余模的AuslanderReiten平移＊－

祝家貴，黎奇升，魏麗娟

（1．巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 238000；2．吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南吉首 416000；3．湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南岳陽 414000）

余模的AuslanderReiten平移＊
－

祝家貴1，黎奇升2，魏麗娟3

（1．巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 238000；2．吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南吉首 416000；3．湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南岳陽 414000）

設(shè)Γ是域k上的余代數(shù)，對函子作進(jìn)一步研究，其中表示MΓ中由擬有限余表示余模確定的完全子范疇．證明了當(dāng)Γ是半完備余代數(shù)時(shí)，τ是范疇與之間的等價(jià)，其中是內(nèi)射（投射）穩(wěn)定范疇是中有限維射內(nèi)射（投射）余模作成的完全子范疇．

余代數(shù)；余模；轉(zhuǎn)置；平移

1 問題的提出

設(shè)Γ是域k上的一個(gè)余代數(shù)，MΓ表示右－Γ余模范疇，對于M ∈MΓ，如果對每個(gè)有限維F∈MΓ有 dimkComΓ（F，M）＜＋∞，那么稱M是擬有限的，用表示MΓ中由擬有限余模確定的完全子范疇．對于M∈MΓ，如果M的極小內(nèi)射余表示0→M→I0→I1滿足Ii是擬有限內(nèi)射余模（i＝0，1），那么稱M是擬有限余表示的，用表示MΓ中由擬有限余表示余模確定的完全子范疇．如果M的極小投射表示滿足Pi是擬有限的投射余模（i＝0，1），那么稱M是擬有限表示的，用表示MΓ中由擬有限表示余模確定的完全子范疇．文獻(xiàn)［1］中引進(jìn)了一個(gè)函子，其中Γop表示Γ的反余代數(shù)，如果既不可分解又不是內(nèi)射的且dimkTrM＜＋∞，證明了在范疇MΓ中幾乎分裂序列0→M→E→DTrM→0的存在性，其中D＝Homk（，k）；如果Γ是右半完備余代數(shù)，且對每個(gè)單模S∈MΓ，dimk（Soc（I（S）／S））＜＋∞，其中I（S）是S的內(nèi)射包，Soc是基座，那么對每個(gè)有限維M∈MΓ，以上幾乎分裂序列存在且dimkDTrM＜＋∞．筆者對函子Tr及τ＝DTr作進(jìn)一步研究，簡化了文獻(xiàn)［1］關(guān)于函子Tr的引進(jìn)方法，證明了函子τ是范疇與之間的等價(jià)，其中是內(nèi)射（投射）穩(wěn)定范疇是中有限維射內(nèi)射（投射）余模作成的完全子范疇．為方便起見，用Inj MΓ（PMΓ）表示MΓ中所有內(nèi)射（投射）余模作成的類．

2 轉(zhuǎn)置函子Tr

如果M，N∈MΓ，那么記M到N的右Γ－余模同態(tài)全體為ComΓ（M，N）．現(xiàn)需要Hom函子的對偶概念，Cohom函子hΓ（，），它是右正合加法函子［2］．

引理1［3］設(shè)，那么M 是不可分解內(nèi)射的充要條件是存在一個(gè)本原冪等元e ∈Γ＊＝Homk（Γ，k），使得M?Γe作為右Γ－余模同構(gòu)．

事實(shí)上，如果I∈MΓ是不可分解內(nèi)射余模，那么由引理1，存在本原冪等元e∈Γ＊使得I?Γe，這時(shí)It＝hΓ（I，Γ）?hΓ（Γe，Γ）?eΓ．由于eΓ是Γ作為右Γop－余模的直和項(xiàng)，從而eΓ是擬有限內(nèi)射的Γop－余模．對于一般情況，只需利用函子（－）t的可加性．

