的運(yùn)用［8－10]。由于沒有精確的數(shù)學(xué)模型，分解過程是一種以經(jīng)驗(yàn)為基底的，EMD也存在一些問題限制了其進(jìn)一步的推廣［11]。模態(tài)混疊就是其中一種。模態(tài)混疊是指原始信號(hào)存在斷續(xù)或畸變的情況下，不同頻率分量被分解到同一階IMF中或同一頻率分量被分解到不同的IMF中。文獻(xiàn)［12] 通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉譜分析，在EMD過程中設(shè)置間斷頻率，使每一個(gè)IMF只包含頻率大于間斷頻率的成分，這種方法簡單易行，但FFT本身不適合分析非平穩(wěn)信號(hào);文獻(xiàn)［13] 引入屏蔽信號(hào)消除了仿真信號(hào)的模態(tài)混疊;文獻(xiàn)［14] 利用EMD的二進(jìn)濾波特性，結(jié)合屏蔽信號(hào)的使用，提出一種限制帶寬的EMD方法(Bandwidth Restricted EMD，BREMD)。大型橋梁結(jié)構(gòu)尺寸大，模態(tài)通常較為密集，且測試過程受到噪聲干擾嚴(yán)重，如果直接應(yīng)用EMD，一般會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。為此，利用限制帶寬的EMD消除模態(tài)混疊。為了使BREMD能更精確的提取實(shí)測信號(hào)的IMF，對(duì)其作部分改進(jìn)，改進(jìn)后算法如下:

(1)對(duì)原始信號(hào)x(t)做標(biāo)準(zhǔn)EMD，使其只分解出一階IMF1以及一個(gè)余量r1(t):

(2)對(duì)IMF1進(jìn)行Hilbert變換，計(jì)算待加入的屏蔽信號(hào)的頻率，根據(jù)EMD的二進(jìn)濾波特性，取帶寬系數(shù)為 1.42:

式中，a1(i)、f1(i)分別表示IMF1的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率。

(3)構(gòu)造屏蔽信號(hào)

(4)對(duì)信號(hào)y(t)=x(t)+s(t)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的EMD分解，得到一階IMFs1和一個(gè)余量;

(5)判斷h1(t)=IMFs1－s(t)是否存在模態(tài)混疊，如不存在，則h1(t)即為原始信號(hào)的第一階IMF;如果仍然存在模態(tài)混疊，則把h1(t)當(dāng)作x(t)重復(fù)式(1)～式(4)步驟n次，直至 h1n(t)不存在模態(tài)混疊，記作c1(t);判斷是否存在模態(tài)混疊的方法可以通過對(duì)h1(t)作Hilbert變換，查看其瞬時(shí)頻率在時(shí)間軸上的分布;

(6)從原始信號(hào)中減去第一階IMF，得到x1(t)=x(t)－c1(t)，重復(fù)上述過程，直至所有的IMF都分解出來。

為了驗(yàn)證限制帶寬EMD在消除模態(tài)混疊中的效果，以一仿真信號(hào)作為算例。仿真信號(hào)中含有三種頻率成分，分別為 10 Hz、15 Hz和 18 Hz，y=sin(20πt)+sin(30πt)+sin(36πt)采樣頻率取為200 Hz，采樣時(shí)間為0 s～2.5 s。利用標(biāo)準(zhǔn)EMD和限制帶寬EMD分解的結(jié)果如圖1所示，圖中c1～c3表示標(biāo)準(zhǔn)EMD的前三階IMF，BR－c1～BR－c3表示 BREMD的前三階IMF，可以看出，c1和c3中存在較為嚴(yán)重的模態(tài)混疊，BR－c1～BR－c3基本能代表仿真信號(hào)中的三種頻率成分，因此BREMD顯著的改善了信號(hào)的模態(tài)混疊。

