亞音速超空泡射彈尾拍動力學(xué)響應(yīng)分析

魏英杰，何乾坤，王 聰，曹 偉，張嘉鐘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

航行體在水下高速運動時，航行體表面附近的水因低壓而發(fā)生相變，產(chǎn)生空化現(xiàn)象。當(dāng)航行體的運動速度足夠高時，空泡將完全包裹航行體形成超空泡［1］。超空泡的存在將使水下航行體的摩擦阻力大幅減小，從而使水下射彈等小尺度水下航行體的速度提高到1 000m/s的量級［2］。當(dāng)超空泡射彈在水下高速運動時，任何小的擾動，如射彈在發(fā)射時的擾動及水下橫向擾流等，都會使射彈的尾部與空泡壁面發(fā)生連續(xù)反彈碰撞，即尾拍現(xiàn)象［3］。

近年來，高速超空泡射彈的尾拍現(xiàn)象引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并開展了一系列的數(shù)值研究工作。目前關(guān)于超空泡射彈的研究主要集中于超空泡的流體動力學(xué)特性以及超空泡射彈的彈道研究［4］，超空泡射彈結(jié)構(gòu)振動方面的研究不多。Ruzzene［5］基于射彈尾拍運動繞空化器轉(zhuǎn)動的假設(shè)，約束了空化器的平動位移，建立了超空泡航行體的尾部與空泡壁上下撞擊的力學(xué)模型，分析了在沖擊力作用下超空泡航行體的結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)。楊傳武［6－7］利用有限元軟件分析了超空泡航行體的固有特性，并計算了沖擊載荷作用與動態(tài)軸向載荷作用下超空泡航行體的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。張勁生［8－9］利用有限元軟件計算了超空泡射彈振動應(yīng)力應(yīng)變隨速度的變化規(guī)律。然而，以往的超空泡射彈尾拍文獻中確定空泡形態(tài)的經(jīng)驗公式均未考慮流體的可壓縮性。而實際超空泡射彈在水中運動的速度非常高，因此，水的可壓縮性是空泡形態(tài)的重要影響因素之一。

本文針對超空泡射彈在運動過程中的尾拍振動問題進行了研究，考慮了水的可壓縮性對空泡形態(tài)的影響，并基于流固耦合方法，推導(dǎo)了超空泡射彈在無約束條件下的振動方程，利用有限元法對振動方程進行求解，分析了亞音速下結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)隨馬赫數(shù)的變化關(guān)系。

1 亞音速可壓縮超空泡形態(tài)分析

超空泡射彈在水中以高速運動時，水的可壓縮性對空泡形態(tài)的影響必須予以考慮。超空泡射彈一般具有大長細(xì)比的特征，對此類細(xì)長形超空泡射彈，可以假定它引起的流場為小擾動，并采用細(xì)長體小擾動理論進行研究。

假設(shè)無窮遠(yuǎn)處來流三個方向的速度分量分別為:

密度、壓力分別為ρ∞、p∞，相應(yīng)的音速為c∞，則馬赫數(shù)

假定將一固體置于此均勻流場中，則物體會對基本流動進行擾動，并改變來流的速度場，受擾動的速度場可表達為:

其中，u，v，w為擾動速度分量?？紤]擾動速度與均勻流速度V相比是小量的情況:

對于旋轉(zhuǎn)體，擾流是軸對稱的，即所有子午面內(nèi)的流動情況相同。因此，描述該問題的速度勢滿足［10］:

圖1 Riabushinsky閉合方式示意圖Fig.1 The Riabouchinsky scheme for the cavitation flow

如圖1所示，假設(shè)小角度錐形空化器長l，空化器半徑Rn，空泡長度Lc，空泡最大直徑Rc，并令 L=2l+Lc。將細(xì)長體半徑R1(x)及空泡半徑R(x)寫成以下形式:

式中，ε=Rc/L。該邊界條件為:

