永磁直線伺服系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)負載擾動補償方法

王麗梅 武志濤 劉春芳

（沈陽工業(yè)大學電氣工程學院 沈陽 110870）

1 引言

現(xiàn)代高精度永磁直線進給伺服系統(tǒng)要求驅(qū)動系統(tǒng)具有快速性的同時，且對負載擾動和系統(tǒng)參數(shù)的變化具有強魯棒性[1,2]。為了保持伺服系統(tǒng)具有良好的性能，文獻[3,4]采用魯棒控制方法來抑制永磁直線電機伺服系統(tǒng)的擾動。文獻[5]提出一種將擾動觀測器和重復控制器相結(jié)合的控制策略。文獻[6]提出了反饋線性化和極點配置的觀測器相結(jié)合的擾動抑制控制方案。本文提出利用模型參考自適應理論設計負載擾動補償器。模型參考自適應控制這一設想在20世紀 50年代由考得威爾（Goldwell）提出，現(xiàn)已成為實現(xiàn)高性能控制系統(tǒng)中重要的解決方案，特別是當動態(tài)特性不明，或有大的變化時，模型參考自適應系統(tǒng)能實現(xiàn)快速的動態(tài)響應[7,8]。

本文為兼顧系統(tǒng)響應性能和抗干擾能力的要求，采用了位置控制器與負載擾動補償器相結(jié)合的控制策略。其中位置控制器決定系統(tǒng)的瞬時響應特牲，而負載擾動補償器則用來改善抗干擾能力。位置控制器采用以頻域因子分解法求解最優(yōu)的位置控制器；負載擾動補償器使用 PI結(jié)構(gòu)，通常比例-積分控制器的參數(shù)均使用試湊法確定，缺乏系統(tǒng)化的設計，本文提出根據(jù) Parseval定理中信號在時間域內(nèi)的總能量與頻域內(nèi)的總能量相等的原理將時域二次型性能指標轉(zhuǎn)為頻域性能指標，再通過對勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）二維數(shù)組的計算，可解析化地計算出負載擾動補償器PI參數(shù)的最優(yōu)值，并且大大簡化了計算過程。

2 永磁直線同步電機簡化數(shù)學模型

PMLSM的工作原理如圖1所示。

圖1 永磁直線同步電動機工作原理Fig.1 Basic principle of PMLSM

對PMLSM進行矢量控制，即要求動子電流矢量與定子永磁體磁場在空間上正交。電流內(nèi)環(huán)采用勵磁分量id=0的控制策略，電磁推力F與iq成正比，則PMLSM的運動方程為[9]

式中iq——q軸動子電流；

λPM——定子永磁體產(chǎn)生的勵磁磁鏈；

v——動子線速度；

B——粘滯摩擦系數(shù)；

τ——極距；

M——動子質(zhì)量；

Kf——電磁推力系數(shù)；

FL——負載擾動。

3 位置控制器設計

為了使直線伺服系統(tǒng)具有快速的瞬時響應及最小的超調(diào)量，本位置控制器采用頻域最優(yōu)因子分解設計方法[10]，最優(yōu)的閉環(huán)特征多項式是由開路被控對象的分母因式及權(quán)重因子乘以分子因式之和所組成，其關系式如下

式中，(s)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母式；(s)和(s)分別是開環(huán)傳遞函數(shù)的分母式和分子式。

其位置控制系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 位置控制系統(tǒng)原理圖Fig.2 Block diagram of the position control system

廣義被控對象的傳遞函數(shù)可表示為

式中，K是控制器的定值增益；速度回路設計為比例控制器。

由式（4）可得，被控對象傳遞函數(shù)的分母為分子為

此時最優(yōu)化的閉環(huán)特征多項式可表示為

式（7）是由開路被控對象的分母因式、分子因式和加權(quán)因子q所組成的四階方程式，此多項式含有四個特征根，其中兩個特征根在左半平面，另外兩個特征根則在右半平面，且相互對稱于虛軸，由于要求閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，所以取左半平面的兩個特征根做為最優(yōu)化系統(tǒng)閉環(huán)極點，此時式（7）可重新表示為

此時整個閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)化傳遞函數(shù)即可表示為

式中，c()Ns是閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子式，則最優(yōu)化位置控制器為

4 負載擾動補償器設計

為了使系統(tǒng)具有良好的抗干擾能力，本文采用位置控制器和負載擾動補償器相結(jié)合的獨立結(jié)構(gòu)設計方法，如圖3所示，圖中xr是在加載時系統(tǒng)期望的位置響應，x是系統(tǒng)實際的位置響應，Gz(s) 是未加入負載擾動補償器之前控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，Δx為負載干擾加入后產(chǎn)生的位置偏差量。由于無載時，期望的位置響應xr和實際的位置響應x相等。所以，負載干擾位置偏差量Δx為零，使得由位置命令xd到實際位置x之間定向控制回路的響應，不會受到負載補償?shù)挠绊懀饰恢每刂破骱拓撦d擾動補償器可分別獨立設計，不會相互影響。