記TrM＝Ker ft，稱為M的轉(zhuǎn)置（transpose）．現(xiàn)在有一個(gè)右Γop－余模正合列：

由于內(nèi)射包，繼而極小內(nèi)射余表示在同構(gòu)意義下是唯一確定的，因此右Γop－余模TrM 在同構(gòu)意義下是唯一的．

轉(zhuǎn)置函子Tr的主要性質(zhì)歸納如下（參考文獻(xiàn)［1］中的命題3．2）．

（ⅰ）右Γop－余模TrM沒有非0的內(nèi)射直和項(xiàng)；

（ⅲ）M是內(nèi)射的充要條件是TrM＝0，如果M不是內(nèi)射的，那么TrM是不可分解的且Tr（TrM）?M；

其中u：E1′→E0′是右Γop－余模同態(tài)．用（－）t函子作用，得到M以下形式的內(nèi)射余表示：

這與M 內(nèi)射余表示的極小性矛盾．

應(yīng)用函子（－）t到（ⅱ）中的正合列，可以得到行正合的交換圖：

事實(shí)上，假定同態(tài)w存在，考慮以下交換圖：

因?yàn)閒′（u0－wf）＝0，所以Im（u0－wf）?Ker f′＝Img′，于是存在v：I0→M′使得g′v＝u0－wf，但g′vg＝（u0－wf）g＝u0g＝g′u，從而vg＝u（g′是單同態(tài)），因此u∈I（M，M′），從而F（u0，u1）＝0．反過來，如果F（u0，u1）＝0，那么由u0，u1誘導(dǎo)的同態(tài)u通過內(nèi)射余模分解．因?yàn)間是一個(gè)單同態(tài)，從而存在v：I0→M′使得u＝vg．現(xiàn)在（u0－g′v）g＝u0g－g′vg＝u0g－g′u＝0，由此推出存在一個(gè)同態(tài)使得wf＝u0－g′v．因此f′wf＝f′（u0－g′v）＝f′u0．

還有一個(gè)“行正合”的圖：

應(yīng)用函子（－）t得到以下交換圖：

令Tru：TrM′→TrM是使得以上左方塊圖交換的唯一的同態(tài)，由此推出是一個(gè)對偶函子．

3 Auslander－Reiten平移

轉(zhuǎn)置Tr將右Γ－余模變成右Γop－余模，現(xiàn)希望在右Γ－余模范疇

內(nèi)構(gòu)造一個(gè)范疇等價(jià)，這需要與標(biāo)準(zhǔn)對偶函子D＝Homk（－，k）合成．

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)對偶D＝Homk（－，k）在有限維余模范疇中的基求性質(zhì)，有類似文獻(xiàn)［5］中定理5．13的的結(jié)論，讀者可以直接給出證明．

引理2 設(shè)Γ是一個(gè)余代數(shù)，D＝Homk（－，k）：f．d．M?！鷉．d．MΓop是標(biāo)準(zhǔn)對偶，那么以下結(jié)論成立：

（1）0→L→uN→hM→0在f．d．MΓ中是正合的在f．d．MΓop中是正合的．

（2）設(shè)E，P∈f．d．MΓ，那么E∈Inj MΓ?D（E）∈PMΓop，P∈PMΓ?D（P）∈Inj MΓop．

（3）余模S∈f．d．MΓ是單的?D（S）∈f．d．MΓop是單的．

（4）單同態(tài)u：M→E是f．d．MΓ中的一個(gè)內(nèi)射包?滿同態(tài)D（u）：D（E）→D（M）是f．d．MΓop中的一個(gè)投射蓋；滿同態(tài)h：P→M是f．d．MΓ中的一個(gè)投射蓋?單同態(tài)D（h）：D（M）→D（P）是f．d．MΓop中的一個(gè)內(nèi)射包．

定義1 令τ＝DTr和τ－1＝TrD，稱τ為Auslander－Reiten平移．稱為Nakayama函子．

（ⅱ）由M的極小投射分解P1→P0→M→0，用D去作用，得到DM的極小內(nèi)射分解0→DM→DP0→DP1．再用（－）t＝hΓ（－，Γ）去作用，有0→Tr（DM）→（DP1）t→（DP0）t→（DM）t→0．由于對每個(gè)M∈MΓ，（DM）t＝hΓ（DM，Γ）?hΓ（DΓ，DDM）?hΓ（DΓ，M）?υ－1M，因此以上同構(gòu)誘導(dǎo)以下正合列：