2.2 穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)的剔除

圖1 仿真信號(hào)的EMD和BREMDFig.1 The results of EMD and BREMD of simulation signal

如何確定系統(tǒng)階次是隨機(jī)子空間識(shí)別的一個(gè)難點(diǎn)，通常的做法是對(duì)系統(tǒng)階次分別取一個(gè)最小值nmin和最大值nmax，循環(huán)求解位于nmin和nmax之間所有階次系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，并將計(jì)算的結(jié)果繪在一個(gè)二維圖中，以頻率為橫坐標(biāo)，系統(tǒng)階次為縱坐標(biāo)。相鄰頻率點(diǎn)和阻尼點(diǎn)小于事先設(shè)定的容差的，合并為一點(diǎn)，形成系統(tǒng)的穩(wěn)定圖，在每一階頻率處會(huì)有較多的穩(wěn)定點(diǎn)構(gòu)成穩(wěn)定軸。頻率和阻尼穩(wěn)定點(diǎn)的判據(jù)如下:

式中，fi、ξi分別表示識(shí)別的第 i階頻率和阻尼比;式(12)將阻尼比的判定相對(duì)容差放松至30%，這是由于目前對(duì)阻尼比的認(rèn)知水平有限，計(jì)算中采取的假定與實(shí)際情況也不太一致;實(shí)橋識(shí)別的阻尼比通常偏差較大，因此適當(dāng)放松阻尼比的判定標(biāo)準(zhǔn)［12]。受到測試過程中的噪聲影響，穩(wěn)定圖中會(huì)出現(xiàn)虛假模態(tài)，如何剔除這些虛假模態(tài)是穩(wěn)定圖方法應(yīng)用的關(guān)鍵。分析知虛假模態(tài)是由于環(huán)境激勵(lì)不滿足白噪聲假設(shè)，使得原始信號(hào)中含有噪聲模態(tài)，加之系統(tǒng)模態(tài)密集，在穩(wěn)定圖中難以區(qū)分系統(tǒng)真實(shí)模態(tài)的穩(wěn)定軸和噪聲模態(tài)的穩(wěn)定軸。如果能將原始信號(hào)分解成只含有結(jié)構(gòu)某一階固有振動(dòng)信息的IMF，再利用穩(wěn)定圖方法，此時(shí)穩(wěn)定圖中主要包含這一階振動(dòng)的穩(wěn)定軸，噪聲模態(tài)則離散成一些跳點(diǎn)，不會(huì)影響系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。因此，相比利用原始信號(hào)作為SSI的輸入，利用IMF作為SSI的系統(tǒng)輸入會(huì)得到更為清晰的穩(wěn)定圖，后面將結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證這一判斷。

3 改進(jìn)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別流程

通過上面的分析知改進(jìn)后的模態(tài)參數(shù)識(shí)別的關(guān)鍵問題是解決EMD的模態(tài)混疊。為此，首先對(duì)各個(gè)測點(diǎn)原始信號(hào)進(jìn)行低通濾波，以消除信號(hào)中的高頻噪聲;對(duì)去噪后的信號(hào)進(jìn)行BREMD，消除EMD過程中的模態(tài)混疊，使得每一階IMF只包含結(jié)構(gòu)一階振動(dòng)信息;然后組裝各個(gè)測點(diǎn)中含有相同頻率成分的IMF，利用隨機(jī)子空間方法，作系統(tǒng)的穩(wěn)定圖，通過拾取穩(wěn)定軸，識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。具體的流程見圖2。

圖2 改進(jìn)后的模態(tài)參數(shù)識(shí)別流程Fig.2 Process of improved method for modal parameters identification

4 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文方法在實(shí)橋模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的有效性，結(jié)合贛龍鐵路上某特大橋環(huán)境振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，識(shí)別了該橋的模態(tài)參數(shù)。

