基于譜單元方法的平板沖擊流固耦合研究

郭 君，張阿漫，楊文山，李 佳

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

水下爆炸載荷作用下的艦船結(jié)構(gòu)毀傷一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點［1－3]，與之相對應(yīng)的水下沖擊流固耦合問題主要是求解瞬態(tài)沖擊波激勵下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，其研究內(nèi)容涉及到結(jié)構(gòu)、材料、流體力學(xué)等諸多領(lǐng)域。當(dāng)結(jié)構(gòu)遭受水下沖擊波載荷作用時，可壓縮瞬態(tài)波在流體中傳播并撞擊到結(jié)構(gòu)上，在結(jié)構(gòu)濕表面處會發(fā)生繞射，如果結(jié)構(gòu)是彈性的，且周圍水的靜壓力足夠低，散開的稀疏波可能會導(dǎo)致子區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生氣穴，我們稱之為氣穴現(xiàn)象［4]。產(chǎn)生氣穴區(qū)域的水的體積模量比未產(chǎn)生氣穴區(qū)域的水的體積模量要小好幾個數(shù)量級，呈現(xiàn)非線性特性。由于結(jié)構(gòu)尺寸、入射波衰減長度和氣穴區(qū)域在空間尺寸上差別很大，氣穴會對近自由面結(jié)構(gòu)如水面艦船產(chǎn)生很大影響，如果一個45 kg的HBX－1炸藥在水下爆炸，產(chǎn)生氣穴區(qū)域，產(chǎn)生的氣穴區(qū)域在水平上最長為489 m，深度上最大為9 m，其中船體尺寸為:寬9.1 m、高4.6 m、吃水 3.1 m。

為處理氣穴現(xiàn)象，Newton［5]提出了一種非常有效的計算方案來處理氣穴聲學(xué)流體，該方案采用位移勢作為流體域有限元方程中的主要變量，位移勢是一個標(biāo)量。由于傳統(tǒng)流體有限元方程中采用的變量為位移矢量，位移矢量表達(dá)式中的變量是位移勢表達(dá)式中的未知量數(shù)目的三倍，而且不能自動對流體運動實行無旋處理，因此，與位移矢量相比，位移勢的選取具有相當(dāng)大的優(yōu)勢。Newton方案的第二個特點是應(yīng)用了顯式時間積分方法。后來，F(xiàn)elippa和 DeRuntz［6]對 Newton的方法進(jìn)行了擴(kuò)展，對流固耦合方程進(jìn)行三維表述，并對結(jié)構(gòu)和流體進(jìn)行有限元處理。然而，有限元方法采用的單元通常為低階單元，在解決波的傳播問題時會出現(xiàn)數(shù)值發(fā)散，要想得到準(zhǔn)確的數(shù)值結(jié)果需要十分精細(xì)的網(wǎng)格，尤其當(dāng)有氣穴現(xiàn)象出現(xiàn)時，網(wǎng)格細(xì)化更是尤為重要，從而導(dǎo)致計算量很大。為此，基于Felippa和DeRuntz的三維表述和結(jié)構(gòu)有限元處理，本文引進(jìn)譜單元對流體進(jìn)行處理，以探索一種更為有效的水下爆炸流固耦合求解方法。文中采用基于勒讓德多項式的譜單元［7－8]，這是一種高階單元，采用高階單元可以不需要細(xì)化網(wǎng)格便獲得收斂性。此外，譜單元還可以很好地顯示波的傳播特性［9－10]。譜單元方法綜合了有限元方法的幾何靈活性和譜方法的計算高精度性，在保證精度的同時還能提高計算速度。

1 譜單元數(shù)值模型

1.1 控制方程

在推導(dǎo)產(chǎn)生氣穴的聲學(xué)流體的控制方程時，首先采用雙線性模型［11]來考慮流體中的氣穴現(xiàn)象。雙線性模型是一種簡單合理的流體構(gòu)成模型，在這種模型中，當(dāng)壓縮率(負(fù)體積應(yīng)變)為正時，體積模量為水作為聲學(xué)介質(zhì)時的值;當(dāng)壓縮率為負(fù)時，體積模量為零。雙線性狀態(tài)方程如下:

式中，Ba是不存在氣穴時的體積模量是流體的總壓力，pv是溫度T0時水的蒸汽壓力，ρ0是溫度T0飽和流體的密度是瞬時密度是流體質(zhì)點的位置矢量，t表示時間。假定在整個討論域內(nèi)T0、ρ0和ρv是常量，定義，其中c是無氣穴聲學(xué)流體中的聲速，S=(ρ/ρ0－1)是總的壓縮率，通過這些定義可將狀態(tài)方程改寫為:

假設(shè)流體是無旋的，且忽略粘性的影響，從而保證了流場用勢來進(jìn)行表述。用位移勢來表示流場的位移為，其中和分別為流體質(zhì)點的總位移和平衡位移為位移勢是流體質(zhì)點的整體位置矢量。

根據(jù)流體的連續(xù)性方程和歐拉運動方程，并引用位移勢，可得到流體的平衡方程如下:

