節(jié)理體積的計(jì)算方法

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

工程實(shí)踐表明，天然巖體中含有大量的節(jié)理，有地殼運(yùn)動所產(chǎn)生的地應(yīng)力作用形成的節(jié)理，有風(fēng)化作用形成的節(jié)理，還有人為因素(爆破、打擊等)形成的節(jié)理。節(jié)理破壞了巖體的完整性，大大降低了巖體的力學(xué)性能。因此，節(jié)理的力學(xué)性質(zhì)直接影響巖體的力學(xué)性質(zhì)，進(jìn)而影響巖體工程的穩(wěn)定與安全。對節(jié)理、節(jié)理巖體的力學(xué)及相關(guān)性質(zhì)的研究，具有極大的工程實(shí)踐意義。節(jié)理的抗剪強(qiáng)度遠(yuǎn)小于巖石的抗壓強(qiáng)度，對節(jié)理力學(xué)性質(zhì)的研究主要是對其抗剪性能的研究，眾多學(xué)者研究表明，節(jié)理的剪切強(qiáng)度與節(jié)理表面形貌特征有較大關(guān)系。Carr等[1?2]運(yùn)用分形理論來描述復(fù)雜的節(jié)理表面形貌特征，計(jì)算了節(jié)理表面的分形參數(shù)。杜守繼等[3]研究了節(jié)理的力學(xué)性質(zhì)與分形參數(shù)之間的關(guān)系。周枝華等[4?5]運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理分析了節(jié)理表面特征參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。夏才初等[6?9]定義了節(jié)理表面形貌參數(shù)，定量描述節(jié)理表面的形貌特征。Hutson等[10?14]研究了剪切作用下節(jié)理表面的形貌特征變化，并定義了變化度量參數(shù)，同時建立了相應(yīng)的函數(shù)式。曹平等[15]研究了節(jié)理表面形貌在剪切作用下的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)節(jié)理表面輪廓角的加權(quán)平均值隨著剪切次數(shù)的增加而減小。杜守繼等[16]首次從能量的角度簡略分析了節(jié)理抗剪強(qiáng)度與表面損傷的關(guān)系。但是上述學(xué)者沒有分析節(jié)理抗剪強(qiáng)度與節(jié)理體積損失的關(guān)系。在眾多學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，本文作者運(yùn)用先進(jìn)的三維非接觸式高精度激光形貌儀，對剪切前后節(jié)理表面進(jìn)行激光掃描測試，從節(jié)理表面摩擦的角度，研究了剪切作用下節(jié)理體積損失變化規(guī)律，分析了抗剪強(qiáng)度與體積損失的關(guān)系。

1 節(jié)理體積計(jì)算公式

在計(jì)算體積之前，首先設(shè)定一個水平面M，將節(jié)理在水平面M以上部分稱為節(jié)理體積(Joint volume)。在計(jì)算整個節(jié)理體積時，以與最低谷點(diǎn)相切的平面為水平基準(zhǔn)面M，以保證節(jié)理表面所有凸起體的體積都包含在計(jì)算范圍內(nèi)，水平面M的高度可以隨著節(jié)理表面凸起體體積計(jì)算區(qū)域進(jìn)行調(diào)整，節(jié)理表面某點(diǎn)到水平基準(zhǔn)面M的垂直距離稱為節(jié)理高度h。為了計(jì)算節(jié)理在水平面M以上部分的體積，提出節(jié)理體積計(jì)算的積分式：

式中：Vh為節(jié)理高度為h時水平面M以上部分的節(jié)理體積；An為節(jié)理表面在水平面M上的投影面積；z(x,y)為節(jié)理表面的高度函數(shù)；dx和dy分別為An范圍內(nèi)在x和y方向上的微分。

實(shí)際的節(jié)理表面是一個極為復(fù)雜的曲面，用數(shù)學(xué)函數(shù)式來描述這個曲面具有很大的困難，且節(jié)理表面特征具有多變性，不同的節(jié)理具有不同的表面形貌，需要用不同的數(shù)學(xué)函數(shù)式來表達(dá)，即z(x,y)的表達(dá)式難以求出，采用式(1)計(jì)算節(jié)理體積具有相當(dāng)大的難度。因此，采用離散形式估算節(jié)理體積是一種實(shí)用的方法。

