三維振動里茲法在變幅桿諧振特性分析中的應用研究

秦慧斌，呂 明，王時英，李向鵬

(1.太原理工大學 機械工程學院，太原 030024;2.中北大學 機械工程與自動化學院，太原 030051)

超聲加工能降低切削抗力、減少表面硬化，改善工件表面質(zhì)量，提高刀具壽命和加工效率［1］，已廣泛應用于脆硬材料如:陶瓷、玻璃、鈦合金、淬火鋼等的車、銑、磨、珩磨、鉆削加工。在超聲加工中，超聲振動系統(tǒng)一般由超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿以及加工工具或工件等組成，是超聲加工工藝系統(tǒng)的核心部件;振動系統(tǒng)性能直接影響著超聲加工質(zhì)量。超聲振動系統(tǒng)中變幅桿的主要作用是把機械振動的質(zhì)點位移或速度放大，或者將超聲能量聚集在較小面積上。變幅桿的設(shè)計能否實現(xiàn)超聲振動系統(tǒng)的諧振是振動系統(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵。目前，超聲加工技術(shù)中所應用變幅桿的設(shè)計是從一維變截面桿的運動方程出發(fā)忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對振動的影響［2］，其工程應用局限于變幅桿橫向尺寸小于1/4縱波長。

中小模數(shù)齒輪超聲加工中，加工分度圓小于100 mm，厚徑比大于0.3的齒輪(齒輪軸)適宜利用縱－縱(扭)振動方式設(shè)計振動系統(tǒng);分度圓直徑大于100 mm，且厚徑比小于0.2的齒輪，適宜利用縱－彎振動方式設(shè)計振動系統(tǒng)進行超聲滾齒、剃齒、珩齒加工。由于齒輪加工機床傳動鏈的復雜性和精確性，超聲振動大都加在工件齒輪上，變幅桿的另一作用作為齒輪超聲加工的夾持芯軸［3－4］。變幅桿的截面寸已超出1/4波長，已不能利用一維振動理論進行設(shè)計。

文獻［5］基于瑞利近似理論假設(shè)，采用能量修正法對大尺寸變幅桿進行了頻率修正，此方法適用于變幅桿截面尺寸小于1/2波長，可以滿足工程上的精度要求，但只研究了變幅桿的縱向振動，沒有涉及變幅桿的彎曲及扭轉(zhuǎn)振動。在鐵摩辛柯理論下，等截面梁的彎曲振動解已求出，變截面變幅桿的分析比較復雜，很難得到解析解［6］。

里茲法是一種無網(wǎng)格劃分的數(shù)值求解方法，它將數(shù)理方程求解變成定積分運算和代數(shù)方程組求解，具有簡易性，適應于編制程序和計算機計算。隨著計算機性能和分析程序的高效化，越來越多的學者基于三維彈性振動里茲法對桿、梁、盤或板的振動分析進行了研究。文獻［7－8］基于三維彈性振動理論，采用能量變分法研究了線性、二次、三次方程截面形狀的梁以及中心帶孔的圓錐梁的振動特性，并對多項式函數(shù)的收斂性進行了深入計算分析;文獻［9］采用三維彈性振動理論和里茲能量變分法研究了均勻截面，不同長徑比圓柱的橫向振動和板的彎曲振動，并與一維歐拉－伯努利、鐵摩辛柯、有限單元法的求解結(jié)果進行了對比分析。

本文基于三維彈性振動理論，采用能量變分里茲法統(tǒng)一變幅桿的扭轉(zhuǎn)、縱向、彎曲振動的求解方法，并計算不同長徑比、不同面積系數(shù)圓截面變幅桿的固有頻率。對大、中、小圓截面指數(shù)形變幅桿的諧振頻率，從一維歐拉－伯努利振動求解理論、三維振動里茲法、有限單元法、模態(tài)實驗角度進行對比分析，為大功率超聲振動加工領(lǐng)域的大截面變幅桿設(shè)計提供了一種有效設(shè)計方法。

