基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向輪廓控制設計*

王麗梅，林 淑，鄭 浩

(沈陽工業(yè)大學電氣工程學院，沈陽 110870)

基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向輪廓控制設計*

王麗梅，林 淑，鄭 浩

(沈陽工業(yè)大學電氣工程學院，沈陽 110870)

為了提高XY平臺的輪廓加工精度，在分析系統(tǒng)輪廓誤差的基礎上，提出將H∞速度反饋控制器和切向-輪廓控制器(TCC)相結(jié)合的控制策略。在速度環(huán)內(nèi)采用H∞魯棒控制理論設計反饋控制器，在具有模型攝動及外部干擾的情況下，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能，TCC使得XY平臺之間的耦合作用消除，且輪廓控制器設計變得更加直接和簡單。單軸系統(tǒng)采用IP(積分-比例)控制與速度前饋控制相結(jié)合的復合控制器。仿真結(jié)果表明所設計控制系統(tǒng)在保證具有較好的跟蹤性能、魯棒性能的同時輪廓精度大大提高。

XY平臺;輪廓誤差;H∞控制;切向-輪廓控制;IP控制

0 引言

數(shù)控機床正在向精密、高速、復合化的方向發(fā)展。具有代表性的XY二維直線電機平臺系統(tǒng)，以其快速的響應、準確的定位和高可靠性廣泛應用于高速自動化加工設備等領域［1］。在直線電機直接驅(qū)動XY平臺的機械加工中負載擾動、進給系統(tǒng)的機械延遲等因素對XY平臺的輪廓加工精度產(chǎn)生較大影響［2］。因此在進給速度不斷提高的過程中，同時提高跟蹤過程的輪廓誤差精度已經(jīng)成為現(xiàn)今亟待研究和解決的問題之一。

為提高XY平臺系統(tǒng)的輪廓加工精度，許多研究方法側(cè)重于設計單軸控制器以減小單軸的跟蹤誤差，進而減小整個系統(tǒng)的輪廓誤差［3］。Koren首先提出了交叉耦合控制(Cross-coupled Control，CCC)以減小輪廓誤差的思想，但其分析與設計都局限于使用線性的輪廓誤差［4］。Su與Cheng提出的實時位置補償控制方法很好地改善了單軸跟蹤精度和輪廓誤差精度，但對于外在擾動的抑制能力較弱［5］。文獻［6］提出了切線-輪廓控制方案，使得輪廓控制器設計更加簡單直接，但是系統(tǒng)的魯棒性較弱。在要求高精度的伺服系統(tǒng)中，必須考慮更多的攝動與擾動等不確定因素對系統(tǒng)的影響。文獻［7］進行了直線永磁同步電機位置控制器H∞魯棒性能設計，確保了控制系統(tǒng)的魯棒性能。

針對高精度XY平臺伺服系統(tǒng)，采用H∞速度反饋控制器和切向-輪廓控制器(TCC)相結(jié)合的控制策略對兩軸的運動進行解耦控制，提高魯棒性能。在單軸上，用帶速度前饋的IP控制器結(jié)構(gòu)，保證了系統(tǒng)響應的快速特性，實現(xiàn)跟蹤精度與輪廓精度的同時提高。

1 XY平臺及輪廓誤差分析

1.1 數(shù)學模型

直線電機XY平臺的每個軸分別采用PMLSM驅(qū)動。PMLSM的機械運動方程為:

其中，iq為q軸上的定子電流;B為粘滯摩擦系數(shù);Fe為電磁推力;Fl為負載阻力;Kf為推力系數(shù);M為動子及所帶負載的總質(zhì)量;x為動子位移，v=˙x為動子速度。令iq為輸入量，v為輸出，則被控對象模型的傳遞函數(shù)為:

令u=iq是控制輸入，則基于PMLSM的數(shù)學模型，XY平臺系統(tǒng)的簡化動態(tài)模型為:

1.2 輪廓誤差分析

直線電機XY平臺由兩臺直線電機直接驅(qū)動軸向相互垂直的XY兩軸平面運動平臺，以完成精密軌跡運動。以XY平臺為研究對象，建立圓形輪廓模型如圖1所示。

圖1 輪廓誤差模型

圖1中L為刀具的期望軌跡，e為位置跟蹤誤差，即刀具的實際位位置與指定位置之間的距離，跟蹤誤差沿著機床的各個坐標軸的分量用ex和ey表示，ex和ey分別為X、Y軸的跟蹤誤差，R為期望位置，P為實際位置，et為切向誤差，ec為輪廓誤差，即刀具的實際位置到期望軌跡的最短距離。

