含參量x的無(wú)界反常積分

李志廣

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

含參量x的無(wú)界反常積分

李志廣

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

現(xiàn)行教材中對(duì)于含參量x的無(wú)界反常積分，僅僅給出了定義，對(duì)此進(jìn)一步探究，給出了其一致收斂的判別法。

無(wú)界；反常積分；一致收斂

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)f（x，y）在區(qū)域R＝［a，b］×［c，d）上有定義，若對(duì)x的某些值，y=d為函數(shù)f（x，y）的瑕點(diǎn)，則稱

為含參量x的無(wú)界函數(shù)反常積分，或簡(jiǎn)稱為含參量反常積分。若對(duì)每一個(gè)x∈［a，b］積分（1）都收斂，則其積分值是x在［a，b］上取值的函數(shù)。

定義2 對(duì)任給正數(shù)ε＞0某正數(shù)δ＜d-c，使得當(dāng)0＜η＜δ時(shí)，對(duì)一切x∈［a，b］，都有

則稱含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂。

2 一致收斂的判定定理

定理1 含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂的充分必要條件是：對(duì)任給正數(shù)ε，總存在某正數(shù)0＜δ＜d-c，當(dāng)0＜η1＜δ，0＜η2＜δ時(shí)，對(duì)于?x∈［a，b］有，

（充分性）對(duì)任給正數(shù)ε＞0，存在正數(shù)δ＜d-c，當(dāng)0＜η1＜δ，0＜η2＜δ時(shí)，對(duì)?x∈［a，b］有：

當(dāng)η2→0時(shí)，有：

定理2 含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂的充要條件是：對(duì)任一趨于d的遞增數(shù)列｛An｝（其中A1＝c），函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

在［a，b］上一致收斂。

證明（必要性）由（1）在［a，b］上一致收斂，故對(duì)任給ε＞0，必存在δ∈（0，d-c），對(duì)于0＜η＜δ，使得當(dāng)A″＞A′，且A″，A′∈（d-η，d）時(shí)，對(duì)一切x∈［a，b］，總有

又由An→d（n→∞），所以對(duì)正數(shù)δ，存在正整數(shù)Ν，只需m＞n＞N時(shí)，就有Am＞An＞d-η，由（3）知，對(duì)一切x∈［a，b］，就有

這就證明了級(jí)數(shù)（2）在［a，b］上一致收斂。

（充分性）用反證法。假設(shè)（1）在［a，b］上不一致收斂，則存在某個(gè)正數(shù)ε0，使得對(duì)于任何實(shí)數(shù)0＜δ＜d-c，存在相應(yīng)的d-δ＜A′＜A″＜d和x′∈［a，b］，使得

現(xiàn)在取δ＝min｛1，d-c｝，則存在d-δ＜A1＜A2＜d，以及x1∈［a，b］，使得

這與級(jí)數(shù)（2）在［a，b］上一致收斂的假設(shè)矛盾，故含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂。

3 一致收斂的判別法

判別法2 設(shè)

（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)c＜N＜d，含參量正常積分

對(duì)參量x在［a，b］上一致有界，即存在正數(shù)M，對(duì)一切c＜N＜d，以及一切x∈［a，b］，都有

又因?yàn)閷?duì)每一個(gè)x∈［a，b］，函數(shù)g（x，y）關(guān)于y是單調(diào)遞減且y→d時(shí)，對(duì)參數(shù)x，g（x，y）一致地收斂于0，故存在某一正數(shù)0＜δ＜d-c，使得對(duì)于一切d-δ＜u1＜u2＜d，都有，

由上述可知，取M＝max｛N，d-c｝，對(duì)于一切M＜u1＜u2＜d，都有，

判別法3 設(shè)

［1］張振祺.含參量反常積分局部一致收斂的判別法［J］.榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，12（6）：13-18.

［2］王建英.含參量非正常積分的局部一致收斂［J］.集寧師專學(xué)報(bào)，2008，22（4）：45-47.

［3］黃慧，陳輝.含參量無(wú)窮限反常積分的一致收斂性［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2011，2（1）：7-10.

［4］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［5］陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［6］高建平，劉聲，張蕊.反常積分收斂判別法［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010，19（9）：23-31.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Unbounded Improper Integral with Parameter

LI Zhi-guang
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In current textbooks for unbounded improper integral with parameter，only definitions are given，in this article，on further inquiry，its uniform convergence criterion is given.

unbounded；improper integral；uniform convergence

O172.2

A

1674-0874（2012）05-0010-02

2012-03-15

李志廣（1979-），男，河北陽(yáng)原人，碩士，講師，研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng)。