1 變幅桿的三維彈性振動里茲法求解原理

1.1 變幅桿振動分析模型與動力學公式

帶有圓形變截面的變幅桿，左端z=0半徑為R1，右端z=L處截面半徑為R2，L為變幅桿的長度，θ為周向角度，圓柱面坐標系見圖1。變幅桿各坐標取值范圍如下:

圖1柱面坐標系(r，θ，z)，變幅桿在振動時，有沿坐標軸的三個位移分量 ur，uθ，uz;六個應變分量 εr，εθ，εz，γrθ，γθz，γzr;六個應力分量 σr，σθ，σz，τrθ，τθz，τrz。這15個未知數(shù)將滿足由三維動力學運動方程式(2)、物理方程式(3)、幾何方程式(5)組成的15個方程［10］。其中三維動力學運動方程為:

圖1 圓截面變幅桿(r，θ，z)柱面坐標系Fig.1 A representative horn having circular cross－section and the cylindrical coordinate system(r，θ，z)

對于各向同性線彈性材料，應力、應變滿足物理方程:

其中:e=εr+εθ+εz為體積應變，ν為泊松比，G 為剪切彈性模量，G與ν二者存在關(guān)系:

位移分量和應變分量滿足以下幾何方程:

將式(3)，式(5)代入式(2)，可求得關(guān)于未知變量ur，uθ，uz的二階變系數(shù)偏微分方程，一般情況下理論求解十分困難，可以采用能量變分數(shù)值法求解［7］。

當r=0時，1/r會出現(xiàn)奇異值，將式中r的取值范圍由0≤r≤R(z)調(diào)整為0＜r≤R(z)。

振動變形體，因受力發(fā)生形變，內(nèi)部產(chǎn)生應變和應力，此時體內(nèi)具有彈性形變勢能。其整個區(qū)域內(nèi)應變勢能V如下:

將式(3)，式(5)代入式(6)可求得用應變表示的應變能。

動能表達式如下:

為了簡化公式推導與設(shè)計計算，將r，z坐標轉(zhuǎn)化為無量綱坐標，令Ψ=r/(R1+R2)，ζ=z/L，圓柱柱面坐標值范圍如下:

圓錐變幅桿、圓截面指數(shù)形、懸鏈形變幅桿δ(ζ)分別為:

其中:N=R1/R2為面積系數(shù)，對應的變幅桿配置模型如圖2所示。

1.2 振幅

對于不計阻尼的非均勻圓截面變幅桿自由振動，其彎曲、扭轉(zhuǎn)、縱向振動的振幅分別可由下式表示［7］:

彎曲振動的振幅:

扭轉(zhuǎn)振動的振幅:

縱向振動的振幅:

式中:Ur，Uθ和Uz是ψ和ζ的位移函數(shù)，ω為圓頻率，φ是由初始條件所確定的角位移。n為圓波數(shù)，以θ為周期，式(11)中 n=(1，2，3，…，∞)，式(12)、(13)中 n=0。

1.3 應變勢能

分別將式(11)、(12)、(13)代入式(5)后，再代入式(7)，可以得到變幅桿縱向、彎曲振動的一個振動周期內(nèi)的最大應變勢能為:

n=0為縱向振動最大應變勢能公式，n≥1為彎曲振動最大應變勢能公式。

其中:

扭轉(zhuǎn)振動的一個振動周期內(nèi)的最大應變勢能為:

其中:

1.4 動能

分別將式(11)、(12)、(13)代入式(5)后，再代入式(8)，可以得到變幅桿彎曲、縱向振動的一個振動周期內(nèi)的最大動能表達式:

其中:n≥1為彎曲振動最大動能公式，n=0為縱向振動最大動能公式。扭轉(zhuǎn)振動的一個振動周期內(nèi)的最大動能表達式為:

式(14)～式(17)中C1和C2是常數(shù)，由下式確定:

1.5 振型函數(shù)

設(shè)式(11)～ 式(13)中的 Ur，Uθ，Uz的振型函數(shù)表達式為:

式中:i，j，k，l，m，n 取正整數(shù)，I，J，K，L，M，N 為計算所需級數(shù)的最大值。Aij，Bkl，Cmn為級數(shù)相應系數(shù)，λr，λθ，λz為影響因數(shù)，其值由變幅桿的邊界條件確定:

(1)兩端自由振動時λr=λθ=λz=1;

(2)左端固定其余邊界自由時λr=λθ=λz=ζ;

(3)右端固定其余邊界自由時λr=λθ=λz=ζ－1;

(4)兩端都固定時 λr=λθ=λz=ζ(ζ－1)。

隨著級數(shù)項數(shù)的增加，級數(shù)函數(shù)包含了變幅桿所有的三維振動形態(tài)。式(18)將會收斂于理論解。

1.6 特征值方程的求解

應用哈密爾頓原理得:

式(19)產(chǎn)生了(I+1)(J+1)+(K+1)(L+1)+(M+1)(N+1)個，以 Aij，Bkl，Cmn為未知系數(shù)的頻率方程式為:

也即變幅桿的頻率方程，若確定變幅桿的工作頻率可由此方程解得變幅桿的設(shè)計參數(shù)，若已知變幅桿的尺寸參數(shù)則可以解得其諧振頻率。K，M分別為彈性剛度矩陣和質(zhì)量剛度矩陣。Ω為特征值。振型系數(shù)向量由式(21)確定。要取得非零解，系數(shù)矩陣行列式值應為零，由此可求得變幅桿的固有頻率ω。所求得的頻率特征值是理論精確值的上限;把ω代入式(20)，求出系數(shù)Aij和Bkl，Cmn，進而可以求得每一頻率對應的振型、變幅桿的位移節(jié)點、放大系數(shù)、形狀因數(shù)等性能參數(shù)。

2 變幅桿固有圓頻率的計算分析

利用Matlab7.1編程，三維振動里茲法所求得不同長徑比、不同面積系數(shù)圓錐形、圓截面指數(shù)形和懸鏈形變幅桿的扭轉(zhuǎn)、縱向、彎曲自由振動第一階非零無量綱固有圓頻率(以ωL表示)如表1，2，3 所示。其中泊松比ν=0.3，δ為變幅桿長徑比，δ=L/(R1+R2);N為面積系數(shù)，N=R1/R2。I=J=K=L=M=N=4，計算機硬件配置內(nèi)存2X1024M RAM，處理器為Intel(R)Core(TM)i3－2330M CPU。0T表示n=0變幅桿扭轉(zhuǎn)振動，0L表示n=0變幅桿縱向振動，1B表示n=1的變幅桿彎曲振動。

表1 圓錐形變幅桿自由振動第一階固有頻率表Tab.1 The first inherent frequencies of conical horns for free vibration

表2 圓截面指數(shù)形變幅桿自由振動第一階固有頻率表Tab.2 The first inherent frequencies of exponential horns having circular-section for free vibration

表3 懸鏈形變幅桿自由振動第一階固有頻率表Tab.3 The first inherent frequencies of catenary horns having circular-section for free vibration

表4 圓截面變幅桿第一階自由縱向振動求解及偏差對比表Tab.4 Comparison of non-dimensional frequencies of horns with circular cross-section for the first longitudinal vibration

表4為面積系數(shù) N=4，長徑比 δ分別取2，3，4，5的圓錐、指數(shù)、懸鏈形變幅桿的縱向振動第一階非零無量綱固有圓頻率(以ωL表示)與偏差對照表。1DB表示一維振動歐拉－伯努利計算方法，3DR表示三維振動里茲法，F(xiàn)EM表示有限單元法。FEM偏差率，3DR偏差率3DRDiff(%)從表4偏差計算結(jié)果橫向比較表明:隨著δ的增大，F(xiàn)EM求解偏差逐漸增小;3DR求解偏差逐漸增大，但都小于5%;3DR和FEM的求解精度相當?？v向比較表明:δ=2，3時，3DR比FEM的求解偏差小，說明在求解大截面變幅桿的縱向振動頻率時3DR比FEM更具有求解優(yōu)勢。