伯努利方程滿足:

壓強p與密度ρ的關(guān)系由Tait方程描述［11］:

將上式代入式(7)后展開可得動力學(xué)邊界條件:

由小擾動理論，可將速度勢表達為:

式中，φ為擾動速度u，v，w的擾動速度勢，且當(dāng)r→∞時，φ=0。將式(10)代入式(9)，并略去ε4ln2ε的高階小量，可得:

對于細(xì)長體(如細(xì)長錐形射彈及其超空泡)來說，其速度勢可用對稱軸上連續(xù)分布的源匯來代替，滿足方程(4)的φ的解的形式可表達為:

式中，q(x)=S'(x)為源強分布密度，S(x)=πr2為細(xì)長體橫截面面積。

在對稱軸附近 φ(x，r)具有以下形式的漸進表達式［12－13］:

假定超空泡采用 Riabushinsky閉合方式，將式(13)代入式(11)可得空泡積分－微分方程:

上式滿足邊界條件:

取彈體小參數(shù)ε1=Rn/l，其中Rn為細(xì)長體底部界面半徑。對超空泡半徑和空化數(shù)按小參數(shù)ε1作攝動展開［14］:

一階展開近似解方程為:

方程(17)的解可表示成:

因此，可得空泡半徑一階解為:

若以圓錐空化器底面中心點為原點，則空泡輪廓可表達為:

不同馬赫數(shù)下，流體的可壓縮性對超空泡形態(tài)的影響有所不同。文中參考高速超空泡射彈相關(guān)專利頭型［15］，計算了半錐角 22.5°情況下的空泡形態(tài)。圖 2給出了Ma=0.674 4與Ma=0(不可壓縮)情況下的空泡形態(tài)對比，可以看出相對于不可壓縮流體來說，流體的可壓縮性使空泡最大半徑及空泡長度都有所增大。圖3給出了不同馬赫數(shù)對空泡形態(tài)的影響，可以看出空泡最大截面半徑Rk和空泡長度Lc隨著馬赫數(shù)的增大而增大。

圖2 不同馬赫數(shù)下空泡形態(tài)(Ma=0.674 4)Fig.2 Cavity profile(Ma=0.674 4)

圖3 馬赫數(shù)對空泡形態(tài)影響Fig.3 Effect of compressibility on supercavity profile in different Mach numbers

2 超空泡射彈尾拍過程動力學(xué)方程建立

超空泡射彈的尾拍運動實際上是一個流固耦合過程，即流體與結(jié)構(gòu)互相作用互相影響。本文將超空泡射彈簡化為歐拉－伯努利梁，假設(shè)超空泡關(guān)于軸線完全對稱，不考慮結(jié)構(gòu)振動對空泡形態(tài)的影響。將整個流固耦合系統(tǒng)分為流體動力學(xué)計算、剛體動力學(xué)計算和結(jié)構(gòu)動力學(xué)計算三個子系統(tǒng)(如圖4)，利用交錯迭代法計算，各個系統(tǒng)數(shù)據(jù)計算實時傳遞。流體動力學(xué)模塊主要計算流體動力學(xué)載荷;剛體動力學(xué)模塊主要計算結(jié)構(gòu)做剛體運動時的位移、速度、轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)動角速度;結(jié)構(gòu)動力學(xué)模塊主要計算結(jié)構(gòu)做彈性振動時的撓度等。流固耦合作用主要體現(xiàn)在流體載荷和結(jié)構(gòu)彈性振動的撓度耦合。

圖4 流固耦合迭代流程圖Fig.4 Flowchart of FSI simulation

2.1 流體動力學(xué)載荷計算

假設(shè)射彈在水中以速度V在鉛垂平面內(nèi)運動，超空泡射彈在航行過程中受力包括:空化器受到的阻力FD，尾拍作用的升力RL、阻力RD。

圖5 超空泡射彈變形及受力示意圖Fig.5 Forces applied to the supercavitating projectile

空化器阻力可表達為:

式中，A為空化器截面面積;V為射彈速度;CD為阻力系數(shù)［16］。

圖6 動量傳遞示意圖Fig.6 Momentum transfer

尾拍作用的升力RL、阻力RD可以根據(jù)動量守恒求出。水相對于結(jié)構(gòu)的速度為，假設(shè)結(jié)構(gòu)撞水時，在dt時間里使質(zhì)量為dm來流的動量發(fā)生改變，dm=ρA1Vdt。根據(jù)牛頓第三定律，水將受到與RL、RD大小相等方向相反的力，我們將其定義為和，在該力的作用下將使水的動量發(fā)生改變。不考慮結(jié)構(gòu)的速度在碰撞過程中的速度損失，因此質(zhì)量為dm的水相對結(jié)構(gòu)的速度大小沒有改變，只是方向發(fā)生了改變。由圖6速度矢量合成圖可以發(fā)現(xiàn),改變了邊界層水的流向，該部分動量改變量為dmVL,方向與 方向相同使水在來流方向的動量發(fā)生了損失，該部分動量改變

量為dm(V－Vt),方向與 方向相反。因此可得:

由:

因此結(jié)構(gòu)發(fā)生尾拍時所受阻力和升力可表達為:

式中:θ為彈體軸線和空泡軸線之間的夾角;A1=λδd為射彈尾部浸入液體邊界層的特征面積，λ=0.5為經(jīng)驗常數(shù);δ為射彈尾部浸入液體的深度［17］。

圖5給出了尾拍浸水深度與結(jié)構(gòu)變形示意圖。圖中δ為實際浸水深度，δr為不考慮結(jié)構(gòu)變形的浸水深度，q為結(jié)構(gòu)變形。從圖中可以觀察到，如果不考慮流體與結(jié)構(gòu)之間的相互作用，則δ=δr;若考慮了流體與結(jié)構(gòu)之間的相互作用，則δ=δr－q。

2.2 射彈剛體動力學(xué)模型建立

當(dāng)射彈尾部完成撞擊并反彈進入空泡內(nèi)部，根據(jù)動量矩守恒可知，射彈在該階段的動力學(xué)方程可以表達為:

其中:Mz=－RDasinθ－RLacosθ，和分別為撞擊前后航行體角速度，Iz為射彈轉(zhuǎn)動慣量，a為尾拍力作用點距質(zhì)心距離，τ為完成一次尾拍需要的時間。Rand［17］給出了尾拍半周期τ的近似表達式:

2.3 射彈結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型建立

假設(shè)超空泡射彈在平面內(nèi)發(fā)生尾拍運動，由于射彈在水中被超空泡完全包裹，沒有固定邊界約束作用，射彈的振動方程可寫為:

式中:q為射彈的結(jié)構(gòu)位移，［M］、［C］、［K］分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度，{F}為系統(tǒng)所受外力。當(dāng)射彈不受外力作用，即{F}=0時，可以求解出系統(tǒng)的固有頻率{ω}和主振型{Φ}，文中截取了系統(tǒng)的前17階模態(tài)。由于系統(tǒng)沒有固定邊界約束，因此系統(tǒng)具有剛體運動，系統(tǒng)的前2階模態(tài)為固有頻率等于0的剛體模態(tài)，分別對應(yīng)系統(tǒng)在平面內(nèi)兩個自由度的剛體位移，系統(tǒng)的后15階模態(tài)為彈性振動模態(tài)。根據(jù)模態(tài)疊加法，引入模態(tài)坐標(biāo){ξ}，對方程(1)實行坐標(biāo)變換并左乘{(lán)Φ}T，得:

由于系統(tǒng)前兩階固有頻率ω1=ω2=0，根據(jù)主振型的正交性，系統(tǒng)矩陣可寫做:

方程(31)可以分解為:

因此，方程(32)為系統(tǒng)的剛體運動方程，方程(33)為系統(tǒng)的彈性振動方程。

3 可壓縮性對超空泡射彈尾拍動力學(xué)的響應(yīng)影響

超空泡射彈在水下以高速運動，水的可壓縮性會對超空泡射彈尾拍運動產(chǎn)生影響?；诘?節(jié)得出的可壓縮超空泡形態(tài)，并結(jié)合第2節(jié)受力分析和動力學(xué)方程，計算了流體的可壓縮性對超空泡射彈尾拍動力學(xué)響應(yīng)的影響，計算中考慮了流固耦合作用。超空泡射彈尺寸及屬性參數(shù)見表1。

圖7和圖8分別給出了流體可壓縮性對超空泡射彈剛體轉(zhuǎn)角和尾拍力的影響(Ma=0.534)。由于流體可壓縮性使超空泡射彈的空泡輪廓增大，因此射彈剛體轉(zhuǎn)角幅值有所增大，且射彈兩次尾拍之間的時間間隔也有所增大;根據(jù)公式(27)可知，射彈尾拍半周期τ減小，但由圖8可以看出τ的減小量可以忽略，因此流體的可壓縮性使結(jié)構(gòu)剛體轉(zhuǎn)動的周期T增大。由于流體可壓縮性使射彈剛體轉(zhuǎn)角增大，因此根據(jù)公式(24)可知，尾拍升力RL的幅值變大，阻力RD的幅值變小。而且，由于流固耦合作用，使尾拍力變得不光滑。

圖9給出了流體可壓縮性對超空泡射彈尾部點彈性位移響應(yīng)的影響(Ma=0.534)。由于流體的可壓縮性使尾拍力幅值的變大，因此在該作用力下結(jié)構(gòu)在尾拍期間的彈性位移響應(yīng)幅值增大，但尾拍結(jié)束后，結(jié)構(gòu)在空泡內(nèi)的振動幾乎不受流體可壓縮性的影響。

圖10 不同馬赫數(shù)下結(jié)構(gòu)振動最大幅值比較Fig.10 Maximum deflections at different Mach numbers

圖10給出了不同馬赫數(shù)下結(jié)構(gòu)尾部彈性位移響應(yīng)幅值變化，從圖中可以看出:Ma＜0.3時，流體可壓縮性對結(jié)構(gòu)尾部彈性位移響應(yīng)影響很小，因此可以將流體考慮成不可壓縮流進行計算;Ma≥0.3時，流體的可壓縮性對結(jié)構(gòu)尾部彈性位移響應(yīng)的影響隨馬赫數(shù)的增大而逐漸增大，尤其是Ma≥0.6時，增大效果更加明顯;結(jié)合圖3還可以看出，流體可壓縮性對結(jié)構(gòu)彈性位移的影響與其對空泡形態(tài)的影響相吻合。

4 結(jié)論

本文通過求解無約束超空泡射彈的耦合動力學(xué)方程，對可壓縮流體中的射彈尾拍結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)進行了研究，通過分析得到以下幾點結(jié)論:

(1)流體的可壓縮性使超空泡射彈剛體轉(zhuǎn)動的周期和幅值增大;使尾拍升力幅值增大，阻力幅值減小。

(2)流體的可壓縮性使結(jié)構(gòu)尾部在尾拍期間的彈性位移響應(yīng)幅值增大，但尾拍結(jié)束后，結(jié)構(gòu)在空泡內(nèi)的振動幾乎不受流體可壓縮性的影響。

(3)當(dāng)Ma＜0.3時，流體可壓縮性對結(jié)構(gòu)彈性位移響應(yīng)影響很小，且該影響隨馬赫數(shù)的增大而逐漸增大，尤其是Ma＞0.6時，增大效果更加明顯。

［1］ 呂志民，申 超，陳永奎.超空泡射彈技術(shù)探討［J］.艦船科學(xué)技術(shù)，2007，29(1):92－94.Lü Zhi－min，SHEN Chao，CHEN Yong－kui.The research of supercavitation projectile technology［J］.Ship Science and Technology，2007，29(1):92－94.

