具強(qiáng)阻尼項(xiàng)波動方程的整體解的漸近性

陳金梅，王祥，趙嬛嬛，劉有軍

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州 034000；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

具強(qiáng)阻尼項(xiàng)波動方程的整體解的漸近性

陳金梅1，王祥1，趙嬛嬛2，劉有軍2

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州 034000；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

在考慮強(qiáng)阻尼效應(yīng)的情形下，研究了一類軸向載荷作用下的彈性波動方程的擾動問題的整體解的性態(tài)。以Sobolev空間的性質(zhì)為工具，利用Gronwall不等式及數(shù)學(xué)歸納法，證明了該擾動問題在線性邊界條件下弱解的存在唯一性。

非線性；梁方程；擾動問題；整體解

非線性發(fā)展方程是許多非線性問題在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)。自80年代初開始，對非線性發(fā)展方程的經(jīng)典解的整體存在性的研究提出了一套新的處理方法，就是對解的能量估計(jì)的基礎(chǔ)上，再利用相應(yīng)的線性齊次方程的解在t→+∞時的衰減性質(zhì)，并將兩者有機(jī)地結(jié)合起來，就可以在一定條件下對小初值的情形得到經(jīng)典解的整體存在性。

我們考慮以下的擾動問題（Pε），其中ε是一個小參數(shù)，并且|ε|≤1：

其中B，B1，f，f1是給定的函數(shù)，B（t，|u（1）|2）是軸向載荷作用，f（x，t，u，u（1），）為強(qiáng)阻尼效應(yīng)。

B（t，|u（1）|2）與f（x，t，u，u（1），）依賴于積分：

1 預(yù)備知識

記Ω＝（0，1），Q＝Ω×（0，T）

Lp＝Lp（0，1），Hm＝Hm（0，1），（0，1）。L2中的范數(shù)用|.|表示，L2中的內(nèi)積用＜·，·＞表示。

此外，定義：

2 主要結(jié)果及其證明

（H3）：f，f1∈C1（Ω×［0，∞）×R3）；

給定M＞0，T＞0，我們令：

K0＝K0（M，T，f）＝

sup｛|f（x，t，u，v，w）|：（x，t，u，v，w）∈A*（M，T）｝；

K1＝K1（M，T，f）＝

sup｛|fx|+|ft|+|fu|+|fv|+|fw|）

（x，t，u，v，w）：（x，t，u，v，w）∈A*（M，T）｝；

其中：

對每個M＞0，T＞0，我們有：

下面我們考察擾動問題（Pε）的弱解的存在唯一性。

定理假設(shè)（H1）～（H3）成立，則存在常數(shù)M＞0，和T＞0，使得對任意|ε|≤1，問題（Pε）有唯一弱解uε滿足uε∈W（M，T）以及估計(jì)：其中C是依賴于M，T，0（M，B1），K0（M，T，f1），1（M，B），和K1（M，T，f）的常數(shù)。

證明 令ν＝uε-u0，則v滿足以下變形問題：

其中：

而

則

由（2）式及Gronwall′s引理，我們有：

所以：

其中：

定理證畢。

［1］Long N T.On the nonlinear wave equation utt-B（t，|ux|2）uxx＝f（x，t，u，ux，ut）associated with the mixed homogeneous conditions［J］.J.Math Anal Appl.2002，274：102-123.

［2］Long N T，Dung B T.On the nonlinear wave equation utt-B（t，|ux|2）uxx＝f（x，t，u，ux，ut，|ux|2）associated with the mixed homogeneous conditions［J］.J Math Anal Appl，2004，292：433-458.

［3］Dickey R W.Free vibrations and dynamic buckling of the extensible beam［J］.J Math Anal Appl，1970，29：443-454.

［4］Pereira D C.Existence.uniqueness and asymptotic behavior for solutions of the nonlinear beam equation［J］.Nonlinear Analysis，TMA，1990，14（8）：613-623.

［5］陳金梅，王祥.一類非線性波動方程弱解的存在唯一性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，31（8）：1-7.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

The Asymptotic Behavior of the Solution of the Wave Equation with Strong Damping

CHEN Jin-mei1，WANG Xiang1，ZHAO Huan-huan2，LIU You-jun2
（1.Department of Mathematics，Xinzhou Teachers University，Xinzhou Shanxi，034000；2.School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，We considered the case of strong damping effect，established a class of the beam equation with axial loading.We studied the global solution of the perturbed problem of the nonlinear beam equation with strong damping.Sobolev space properties as a tool，We proved the existence of weak solutions of the perturbed problem.

nonlinear；the beam equation；the perturbed problem；the global solution

O175.27

A

1674-0874（2012）05-0019-02

2012-05-25

忻州師范學(xué)院自然科學(xué)基金［201124］

陳金梅（1979-），女，山西呂梁人，碩士，講師，研究方向：偏微分方程。