3 大中小截面指數(shù)形變幅桿模態(tài)實驗

為了驗證變幅桿橫向截面大小對縱向振動的影響，根據(jù)實驗室的YP－5520－4Z柱型超聲波換能器，設(shè)計變幅桿的工作頻率為20 kHz。根據(jù)半波長圓截面指數(shù)桿的一維振動設(shè)計理論，設(shè)計了面積系數(shù)為2.9，長度為137.3 mm的三組截面不同的變幅桿。大端直徑 D1分別為 58，97，116 mm;小端直徑 D2分別為 20，30，40 mm，材料為45#鋼。采用 MasterCAM9.0 軟件對指數(shù)形變幅桿自動編程，在FTC－20數(shù)控車床上加工出的三個指數(shù)形變幅桿如下圖3所示。為了使加速度傳感器磁座與變幅桿充分吸合，分別在變幅桿大端、距大端截面100 mm處兩周分別銑出四個小平面。

采用一點激勵多點響應的錘擊測試方法測試了大、中、小指數(shù)型變幅桿的第一階彎曲扭轉(zhuǎn)、縱向自由振動固有頻率和振型。變幅桿的錘擊脈沖激振測試系統(tǒng)如圖4所示，實驗中將變幅桿用繩子懸掛起來，以模擬自由狀態(tài)。采用INV3020D數(shù)據(jù)采集儀25通道，進行1個通道激勵、24個并行響應通道的頻響函數(shù)測量;力錘手柄傳感器一端連接到數(shù)據(jù)采集儀上，數(shù)據(jù)采集儀通過網(wǎng)線連接到裝有DASP(Data Acquisition＆Signal Processing)Coinv DASPV10.0軟件的筆記本上，接線圖如上圖5所示。8個三維加速度傳感器(型號DYTRAN3263M8)，四個一組分別沿變幅桿大端、小端圓周陣列布置，通過磁座與變幅桿預先加工的小平面吸合。加速度數(shù)據(jù)連接線連接到數(shù)據(jù)采集儀上。實驗時，限制采樣頻率的范圍為1 kH～22 kHz，通過在DASPV10.0軟件中輸入變幅桿坐標點建立分析模型，使用力錘在距離變幅桿大端100 mm截面(振幅最大處)外側(cè)進行多次錘擊，經(jīng)DASPV10.0軟件讀取相應數(shù)據(jù)，平均，分析處理，讀取記錄相應諧振頻率和振型。依據(jù)扭轉(zhuǎn)、縱向典型振型，確定相應的諧振頻率見表5。

4 諧振頻率數(shù)據(jù)對比分析

利用有限元分析軟件Ansys12.0，45#鋼材料特性參數(shù)彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，縱波聲速為C=5 200 m/s，密度ρ=7 800kg/m3。所選擇的分析單元類型為20節(jié)點的solid95，4水平智能劃分網(wǎng)格，擴展模態(tài)30階，頻率范圍為0～30 000 Hz，所求得的變幅桿固有頻率見表5。

表5中D1為指數(shù)形變幅桿大端直徑，D2為變幅桿小端直徑，L為變幅桿長度。f1為一維歐拉－伯努利方法求得的頻率，f3為三維彈性振動能量變分原理求得的頻率，fA為有限元Ansys12.0求得的頻率，fT為變幅桿加工后錘擊激勵模態(tài)實驗所測得的頻率。0T表示n=0指數(shù)形變幅桿扭轉(zhuǎn)振動，0L表示縱向振動;1B表示n=1指數(shù)形變幅桿彎曲振動。隨著指數(shù)形變幅桿截面增大，一維振動求解理論誤差越來越大，當截面尺寸接近1/2波長時，求解誤差接近或超過5%;而三維振動里茲法的求解結(jié)果與Ansys12.0的求解結(jié)果水平相當;錘擊激勵模態(tài)實驗與Ansys12.0的求解結(jié)果一致性很好，表明實驗數(shù)據(jù)可靠。