將節(jié)理表面水平投影面積An分別沿x和y方向劃分為n個邊長為ixΔ，jyΔ的矩形區(qū)域，以該矩形為底，向上延伸成一個上表面不規(guī)則的近似棱柱體。為了便于計(jì)算，將這個棱柱體的上表面簡化成一個平面，如圖1所示。為了盡可能求得接近棱柱體的真實(shí)體積，以式(2)求得棱柱體的平均高zΔ：

式中，z1，z2，z3，z4分別表示所劃分計(jì)算區(qū)域的近似棱柱體4個角點(diǎn)的高度。

圖1 計(jì)算區(qū)域示意圖Fig.1 Schematic diagram of computational domain

Δxi和Δyj分別為計(jì)算區(qū)域在x和y方向上的長度，這也是節(jié)理體積的最小計(jì)算單位；i，j分別表示x，y方向上第i，j個計(jì)算區(qū)域，那么計(jì)算區(qū)域棱柱體體積Δvi j的計(jì)算公式如下：

在An范圍內(nèi)，對圖1所示的所有計(jì)算區(qū)域棱柱體的體積求和得

式中：Ni為在An范圍內(nèi)x方向劃分小矩形個數(shù)總和；Nj為在An范圍內(nèi)y方向上劃分小矩形個數(shù)總和。

在TalyMap5.0中，將ixΔ和jyΔ設(shè)定為單位長度。因此，上文所劃分的計(jì)算區(qū)域?yàn)閱挝粎^(qū)域，單位區(qū)域棱柱體體積與其高度直接相關(guān)，式(4)簡化為：

2 舉例分析

2.1 掃描儀器介紹

Talysurf CLI 2000三維非接觸式高精度激光形貌儀由英國Taylor Hobson公司研制生產(chǎn)。該儀器的主要功能是測試物件表面形態(tài)，其外觀尺寸(長×寬×高)為800 mm×600 mm×970 mm，質(zhì)量為280 kg，主要由激光掃描測量裝置、控制單元、數(shù)據(jù)采集軟件Talysurf CLI、計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)分析軟件 TalyMap5.0組成[15]。

2.2 用TalyMap5.0計(jì)算節(jié)理體積

圖2所示為節(jié)理表面某個區(qū)域經(jīng)過放大處理的三維圖，節(jié)理的最大高度為1.2 mm。從圖2可見：整個節(jié)理表面由微小凸起體組成。節(jié)理表面受到摩擦?xí)r，即這些凸起體的磨損破壞。因此，用TalyMap5.0計(jì)算節(jié)理體積具有很高精度。

圖2 節(jié)理表面三維圖Fig.2 3D image of joint surface

節(jié)理體積計(jì)算示意圖如圖3所示。在TalyMap5.0中，右邊工具條中的箭頭可以隨鼠標(biāo)上下移動，移動范圍為0～hmax。箭頭的上下移動代表示水平面M的上下移動，當(dāng)箭頭停止在某個高度時，水平面以上部分的體積和最大高度等參數(shù)能夠計(jì)算出來。同時，可以在節(jié)理表面最大高度范圍內(nèi)輸入數(shù)值來精確確定水平面M的高度，從而計(jì)算節(jié)理在該高度以上部分的體積。從圖3可知：節(jié)理表面在中間范圍較低，是凹谷部分，左右兩端較高，分布著大量凸起體。同時也是容易受到磨損，提供抗剪強(qiáng)度的部分。高度越大，相對應(yīng)的體積投影面積就越少。利用該功能可以計(jì)算和分析節(jié)理在不同高度范圍內(nèi)的體積變化以及凸起體磨損情況。

2.3 實(shí)例分析

在節(jié)理剪切試驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，如果節(jié)理上下盤耦合較差，且法向應(yīng)力較低時，節(jié)理表面磨損較少，且節(jié)理的抗剪強(qiáng)度較小，節(jié)理的抗剪強(qiáng)度曲線沒有明顯的峰值抗剪強(qiáng)度。當(dāng)節(jié)理上下盤耦合良好時，節(jié)理表面有明顯的摩擦痕跡，且抗剪強(qiáng)度曲線有明顯的峰值抗剪強(qiáng)度。本文選取節(jié)理上下盤耦合良好的情況予以分析。

