高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)在解答各類問題中的應(yīng)用

王衍星

【摘 ?要】 ?導(dǎo)數(shù)作為連接學(xué)生函數(shù)知識體系的重要節(jié)點(diǎn)，良好的知識掌握對學(xué)生數(shù)學(xué)成績有十分重要的意義.通過總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)，在不等式證明、極值問題、參數(shù)取值范圍等諸多問題的解答中，都需要導(dǎo)數(shù)的參與，但是學(xué)生對其的掌握和運(yùn)用并不理想.因此，系統(tǒng)性分析導(dǎo)數(shù)在各類問題解答中的運(yùn)用，可以促進(jìn)學(xué)生成績的提升.

【關(guān)鍵詞】 ?導(dǎo)數(shù)；解題；高中數(shù)學(xué)

高中階段，導(dǎo)數(shù)是一個十分重要的知識點(diǎn)，貫穿于整個函數(shù)知識體系.靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識對于學(xué)生解答函數(shù)問題有很大的幫助，能降低學(xué)生解題的難度.無論是在不等式證明、極值問題中，還是在參數(shù)取值范圍、函數(shù)圖象推導(dǎo)及綜合運(yùn)用題中，都能發(fā)揮極大的作用.但是在考查中，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用并不理想，因此，本文系統(tǒng)性總結(jié)導(dǎo)數(shù)在相關(guān)題型中的解題方法及策略，以幫助學(xué)生快速提升.

1 ?證明不等式

不等式證明作為一種常見題型，當(dāng)涉及比較復(fù)雜的不等式時，借助導(dǎo)數(shù)往往可以更加快速地解答問題.

例1證明：

證明令，則可根據(jù)與0的關(guān)系進(jìn)行求證，

對其進(jìn)行求導(dǎo)可得，

因為，

所以，

所以，

因為在處連續(xù)，

所以在區(qū)間內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，

2 ?極值問題

在極值問題中，通常有多種方法，但是普通的方法往往會增加解題的復(fù)雜性，浪費(fèi)時間，而借助導(dǎo)數(shù)，極值問題就會變得直觀明了.首先，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，確定函數(shù)的變化趨勢，然后根據(jù)變化趨勢確定函數(shù)的最值.

例2已知函數(shù)

（1）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；

（2）求函數(shù)的極值.

解（1）因為，

根據(jù)其求導(dǎo)可得，

因為在點(diǎn)處的切線與軸平行，

所以，

即，故

（2）由上可得，，

①當(dāng)時，，

所以在上是增函數(shù)，故函數(shù)無極值.

②當(dāng)時，令，

得，即

所以當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故在處取最小值，為，無極大值.

綜上所述：時，無極值；

時，在處取極小值，無極大值.

3 ?參數(shù)的取值范圍

確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍是數(shù)學(xué)問題中較為復(fù)雜的一類題目，是對學(xué)生綜合知識的考查，需要學(xué)生熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，以此分析函數(shù)圖象特點(diǎn)，降低解題難度.

例3設(shè)函數(shù)，其中，求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).

解當(dāng)時，

，

所以，

函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，

即或在上恒成立，

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

所以，對恒成立，

因為，

所以，不符合題意，舍去；

（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，

所以，

在上連續(xù)遞增，

對恒成立，

因為，

因此

綜上所述，時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).

4 ?推導(dǎo)函數(shù)圖象

圖象問題是函數(shù)考查的重點(diǎn)，當(dāng)遇到復(fù)雜函數(shù)時，學(xué)生根本畫不出其相應(yīng)的函數(shù)圖象，解題更無從談起.此時，學(xué)生便可以借助導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的大小確定函數(shù)的大致趨勢及變化規(guī)律，再解答問題便變得十分簡單.

例4 設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖象如圖1所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象為（ ??）

圖1

解析根據(jù)圖象可得：當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在上，，故（A）（C）錯誤；當(dāng)時，呈現(xiàn)先增、后減、再增趨勢，根據(jù)時為增函數(shù)，為減函數(shù)，可以得到圖象趨勢為先在x軸上方，而后到下方，最后又到上方的形狀.故正確答案為（D）.

5 ?綜合應(yīng)用題

綜合運(yùn)用題是對學(xué)生運(yùn)用函數(shù)能力的考查，當(dāng)學(xué)生熟練掌握函數(shù)基礎(chǔ)知識時，能夠快速解答第一部分，對于第二部分解答時，則需要學(xué)生借助導(dǎo)數(shù)來降低解題難度，將解析式正確求導(dǎo)后，根據(jù)題意便可一步步得到結(jié)果.

例5 某產(chǎn)品成本為6元，售價為元，銷量為萬件，已知與成正比，當(dāng)售價為10元時，銷量為28萬件，

（1）利潤與售價之間的關(guān)系為？

（2）為多少時，利潤最大.

解 ?設(shè)，因時，銷量為28萬件，

所以，，

可解得

所以

所以

（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，

得

令，得或，

因為，所以舍棄

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以函數(shù)在上遞增，上遞減，

所以當(dāng)時，最大為

故售價為9元時，利潤最大為135萬元.

6 ?結(jié)語

綜上所述，在諸多問題的解答中都需要學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維不但可以降低解答問題的難度，還能提升解題速度，節(jié)約時間，所以，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要系統(tǒng)性學(xué)生導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識，靈活掌握基礎(chǔ)性質(zhì)，以保證在考試中快速解答問題.

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