4.1 環(huán)境測試系統(tǒng)介紹

贛龍鐵路某特大橋主橋?yàn)轭A(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋，跨徑布置為60 m+2×100+60 m，5號(hào)墩墩高100 m，屬于典型的高墩大跨鐵路橋梁。為了了解該類橋型的振動(dòng)特性，對(duì)其進(jìn)行了環(huán)境激勵(lì)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)共布置49個(gè)測點(diǎn)，60 m跨的測點(diǎn)布置在跨度的八分點(diǎn)處，100 m跨測點(diǎn)布置在十六分點(diǎn)處。測試了各個(gè)測點(diǎn)的橫向和豎向位移，采樣頻率為20 Hz，采樣時(shí)間為5 min。橋跨及測點(diǎn)的布置圖見圖3。

4.2 模態(tài)參數(shù)識(shí)別

高墩大跨橋梁的橫向振動(dòng)效應(yīng)明顯，因此選取橫向位移作為原始信號(hào)，識(shí)別橋梁前四階橫向振動(dòng)模態(tài)。為了驗(yàn)證識(shí)別的效果，在模態(tài)參數(shù)識(shí)別時(shí)采用了三種方法:基于FFT譜分析的峰值拾取法(Peak Peaking，PP法)、隨機(jī)子空間識(shí)別方法以及文中敘述的方法，并將三種分析方法的結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

圖3 橋跨及測點(diǎn)布置圖(cm)Fig.3 The configuration of bridge span and measuring points(cm)

圖4 為測點(diǎn)5處的橫向位移的傅里葉頻譜圖，圖中幅值比為FFT變換后的實(shí)部與虛部表示的復(fù)數(shù)的模長與序列長度的比值，它代表各階頻率所占能量的相對(duì)比值;圖5為單純利用隨機(jī)子空間識(shí)別得到的穩(wěn)定圖，二者均能識(shí)別橋梁橫向前四階振動(dòng)模態(tài)，但FFT是一種總體平均的概念，在分析非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)缺乏物理意義，且模態(tài)較為密集;而SSI識(shí)別的穩(wěn)定圖中的虛假模態(tài)已經(jīng)嚴(yán)重干擾到真實(shí)模態(tài)的拾取，因此利用FFT頻譜圖和SSI穩(wěn)定圖識(shí)別模態(tài)參數(shù)時(shí)均存在較多的人工干預(yù)。對(duì)于模態(tài)密集的大型橋梁，這種人工干預(yù)往往并不容易。另一方面，由于關(guān)心的頻段在0～3Hz之間，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行截止頻率為3 Hz的低通濾波。并對(duì)每個(gè)測點(diǎn)的信號(hào)都作限制帶寬的EMD，圖6顯示了測點(diǎn)5處的橫向位移信號(hào)的BREMD結(jié)果，從圖中可以看出，通過引入限制帶寬的屏蔽信號(hào)，各階IMF的模態(tài)混疊得到了很好的抑制。組裝相同參考點(diǎn)的同頻率成分的IMF，再利用隨機(jī)子空間識(shí)別其模態(tài)參數(shù)，并作出如圖7所示的穩(wěn)定圖。為了方便對(duì)比，將傅里葉譜以一定的比例放入穩(wěn)定圖中，可以看出穩(wěn)定圖中只有一個(gè)清晰的穩(wěn)定軸，而噪聲模態(tài)離散成一些跳點(diǎn)，為模態(tài)參數(shù)的提取提供了便利。

圖4 測點(diǎn)5橫向位移的傅里葉譜Fig.4 FFT spectrum of lateral displacement of measuring point 5

圖5 隨機(jī)子空間識(shí)別的穩(wěn)定圖Fig.5 Stabilization diagram of SSI

該橋橫向前四階模態(tài)識(shí)別結(jié)果如表1所示，表中列出了有限元計(jì)算結(jié)果、PP法識(shí)別結(jié)果、SSI識(shí)別結(jié)果以及本文方法識(shí)別的結(jié)果。理論振型特征是通過各個(gè)自由度上振型參與向量值所判定的。相比識(shí)別結(jié)果，有限元計(jì)算結(jié)果偏大，一方面是有限元計(jì)算中對(duì)約束和支撐剛度的模擬比實(shí)際中的大所導(dǎo)致，另一方面是由于未將實(shí)測結(jié)果對(duì)理論計(jì)算模型進(jìn)行反饋修正，使得理論模型不能完全反映真實(shí)情況;而PP法、SSI與本文方法識(shí)別結(jié)果吻合良好。相比PP和SSI識(shí)別結(jié)果，利用本文方法作出的穩(wěn)定圖穩(wěn)定軸清晰，在識(shí)別模態(tài)參數(shù)時(shí)減少了人工干預(yù)，更適合自振頻率低、模態(tài)較為密集的大型橋梁的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