表5 大中小指數(shù)形變幅桿諧振頻率不同求解理論方法的數(shù)據(jù)對比Tab.5 Comparison of the first inherent frequencies in form1DB、3DR、FEA and modal experiment methods of exponential horns with different circular cross-sections

5 結(jié)論

(1)三維彈性振動里茲法統(tǒng)一了非均勻圓截面變幅桿縱向、扭轉(zhuǎn)、彎曲振動的頻率方程求解方法，為其他截面變幅桿的振動求解提供了一種數(shù)值求解方法;

(2)推導計算了單一變幅桿的扭轉(zhuǎn)、縱向、彎曲振動的無量綱圓頻率。計算表明，三維彈性振動里茲法在大截面、短粗變幅桿的求解中比一維歐拉－伯努利振動求解理論更精確，與有限單元法有同樣的求解精確性;

(3)在設(shè)計非均勻圓截面變幅桿時，只需要帶入材料特性參數(shù)E，ρ，ν和長度參數(shù)L，即可求得諧振頻率;并可方便對不同長徑比、不同階次高頻變幅桿的對比研究分析，無需Ansys在分析不同對象模型時所需的重復前處理步驟;

(4)可方便形成半解析半數(shù)值求解方法，利于編程實現(xiàn)振動系統(tǒng)的參數(shù)化變型系列設(shè)計，可以提高設(shè)計效率，開發(fā)功率超聲計算機輔助設(shè)計系統(tǒng)。

［1］ Breh D E，Dow T A.Review of vibration－assisted machining［J］.Precision Engineering，2008，32(3):153－ 172.

［2］ 賀西平，高 潔.超聲變幅桿設(shè)計方法研究［J］.聲學技術(shù)，2006，25(1):82－86.HE Xi－ping，GAO Jie.A review of ultrasonic solid horn design［J］.Technical Acoustics，2006，25(1):82－86.

［3］ 呂 明，王時英，軋 剛.超聲珩齒彎曲振動變幅器的位移特性［J］.機械工程學報，2008，44(7):106－111.Lü Ming， WANG Shi－ying，YA Gang. Displacement characteristics of transverse vibratory disc transformer in ultrasonic gear honing［J］. Journal of Mechanical Engineering，2008，44(7):106－111.

［4］ 王時英，呂 明，軋 剛.超聲珩齒指數(shù)型變幅器的動力學特性［J］.機械工程學報，2007，43(6):190－193.WANG Shi－ying，Lü Ming，YA Gang.Dynamical characteristics of exponential transformer in gear honing［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2007，43(6):190－193.

［5］ 張鵬利，付志強，林書玉.懸鏈線形超聲變幅桿共振頻率的瑞利修正［J］.陜西師范大學學報，2009，37(5):35－37，41.ZHANG Peng－li，F(xiàn)U Zhi－qiang，LIN Shu－yu.Rayleigh modification on resonance frequency of catenary horn［J］.Journal of Shaanxi Normal University，2009，37(5):35－37，41.

［6］ Zhou G P，Li M X.A study on ultrasonic solid horns for flexural mode［J］.J.Acoust.Soc.Am，2000，107(3):1358－1362.

［7］ Kanga J H，Leissa A W.Three－dimensional vibration analysis of thick，tapered rods and beams with circular cross－section［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2004，46(6):929－944.

［8］ Kanga J H，Leissa A W.Three－dimensional vibrations of solid cones with and without an axial circular cylindrical hole［J］.International Journal of Solids and Structures，2004，41(14):3735－3746.

［9］ Bayǒn A，Gascǒn F，Medina R.et al.Study of pure transverse motion in free cylinders and plates in flexural vibration by Ritz's method［J］.European Journal of Mechanics A/Solids，2011，30(3):423－431.

［10］ 曹志遠.板殼振動理論［M］.北京:中國鐵道出版社，1989:4－8.