圖3 基于負載擾動補償器的控制系統(tǒng)原理圖Fig.3 Block diagram of the control system based on load disturbance compensator

外來的負載干擾加入后，會產(chǎn)生位置偏差量Δx，經(jīng)過負載擾動補償器產(chǎn)生Δu，Δu可做為外來的負載干擾位置控制系統(tǒng)的補償量，而負載擾動補償器包含Kp和Ki兩個參數(shù)，利用參數(shù)最優(yōu)化的方法，可求得在負載干擾時，位置偏差量為最小值的Kp和Ki最優(yōu)參數(shù)值。

將式（4）、式（9）代入式（10）中，并重新整理可得

式中

欲使位置偏差量最小時，本文以下列二次式作為性能指標

直接由式（13）尋找最優(yōu)的補償器PI參數(shù)甚為困難，故將上述時域轉(zhuǎn)換為頻域進行討論，基于Parseval定理中信號在時間域內(nèi)的總能量與頻域內(nèi)的總能相等的原理將時域二次型性能指標轉(zhuǎn)為頻域性能指標表示[11]

其中n——系統(tǒng)階數(shù)。

此時式（14）可表示為

再利用勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）數(shù)組[12]計算出式（15）的性能指標Jd。

將式（12）代入式（14）可得式（16）。

由 Routh-Hurwitz數(shù)組可得最小化性能指標的解析解為[12]

再經(jīng)由下列兩個偏微分聯(lián)立方程式組可解得最優(yōu)的Kp和Ki參數(shù)值

5 仿真與實驗結(jié)果及其分析

實驗所用 PMLSM 參數(shù)為：電磁推力系數(shù)Kf=25N/A，動子質(zhì)量標稱值M=11kg，粘滯摩擦系數(shù)標稱值B=1.2 N?m /s ，動子電樞電阻Rs=1.2Ω，定子極距τ=0.03m，動子極數(shù)pn=3，永磁體有效磁鏈標稱值ψf=0.001Wb。外部負載阻力為FL=100N。

圖4為當輸入為正弦（1mm，0.6Hz）位置曲線，且動子和動子所帶負載的總質(zhì)量Mn=2M時，使用最優(yōu) PI值和使用經(jīng)驗PI值時，伺服系統(tǒng)的動子實際輸出軌跡曲線和位置誤差曲線。

圖5為當輸入為單位階躍曲線，且動子和動子所帶負載的總質(zhì)量Mn=2M時，使用最優(yōu)PI值與使用經(jīng)驗PI值，直線伺服系統(tǒng)的動子位置實際輸出軌跡曲線以及位置誤差曲線。

圖4a和圖5a是輸出軌跡曲線，可以看出系統(tǒng)的魯棒性與動態(tài)特性良好。圖4b和圖5b分別為正弦位置輸入、階躍位置輸入時的位置誤差曲線，且可見位置誤差仿真結(jié)果為-6～6μm。由圖 4和圖 5可見，負載擾動補償器PI參數(shù)選用本文計算方法在保證跟蹤精度的同時，能使永磁直線伺服系統(tǒng)得到更好的擾動抑制效果。

圖4 當正弦位置輸入時系統(tǒng)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of the system with sin position input

圖5 當階躍位置輸入時系統(tǒng)仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of the system with step position input

利用基于DSP控制的PMLSM伺服系統(tǒng)對以上仿真進行了實驗驗證，主要由PMLSM、PC + DSP運算控制單元、IPM主回路功率變換單元、動子電流檢測單元和直線光柵尺速度檢測單元等組成，其硬件結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)原理框圖Fig.6 Hardware frame map of PMLSM control system based on DSP

圖7為負載擾動補償器使用本文最優(yōu)PI值和使用經(jīng)驗PI值抑制擾動的正弦位置誤差曲線。圖8是階躍位置誤差曲線。通過對比圖7a與圖7b、圖8a與圖8b可知，無論是正弦輸入還是階躍輸入，基于負載擾動補償器的高精度永磁直線進給伺服系統(tǒng)能有效地抑制負載變化擾動，保證位置誤差小于10μm，仿真結(jié)果與試驗結(jié)果基本一致。同時，負載擾動補償器使用本文計算方法所得最優(yōu) PI參數(shù)能得到更好的擾動抑制效果和跟蹤精度。