5 結(jié)論

通過分析EMD和SSI穩(wěn)定圖在模態(tài)參數(shù)識(shí)別中存在的問題，建立一種了大型橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法，并成功應(yīng)用于實(shí)橋環(huán)境振動(dòng)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別中。該方法在EMD中引入了限制帶寬的屏蔽信號(hào)，使得EMD的模態(tài)混疊得到顯著抑制，每一階IMF代表結(jié)構(gòu)的某一階固有振動(dòng)，使得穩(wěn)定圖中只有一個(gè)較為清晰的穩(wěn)定軸，能夠更準(zhǔn)確的識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。與PP法和SSI識(shí)別結(jié)果的對(duì)比知，該方法識(shí)別的結(jié)果具有一定精度，且不存在模態(tài)密集導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)識(shí)別困難的問題，具有一定的應(yīng)用前景。

圖6 測點(diǎn)5橫向位移的BREMD結(jié)果Fig.6 BREMD of lateral displacement at measuring point 5

表1 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.1 Results of modal parameters identification

圖7 BREMD后隨機(jī)子空間識(shí)別的穩(wěn)定圖Fig.7 Stabilization diagrams of SSI after BREMD

［1] 靜 行，袁海慶，趙 毅.基于獨(dú)立分量分析的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別［J] .振動(dòng)與沖擊，2010，29(3):137－141.

［2] 陳 雋，徐幼麟.HHT在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用［J] .振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2003，16(3):383 －388.

［3] 韓建平，李達(dá)文.基于Hilbert-Huang變換和自然激勵(lì)技術(shù)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別［J] .工程力學(xué)，2010，27(8):54 －59.

［4] 常 軍，張啟偉，孫利民.穩(wěn)定圖方法在隨機(jī)子空間模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用［J] .工程力學(xué)，2007，24(2):39 －44.

［5] 肖 祥，任偉新.實(shí)時(shí)工作模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間識(shí)別［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(8):148 －153.

［6] Huang N E，Shen Z，Long S R，et al.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for non-linear and non-stationary time series analysis［J] .Proc.R.Soc.Lond.A，1998;454:903 －995.

［7] Van O P，Moor D B.Subspace identification for linear systems:theory implementation applications［M] .Dordrecht，The Netherlands:Kluwer Academic Publishers，1996.

［8] 傅光耀，段晨東，劉健新.經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解剔除結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的位移飄移［J] .振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22(4):438－442.

［9] 羅潔思，于德介，彭富強(qiáng).基于EMD的多尺度形態(tài)解調(diào)方法及其在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(11):84－86.

［10] Yang Y B，Chang K C.Extraction of bridge frequencies from the dynamic responses of a passing vehicle enhanced by the EMD technique［J] .Journal of Sound and Vibration，2009，322(4－5):718－739.

［11] 劉小峰，秦樹人，柏 林.EMD中存在的問題及解決方法探討［C] .第九屆全國振動(dòng)理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議論文集，2007，194 －200.

［12] 禹丹江，任偉新.信號(hào)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馀c間斷頻率［J] .福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，33(5):638 －642.

［13] Deering R，Kaiser J F.The use of a masking signal to improve empirical mode decomposition［C] .USA:IEEE International Conference，2005，18－23.

［14] 何啟源.基于現(xiàn)代時(shí)頻分析的環(huán)境激勵(lì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法研究［D] .重慶:重慶大學(xué)，2009.