圖 4所示為示例節(jié)理的三維圖。該節(jié)理在x，y方向的長度和寬度分別為72.0 mm和51.5 mm，在z方向的最大高度隨著剪切作用發(fā)生了變化(如表 1所示)。表2和3所示為在經(jīng)過2次不同法向應(yīng)力的剪切作用后，且每次剪切前后，用Talysurf CLI 2000掃描測試，并使用 TalyMap5.0中的體積分析功能計(jì)算的結(jié)果。

圖3 節(jié)理體積計(jì)算示意圖Fig.3 Illustration of computational joint volume on horizontal plane

表1 節(jié)理面最大高度值Table 1 Maximum height of joint surface mm

圖4 計(jì)算節(jié)理的三維圖Fig.4 3D image of computational joint

從表1可知：經(jīng)過2次不同法向應(yīng)力的剪切試驗(yàn)，節(jié)理最大高度減小，由剪切前的9.740 mm變?yōu)?.544 mm，這是節(jié)理體積變化的直接特征。在實(shí)際節(jié)理剪切過程中，由于剪脹作用的存在，受到磨損的主要是節(jié)理面上較高的凸起體，而較低的凸起體不那么容易受到摩擦。從表2可知：剪切作用下節(jié)理體積因磨損而減少，由剪切前的20 343.0 mm3減少到剪切1次后的17 240.0 mm3，共減少約3 103.0 mm3，平均高度減少約0.858 mm，最大高度減少1.196 mm，與試驗(yàn)現(xiàn)象一致。第2次剪切后，節(jié)理表面最大高度只有8.544 mm，因此，在9 mm以上的節(jié)理體積為0 mm3。

表2 水平面在不同高度上的節(jié)理體積Table 2 Joint volume on horizontal plane at different heights mm3

表3 水平面在不同高度范圍內(nèi)的節(jié)理體積Table 3 Joint volume between two horizontal planes at different heights mm3

從表3可知：剪切前，在0～1 mm，1～2 mm和2～3 mm高度范圍內(nèi)，節(jié)理體積相差不大，說明這段高度范圍內(nèi)節(jié)理表面的凸起體較少，所以體積變化不大。2次剪切后，在0～3 mm高度范圍內(nèi)，節(jié)理體積變化很少，共減少140.5 mm3，再次說明0～3 mm高度范圍內(nèi)節(jié)理表面凸起體較少。節(jié)理體積損失主要集中在高度為3～7 mm范圍內(nèi)，由于最高凸起體的體積較小，損失不多，說明節(jié)理在耦合良好的情況下，主要是中間高度范圍內(nèi)的凸起體受到摩擦。

計(jì)算水平面M在不同高度情況下節(jié)理體積的差，可以求得某一指定范圍內(nèi)節(jié)理體積，同時可以分析該高度范圍內(nèi)節(jié)理面受到的磨損情況，這對于材料摩擦特性的研究具有較大意義。圖5所示為水平面位于8 mm處的節(jié)理體積計(jì)算示意圖。由圖5可知：剪切作用下，同一節(jié)理在相同高度處的投影面積減少，這說明剪切作用使得節(jié)理表面的凸起體被剪斷，節(jié)理表面形貌發(fā)生了變化。從表2可得，剪切前，8 mm以上節(jié)理體積有 127.60 mm3，但是剪切后，只剩下 6.90 mm3，共損失約120.70 mm3，損失的體積導(dǎo)致8 mm以上節(jié)理面高度和投影面積的減小，水平面在 8.544 mm以上的節(jié)理體積完全被磨損掉。

圖5 水平面在8 mm處節(jié)理體積計(jì)算示意圖Fig.5 Illustration of computing joint volume on horizontal plane at height of 8 mm

3 結(jié)論

(1) 使用Talysurf CLI 2000掃描節(jié)理表面具有很高精度，用TalyMap5.0能夠準(zhǔn)確快速計(jì)算指定高度的節(jié)理體積。

(2) 在剪切作用下，節(jié)理表面高度減小，體積也相應(yīng)減小，不同法向應(yīng)力的剪切作用下，相同高度上節(jié)理表面體積變化不一致。

(3) 節(jié)理上下盤耦合良好時，較高凸起體更易受到磨損，節(jié)理體積損失主要集中在中間高度范圍內(nèi)。

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