由這個(gè)命題可以立即給出一個(gè)余模其內(nèi)射（投射）維數(shù)至多是1的判定方法．

證明 （?。┯擅}1（ⅰ），用右正合函子υ－1＝hΓ（DΓ，－）作用到正合列→0，得到行正合的交換圖：

因此υ－1τM＝hΓ（DΓ，τM）?Coker f＝0?inj．dim（M）≤1．

（ⅱ）由命題1（ⅱ），用υ＝DhΓ（－，Γ）去作用正合列，得到以下交換圖：

因此υ（τ－1M）＝DhΓ（τ－1M，Γ）?Ker f＝0?pro．dim（M）≤1．

（?。┯嗄＆覯＝0?M是內(nèi)射余模；

（ⅱ）余模τ－1N＝0?N是投射余模；

（ⅲ）如果M不是內(nèi)射余模，那么τM是不可分解的非投射余模，且τ－1τM ?M；

（ⅳ）如果N不是投射余模，那么τ－1N是不可分解的非內(nèi)射余模，且ττ－1N?N；

（ⅴ）如果M和N不是內(nèi)射余模，那么M?N?存在同構(gòu)τM?τN；

（ⅵ）如果M和N不是投射余模，那么M?N?存在同構(gòu)τ－1M?τ－1N．

證明 （?。│覯＝DTrM＝0?TrM＝0?M是內(nèi)射余模．

（ⅱ）τ－1M＝Tr（DM）＝0?DM是內(nèi)射余模?N是投射余模．

（ⅲ）M不是內(nèi)射的，那么TrM是不可分解的，從而D（TrM）＝τM是不可分解的．如果τM是投射的，那么τ－1（τM）?M＝0，矛盾．

（ⅳ）N不是投射余模，那么DN是不可分解的、非投射的Γop－余模［4］，從而τ－1N＝TrDN是不可分解、非內(nèi)射的Γ－余模．

（ⅴ）和（ⅵ）是顯然的結(jié)論．

推論2 Auslander－Reiten平移τ和τ－1確定了以下范疇等價(jià)

［1］ CHIN W，KLEINER M，QUINN D．Almost Split Sequence for Comodules［J］．J．Algebra，2002，249：1－19．

［2］ TAKEUCHI M．Morita Theorems for Categories of Comodules［J］．J．Fac．Sci．Univ．Tokyo，1977，24：629－644．

［3］ CUADRA J，TORRECILLAS G J．Idemoptents and Morita－Takeuchi Theory［J］．Comm．in Algebra，2002，30（5）：2 405－2 426．

［4］ LIN I－P．Semiperfect Coalgebra［J］．J．Algebra，1977，49：357－373．

［5］ ASSEM I，SIMSON D，SKOWRONSKI A．Elements of the Representation Theory of Associative Algebras［M］／／Techniques of Representation Theory．London Mathematical Society Student Texts 65，2006．

Auslander－Reiten Translations for Comodules

ZHU Jia－gui1，LI QI－sheng2，WEI Li－juan3
（1．Department of Mathematics，Chaohu College，Hefei 238000，China；2．School of Mathematics and Computer Science，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China；3．School of Mathematics，Hunan Institute of Science and Technology，Yueyang 414000，Hunan China）

LetΓbe a coalgebra over a field k．Further discussion of the functorτ＝DTr：is car－ried out，wheredenotes the full subcategory of MΓdetermined by the quasi－finitely copresented co－modules．IfΓis a semisimple coalgebra，it is proved that the functorτ：f．d．is a categories equivalence，whereis the injectively（projectively）stable category and f．d．is the full subcategory ofdetermined by the finite dimensional injective（projective）comodules．

coalgebra；comodule；transpose；translation

O153．3

A

10．3969／j．issn．1007－2985．2012．02．001

（責(zé)任編輯 向陽潔）

1007－2985（2012）02－0001－06

2012－01－07

湖南省教育廳重點(diǎn)科學(xué)研究項(xiàng)目（08A057）

祝家貴（1961－），男，安徽六安人，巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系教授，博士，主要從事同調(diào)代數(shù)、Hopf代數(shù)、代數(shù)表示論

研究；黎奇升（1964－），男，湖南桑植人，吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，博士，主要從事同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K－理

論、算子代數(shù)研究．