其中peq=－ρ0(Vg+h)是平衡壓力。

式(2)與式(3)便構(gòu)成了流體的控制方程組，利用關(guān)系式peq=pv+ρ0(Vg+h)，并定義壓縮率s=ρ0(SSeq)，位移勢 ψ =ρ0Ψ，則根據(jù)式(2)和式(3)，控制方程組可寫為:

式中為動態(tài)壓縮率為動態(tài)位移勢為流體節(jié)點坐標(biāo)，peq為水的平衡壓力，c為水中的聲速，pv為水的汽化壓力，由于pv比平衡壓力小很多，故可忽略不計，上標(biāo)點表示變量對時間的導(dǎo)數(shù)。

1.2 譜單元空間離散

與有限元離散相同，采用等參元對整個流體域進(jìn)行離散，將其離散成ne個六面體單元，則每個單元的幾何形狀可表示為:

φ仍然采用三線性函數(shù)。

然而，與有限元離散不同的是，在自然坐標(biāo)系內(nèi)，將壓縮率s和位移勢ψ離散為:

式中:φ為由N階多項式構(gòu)成的基函數(shù)，s為每個單元內(nèi)(N+1)3個節(jié)點分別對應(yīng)的壓縮率，ψ為每個單元內(nèi)(N+1)3個節(jié)點分別對應(yīng)的位移勢，ξ，η，ζ為單元的自然坐標(biāo)(－1≤ξ，η，ζ≤1)。

譜單元方法和有限元方法的最大區(qū)別在于φi的選擇，在有限元法中，φi取為與幾何變換相同的三線基函數(shù)，而在譜單元方法中，φi取為由勒讓德多項式構(gòu)成的一維拉格朗日插值函數(shù)［12]，這也是目前國內(nèi)外應(yīng)用最廣泛最有效的譜單元基函數(shù):

式中 PN為 N階勒讓德多項式，ξi為第 i個 Gauss-Lobatto-Legendre積分點，其值為下式的根:

可以證明，表達(dá)式(6)滿足下列關(guān)系式:

式中δij為克羅內(nèi)克δ。

用標(biāo)準(zhǔn)伽遼金法對控制方程式(4a)進(jìn)行離散，用φ左乘式(4a)，在流體域上對方程積分，并應(yīng)用格林第一公式可得:

式中Q，H，b分別為:

2 平板的水下爆炸流固耦合研究

2.1 計算模型

為驗證所建立的數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，需將數(shù)值解與準(zhǔn)確解進(jìn)行對比。這里采用的計算模型為經(jīng)典的Bleich-Sandler平板模型，如圖4所示，平板位于半無限長流體柱上，遭受平面步指數(shù)沖擊波作用，平板速度響應(yīng)的解析解可由特征法得到［11]。

圖1 Bleich-Sandler平板模型Fig.1 Bleich-Sandler plate model

計算模型的物理屬性為:大氣壓力為Patm=0.101 MPa，重力加速度為g=9.81 m/s2，流體密度為 ρ=998 kg/m3，流體中聲速為 c=1 450 m/s，流體長度為3.81 m，由100個等邊長的六面體單元構(gòu)成，平板密度為ρ=5 698 kg/m3，邊長為0.038 1 m，由一個單元構(gòu)成，平面步指數(shù)波的壓力峰值為p0=0.71 MPa，延遲時間為τ=0.1 ms，在沖擊波波陣面距離平板一個流體網(wǎng)格時開始積分計算［13]。

2.2 計算結(jié)果及討論

平板中心的速度時歷曲線如圖2所示，實線顯示的是由譜單元法得到的數(shù)值解，圓點和三角形點則分別表示的是由特征法得到的考慮氣穴和不考慮氣穴時的平板中心速度響應(yīng)的解析解。分別計算了人工阻尼β 取作0.25、0.50、0.75 和 1.0 的四種情況，臨界時間步根據(jù)2.3節(jié)中的表述進(jìn)行計算，計算時間步取作臨界時間步的0.75倍。

圖2給出了人工阻尼β取不同值時平板中心的速度隨時間變化的曲線，對計及氣穴和不計氣穴的兩種情況進(jìn)行了計算，并分別與Bleich-Sandler的解析解進(jìn)行對比。從圖2可以看出，由譜單元方法得到的數(shù)值結(jié)果與Bleich-Sandler解析解吻合較好，同時人工阻尼β對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值和響應(yīng)時間幾乎沒有影響，圖2(a)中曲線的微小振蕩是由流體網(wǎng)格的瞬時擾動所引起，隨著β的增加，振蕩逐漸消失。從圖2還可以看出，氣穴的存在不會改變速度的峰值，但會延長速度的衰減時間，從而延長載荷對結(jié)構(gòu)的作用時間，對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更大的破壞。

3 譜單元方法和有限元方法的對比研究

如前面部分提到，譜單元法相比有限元法具有很多優(yōu)點，這節(jié)將分別從精度和效率上對此進(jìn)行討論。

3.1 計算模型

如圖3所示，計算模型為位于流體柱上的一個兩自由度的質(zhì)量彈簧振子，遭受平面步指數(shù)沖擊波作用，圖中質(zhì)量塊m1表示船體外板，質(zhì)量塊m2表示船體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和設(shè)備，兩質(zhì)量塊由剛度系數(shù)為k的彈簧連接，m1和m2的位移分別用u1(t)和u2(t)表示，速度分別用V1(t)和V2(t)表示。