［2］ Savchenko Y N.Control of supercavitation flow and stability of supercavitating motion of bodies［C］.VKI Special Course on Supercavitating Flows.Brussels:Rto2avt and vki，2001:313－341.

［3］ 孟慶昌，張志宏，顧建農(nóng)，等.超空泡射彈尾拍分析與計算［J］，爆炸與沖擊，2009，29(1):56－60.MENG Qing－chang，ZHANG Zhi－h(huán)ong，GU Jian－nong，et al.Analysis and calculation for tail－slaps of supercavitating projectiles［J］.Explosion and Shock Waves，2009，29(1):56－60.

［4］ Kulkarni S S，Pratap R.Studies on the dynamics of a supercavitating projectile［J］. Applied Mathematical Modeling，2000，24:113－129.

［5］ Ruzzene M，Soranna F.Impact dynamics of elastic stiffened supercavitating underwater vehicles［J］.Journal of Vibration and Control，2004，10:243－267.

［6］ 楊傳武，王安穩(wěn).沖擊載荷作用下超空泡水下航行體的結(jié)構(gòu)響應(yīng)［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，36(7):129－132.YANG Chuan－wu，WANG An－wen.Structural response of supercavitating underwater vehicles subjected to impact loads［J］.Huazhong Univ.of Sci.＆ Tech.(Natural Science Edition)，2008，36(7):129－132.

［7］ 楊傳武，王安穩(wěn).動態(tài)軸向載荷對超空泡航行體振動特性的影響［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，36(12):71－74.YANG Chuan－wu，WANG An－wen.Influence of dynamic axial loads on the vibration characteristics of supercavitation underwater vehicle［J］.Huazhong Univ.of Sci.＆ Tech.(Natural Science Edition)，2008，36(12):71－74.

［8］ 張勁生，張嘉鐘，魏英杰，等.超空泡水下航行體的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2010，36(4):411－414.ZHANG Jin－sheng，ZHANG Jia－zhong，WEI Ying－jie，et al.Structural dynamic response characteristics of supercavitating underwater vehicles［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2010，36(4):411－414.

［9］ Zhang J Z，Zhang J S，Wei Y J.Simulation of tail－slap loads ofsupercavitating projectiles［C］. Third International Conference on Information and Computing，Jiangnan:IEEE，2010:163－166.

［10］ Vasin A D.Supercavities in compressible fluid［Z］.VKI/RTO Lecture Series on Supercavitating Flows，Von Karman Institute for Fluid Dynamics.Brussels，Belgium，2001.

［11］ Zamyshlyaev B V， YakovlevY S. Dynamicloadsin underwater explosions［M］.Sudostroenie，Leningrad，1967.

［12］ Frankl F I，Karpovich E A.Gas dynamics of slender bodies［M］.Gostekhizdat，Moscow，1948.

［13］ Ashley H，Landahl M T.Aerodynamics of wings and bodies［M］.Addison Wesley，Massachusetts，1965.

［14］ Serebryakov V V. Some models of prediction of supercavitation flows based on slender body approximation［C］.Cav2001:session B3.001:1－13.

［15］ Castano J M，Kuklinski R.High－speed supercavitating underwater vehicle［P］.United States:US 6739266 B，2004－05－25.

［16］ May A.Water entry and the cavity－running behavior of missiles［R］.Maryland:NTIS，1975.

［17］ Rand R，Pratap R，Ramani D，et al.Impact dynamics of a supercavitating underwater projectile［C］.Proceedings of DETC'97.California:ASME，1997:1－11.

［18］ Mukhopadhyay M.Vibrations dynamics and structural systems(2nd ed)［M］.Rotterdam:A.A.Balkema Publishers，2000.246－247.