圖7 正弦位置輸入時實際位置誤差曲線Fig.7 Actual position errors with sin position input

圖8 階躍位置輸入時實際位置誤差曲線Fig.8 Actual position errors with step position input

6 結(jié)論

本文針對高精度永磁直線進給伺服系統(tǒng)的特點,提出了位置控制器與負載擾動補償器相結(jié)合的擾動抑制方法。在負載擾動補償器的PI參數(shù)確定上，提出根據(jù)Parseval定理將時域性能指標轉(zhuǎn)為頻域性能指標求得最優(yōu)值的計算方法，此方法解決了求解二次型性能指標須先變狀態(tài)方程，再計算黎卡提方程式（Riccati equation）的解，然后再求線性二次型最優(yōu)值的傳統(tǒng)計算過程（即LQ問題），既簡化了計算步驟，又可使計算過程解析化。通過理論分析、仿真、實驗驗證了采用參數(shù)最優(yōu)化的負載擾動補償器能有效地抑制負載擾動，提高了系統(tǒng)的控制精度，增強了伺服系統(tǒng)的魯棒性。

[1]張春良, 陳子辰. 直線驅(qū)動新技術及其在加工裝備上的應用[J]. 電工技術學報, 2002, 17(5): 45-49.

Zhang Chunliang, Chen Zichen. The new technologies of linear drive and its applications in the processing equipment[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2002, 17(5): 45-49.

[2]張希, 陳宗祥, 潘俊民, 等. 永磁直線同步電機的固定邊界層滑?？刂芠J]. 中國電機工程學報, 2006,26(22): 115-121.

Zhang Xi, Chen Zongxiang, Pan Junmin, et al. Fixed boundary layer sliding mode control of permanent magnet linear synchronous motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(22): 115-121.

[3]孫宜標, 楊雪, 夏加寬. 采用魯棒微分器的永磁直線同步電機二階滑?？刂芠J]. 中國電機工程學報,2007, 27(33): 6-10.

Sun Yibiao, Yang Xue, Xia Jiakuan. Second order sliding mode control for PMLSM using robust differentiator[J]. Proceedings of the CSEE, 2007,27(33): 6-10.

[4]趙希梅, 郭慶鼎. 永磁直線同步電動機的變增益零相位H∞魯棒跟蹤控制[J]. 中國電機工程學報, 2005,25(20): 132-136.

Zhao Ximei, Guo Qingding. Variable gain zero phaseH∞r(nóng)obust tracking control for permanent magnet linear synchronous motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2005, 25(20): 132-136.

[5]趙希梅, 郭慶鼎. 為提高輪廓加工精度采用 DOB和 ZPETC的直線伺服魯棒跟蹤控制[J]. 電工技術學報, 2006, 21(6): 111-114.

Zhao Ximei, Guo Qingding. Linear servo robust tracking control based on DOB and ZPETC to improve the contour machining precision[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2006, 21(6): 111-114.

[6]趙娥, 宋保維, 陳海峰. 永磁同步電機負載擾動控制器設計[J]. 彈箭與制導學報, 2007, 27(1): 254-257.

Zhao E, Song Baowei, Chen Haifeng. Design on controller of PMSM with load disturbance[J]. Journal of Projectiles Rockets, Missiles and Guidance, 2007,27(1): 254-257.

[7]郭慶鼎, 等. 直線交流伺服系統(tǒng)的精密控制技術[M].北京：機械工業(yè)出版社, 2000.

[8]紀志成, 李三東, 沈艷霞. 自適應積分反步法永磁同步電機伺服控制器的設計[J]. 控制與決策, 2005,20(3): 229-331.

Ji Zhicheng, Li Sandong, Shen Yanxia. Adaptive backstepping design for servo controller of permanent magnet synchronous motor[J]. Control and Decision,2005, 20(3): 229-331.

[9]孫宜標, 楊雪, 夏加寬. 采用魯棒微分器的永磁直線同步電機二階滑?？刂芠J]. 中國電機工程學報,2007, 27(33): 6-10.

Sun Yibiao, Yang Xue, Xia Jiakuan. Second order sliding mode control for PMLSM using robust differentiator[J]. Proceedings of the CSEE, 2007,27(33): 6-10.

[10]Miyazaki T, Ohishi K, Shibutani I. Perfect tracking control based on prediction of reference for high speed optical disc system[C]. Proceedings of the 33rd Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, 2007: 345-350.

[11]蘇志平. 信號與系統(tǒng)[M]. 北京: 中國水利水電出版社, 2009.

[12]Gradshteyn I S, Ryzhik I M. Routh-hurwitz theorem[M]. San Diego, CA: Academic Press, 2000.