計算模型的物理屬性為:大氣壓力為Patm=0.101 MPa，重力加速度為 g=9.81 m/s2，質(zhì)量塊由邊長為0.3 m的正方形板表示，m1=76.9 kg，m2=384.5 kg，彈簧剛度系數(shù)為k=94 870 kg/s2，流體密度為ρ=1 026 kg/m3，流體中聲速為c=1 500 m/s，流體長度為3 m，壓力峰值為 p0=16.2 MPa，延遲時間為 τ=0.42 ms，沖擊波波陣面距m1的距離為dinc=0.3 m時開始進(jìn)行積分計算。

圖2 平板中心速度隨時間的變化曲線Fig.2 The flat center speed changing with time curve

3.2 計算結(jié)果及討論

有限元方法作為一種數(shù)值方法，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于水下沖擊問題的求解中，并證明具有一定的精度［6]，針對3.1 節(jié)的物理模型，我們采用由高度細(xì)化的有限元網(wǎng)格(24 000個等長單元)產(chǎn)生的有限元解作為基準(zhǔn)解，討論譜單元方法(SEM)和有限元方法(FEM)在不同細(xì)化程度時的精度。

圖3 計算模型Fig.3 Calculation Model

分別采用譜單元方法和有限元方法計算m1的速度響應(yīng)，并分別與基準(zhǔn)解對比。不同細(xì)化程度時質(zhì)量塊m1的速度隨時間的變化曲線如圖4所示。

圖4給出了分別采用譜單元方法和有限元方法在不同細(xì)化程度下算得的質(zhì)量塊m1的速度響應(yīng)曲線，分別將有限元解和譜單元解與基準(zhǔn)解進(jìn)行對比分析。誤差系數(shù)見表1。

表1 有限元解及譜單元解與基準(zhǔn)解之間的誤差系數(shù)cTab.1 Finite element solution and the spectral element solution and the error c between the coefficient of benchmark solutions

圖4 結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)對比曲線Fig.4 The comparison curve of the velocity response of the structure

從表1給出的誤差系數(shù)可以看出，譜單元方法和有限元方法所產(chǎn)生的誤差均隨著細(xì)化階數(shù)的升高逐漸減小，收斂于基準(zhǔn)解。然而，在細(xì)化階數(shù)相同(系統(tǒng)所具有的自由度相同)的條件下，譜單元方法得到的數(shù)值解更接近基準(zhǔn)解，因此，與有限元方法相比，譜單元方法具有更高的精度。

從表1還可以看出，在誤差相同的條件下，譜單元方法需要的自由度較少。例如:若將c=0.15設(shè)為允許誤差，用譜單元方法需要不足496個自由度便能達(dá)到允許誤差，而用有限元方法需要的自由度數(shù)則接近1 025。因此，譜單元方法在精度提高的同時可以大大減少計算所需要的自由度數(shù)，具有更高的計算效率。

4 結(jié)論

本文基于流體雙線性構(gòu)成關(guān)系考慮流體中可能發(fā)生的氣穴現(xiàn)象，采用基于勒讓德多項式的譜單元方法建立了水下爆炸流固耦合動力學(xué)模型，應(yīng)用經(jīng)典的平板沖擊問題對模型進(jìn)行了驗證。分別采用譜單元方法和有限元方法對彈簧－平板模型進(jìn)行水下爆炸流固耦合的求解，基于廣義誤差系數(shù)對譜單元方法和有限元方法進(jìn)行對比研究，得到以下結(jié)論:

(1)采用譜單元方法對Bleich-Sandler平板水下爆炸流固耦合問題進(jìn)行計算，得到的數(shù)值解與Bleich-Sandler的基本解吻合良好，譜單元方法能較好地應(yīng)用于水下爆炸流固耦合問題的求解中。

(2)流體中產(chǎn)生氣穴時，未產(chǎn)生氣穴的流體區(qū)域?qū)⒔Y(jié)構(gòu)與產(chǎn)生氣穴的流體區(qū)域分開，形成流體堆積。氣穴區(qū)域閉合時流體中形成正壓力沖擊作用，產(chǎn)生二次加載現(xiàn)象，從而對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更嚴(yán)重的破壞，因此在計算中應(yīng)予以考慮。

(3)人工阻尼對結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有光順作用，但基本不會影響結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值和響應(yīng)時間。隨著人工阻尼的增加，由流體網(wǎng)格瞬時擾動引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的振蕩逐漸消失。

(4)與有限元方法相比，在同樣網(wǎng)格細(xì)化的條件下，譜單元方法具有更高的精度;在誤差相同的條件下，譜單元方法所需的自由度數(shù)大大小于有限元方法所需的自由度數(shù)。因此，與有限元方法相比，譜單元方法在提高精度的同時，能大量節(jié)省計算時間。

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