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    一維非齊次波動(dòng)方程的求解方法

    2012-09-12 04:11:04張子珍
    關(guān)鍵詞:沖量格林邊界條件

    張子珍,林 海

    (山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009)

    一維非齊次波動(dòng)方程的求解方法

    張子珍,林 海

    (山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009)

    非齊次偏微分方程是數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)中的難點(diǎn),本文以一維非齊次波動(dòng)方程為例,提出各種不同的解法,以便對(duì)教學(xué)起到促進(jìn)作用。

    偏微分方程;分離變量法;沖量法;拉普拉斯變換法;付立葉變換法;格林函數(shù)法

    在偏微分方程的教學(xué)中,非齊次方程的求解是教學(xué)中的難點(diǎn),尤其是邊界條件不同,如混合問(wèn)題或哥西問(wèn)題[1]處理方法則靈活多樣,這給學(xué)生造成一定的困難。為此,本文對(duì)一維非齊次方程的求解方法進(jìn)行歸類(lèi),以便對(duì)該問(wèn)題有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)。

    1 混合問(wèn)題的求解

    混合問(wèn)題,是指既有初始條件又有邊界條件?,F(xiàn)以非齊次波動(dòng)方程為例,來(lái)討論混合問(wèn)題的求解方法。假設(shè)邊界條件是齊次的,因?yàn)槿绻吔鐥l件是非齊次的,可以先將邊界條件齊次化后,再進(jìn)行求解。

    1.1 分離變量法

    分離變量法的基本思想是,令u(x,t)=X(x)T(x),將一個(gè)偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程,其中的一個(gè)常微分方程可以構(gòu)成本征值問(wèn)題,從而求出本征值和本征函數(shù),然后代入另一個(gè)常微分方程去求解。以下面的方程為例加以說(shuō)明。

    同時(shí)將f(x,t)按本征函數(shù)展開(kāi),代入方程中得:

    代入初始條件,可求得系數(shù),

    1.2 沖量法[2]

    應(yīng)用沖量法的前提是初始條件均取零值。仍以兩端固定的弦振動(dòng)為例,利用線性方程的疊加原理,方程(1)可分解為

    u(x,t)=uⅠ(x,t)+uⅡ(x,t)。

    城市平均投資回報(bào)率是指投資到除港口外的其他產(chǎn)業(yè)平均得到的收益,先把城市內(nèi)上市公司作為樣本,篩選出對(duì)經(jīng)濟(jì)有貢獻(xiàn)的指標(biāo)(如:應(yīng)付職工薪酬、固定資產(chǎn)折舊額、營(yíng)業(yè)利潤(rùn)和稅收等),得到其經(jīng)濟(jì)的貢獻(xiàn)量,再計(jì)算其資產(chǎn)總額的貢獻(xiàn)率。

    令uⅠ和uⅡ分別滿足

    這樣,方程(1)的解可轉(zhuǎn)化為求解uⅠ和uⅡ。uⅠ是齊次方程齊次邊界條件,它的解是

    uⅡ是非齊次方程,但初始條件已化為零,可以用沖量法來(lái)求解。

    沖量法的基本思想是,將持續(xù)作用的力看作是許許多多前后相繼的瞬時(shí)力,持續(xù)作用力引起的振動(dòng)看作所有瞬時(shí)力引起的振動(dòng)的疊加,即

    (fx,τ)δ(t-τ)可看作是作用在τ時(shí)刻的瞬時(shí)力,把該瞬時(shí)力引起的振動(dòng)記為ν(x,t,τ),則ν(x,t,τ)滿足定解問(wèn)題

    f(x,τ)δ(t-τ)這個(gè)力只作用在τ時(shí)刻,在τ-0它尚未起作用,弦仍是靜止的,它的速度也為0,到τ+0時(shí)刻,這個(gè)力已作用結(jié)束,時(shí)間非常短,故弦上各點(diǎn)位移根本來(lái)不及變化,變化的只是速度,相當(dāng)于將ν的方程兩邊對(duì)t進(jìn)行積分得

    νt|τ+0=(fx,τ)。如果取τ+0作為初始時(shí)刻,由于該瞬時(shí)力已經(jīng)作用過(guò)了,弦上不受外力,故ν(x,t,τ)滿足的方程應(yīng)為齊次方程,其定解問(wèn)題為

    這是齊次方程齊次邊界條件,只是計(jì)時(shí)起點(diǎn)變成了τ,所以只要將其解中的t換成t-τ就可以了。

    1.3 拉普拉斯變換法

    方程及其邊界條件兩邊對(duì)變量t進(jìn)行拉氏變換得

    求解得:

    通過(guò)邊界條件求出系數(shù)A和B,再通過(guò)逆變換解出u(x,t)。

    2 哥西問(wèn)題的求解

    哥西問(wèn)題,是指兩端無(wú)界,即-∞<x<∞,因?yàn)闆](méi)有邊界條件的限制,所以不能構(gòu)成本征值問(wèn)題。哥西問(wèn)題可用付立葉變換法和格林函數(shù)法求解。

    2.1 付立葉變換法[3]

    付立葉變換法(簡(jiǎn)稱(chēng)付氏變換)的思想是通過(guò)積分,如

    使原變量x變成新變量λ,而且通過(guò)變換原來(lái)的偏微分方程可變?yōu)槌N⒎址匠蹋瑥亩骨蠼庾兊孟喈?dāng)簡(jiǎn)單,仍以一維波動(dòng)方程為例進(jìn)行求解。

    利用線性方程的疊加原理,方程(2)可分解為

    則定解問(wèn)題(3)變成

    解uⅡ時(shí)仍用沖量法,使

    滿足的方程應(yīng)為齊次方程,其定解問(wèn)題為

    對(duì)以上方程再應(yīng)用付氏變換法,求得

    2.2 格林函數(shù)法

    由于線性方程滿足疊加性,格林函數(shù)法的思想是,先求出點(diǎn)源的解,把任意源看作是點(diǎn)源的疊加,任意源引起的振動(dòng)看作是點(diǎn)源引起的振動(dòng)的疊加。仍以一維波動(dòng)方程為例,進(jìn)行求解。

    u對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)滿足的方程為

    用付氏變換法求得G的像為

    3 總結(jié)

    從以上的分析可見(jiàn),偏微分方程的求解方法多種多樣,應(yīng)根據(jù)不同的類(lèi)型,不同的邊界選取不同的方法。有時(shí),同一個(gè)定解問(wèn)題有多種不同的方法,應(yīng)從中選取最簡(jiǎn)單而有效的方法去求解。

    [1]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)(數(shù)學(xué)物理方法)[M].北京:高等教育出版社,2005:147-150.

    [2]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:高等教育出版社,2000:206-210.

    [3]陳義成.數(shù)學(xué)物理方法難點(diǎn)淺析[J].高等函授學(xué)報(bào),1994(5):5-10.

    〔責(zé)任編輯 李?!?/p>

    The Methods of Solving One Dimension Non-Homogeneous Wave Equation

    ZHANG Zi-zhen,LIN Hai
    (School of Physical Science and Electronics,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

    It is very difficult solving Non-homogeneous partial differential equation.We take up various methods of solving Non-homogeneous Wave Equation so that we promote teaching and learning.

    partial differential equation;separation of variable;theorem of impulse;Laplace transform;Fourier transform;Creen function

    O411.1

    A

    1674-0874(2012)05-0026-03

    2012-08-06

    張子珍(1965-),女,山西陽(yáng)高人,碩士,教授,研究方向:理論物理。

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