2 XY平臺控制器設計

2.1 H∞速度反饋控制器設計

在XY平臺控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)將受到參數(shù)變化、負載擾動、摩擦力等不確定性因素的影響。為了減小或消除PMLSM存在的負載擾動對系統(tǒng)魯棒性的影響，在速度環(huán)內(nèi)設計H∞反饋控制器，使實際被控對象的輸出趨近于標稱被控對象的輸出。為設計H∞反饋控制器，根據(jù)PMLSM畫出了廣義系統(tǒng)的框圖如圖2所示。圖中的1/s是根據(jù)內(nèi)模原理，為保證擾動對控制誤差的影響趨向于零而引入的積分環(huán)節(jié)［8］。

圖2 廣義系統(tǒng)的框圖

X1和X2為選取的狀態(tài)變量，X1為標稱被控對象與實際被控對象的速度輸出誤差，X2為該誤差的積分項，ω為干擾信號，u為控制輸入信號，z為評價信號，在其選取中，狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)是相互獨立的。其中控制量是為了限制過大的驅(qū)動信號，加權(quán)系數(shù)q1＞0，q2＞0用來調(diào)整允許誤差量。G(s)為增廣被控對象，它包括被控對象和為了指標而設定的加權(quán)函數(shù)等;K(s)為控制器且K=［K1K2］。

依據(jù)PMLSM運動方程可寫出增廣被控對象的狀態(tài)空間方程為:

其中，δ1(t)，δ2(t)分別為系統(tǒng)中B/M和1/M的不確定攝動參數(shù)。為充分考慮擾動的影響，ω項的系數(shù)取攝動范圍內(nèi)的最大值，則可將問題歸結(jié)為如下的H∞魯棒性能準則設計問題:

設具有參數(shù)攝動及外部擾動的被控對象如下:

其中，A，B1，B2，C，D 是已知標稱陣，ΔA 和 ΔB表示攝動陣，并且ΔA和ΔB滿足:

對于給定被控對象(5)，當 DΤ［D C］=［I 0］且存在標量λ ＞0，使得Riccati不等式:

有正定解X ＞ 0，其中R2=I+ λ-2FΤbFb，則狀態(tài)反饋控制器為:

控制輸入為u=Kx，K=［K1K2］，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足H∞魯棒性能準則:對于任意的Q∈Ω，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定;ω 到z的傳函Tzω(s)滿足 ‖Tzω(s)‖ ＜ 1。

假設攝動最大值已知，即|δ1(t)|≤σ1，|δ2(t)|≤ σ2，且 σ1＞ 0，σ2＞ 0為已知常數(shù)，取

則有Q∈ Ω 且 ΔA和 ΔB滿足式(7)。利用MATLAB求解式(8)、(9)即可求得需要的控制器K。

2.2 TCC設計

傳統(tǒng)的輪廓控制方法旨在獨立的補償各個軸的跟蹤誤差，但是不同軸之間的耦合作用降低了傳統(tǒng)方法的性能。通過坐標變換，定義在X-Y坐標系統(tǒng)下的輪廓誤差能被轉(zhuǎn)變成為T-C坐標系統(tǒng)下的切向誤差向量和輪廓誤差向量。因為輪廓誤差向量和切向誤差向量是正交的，即解耦，這樣就可以單獨的設計切向誤差和輪廓誤差。

由圖1可知，通過坐標變換矩陣，可以推出:

由式(10)，可進一步簡化為:

其中，ε= [ εcεt]T和e= [ exey]T，變換矩陣 Φ是正交、連續(xù)和可微的。

由式(11)，可以推出:

對于XY平臺輪廓控制系統(tǒng)，系統(tǒng)運動誤差動態(tài)方程表示如下:

進一步可以表示為:

則假設:

將式(16)(17)帶入式(15)，可得:

(1)切向控制器設計

考慮式(18)的切向動態(tài)并設計切向控制律ut為:

將式(19)帶入式(18)可得:

切向控制器設計的目標是選擇適當?shù)腜D增益滿足系統(tǒng)的性能指標。

(2)輪廓控制器設計

考慮式(18)的輪廓動態(tài)并設計輪廓控制率uc為:

將式(21)帶入式(18)可得:

輪廓控制器設計的目標是選擇適當?shù)腜ID參數(shù)來滿足XY平臺的性能指標。

基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向-輪廓控制框圖如圖3所示。

圖3 基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向-輪廓控制框圖

2.3 單軸IP位置控制器設計

在實際的XY平臺運行中，單獨的TCC可能不能滿足系統(tǒng)的高性能要求。因此，在單軸上采用速度前饋控制器和IP控制器相結(jié)合的復合控制方案來實現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤特性和削弱延遲特性。如圖4所示。

圖4 IP位置前饋控制器框圖

由圖4可知速度回路的傳遞函數(shù)為:

以擾動為輸入的速度環(huán)傳遞函數(shù)為:

由(23)式知，增大積分增益ki可提高系統(tǒng)的響應速度，同時(24)式的分母也隨之增大，即可增強擾動抑止能力。

為補償時間延時對系統(tǒng)跟蹤精度的影響，加入速度前饋控制器，盡量降低系統(tǒng)輸出響應與輸入命令之間的延遲效應。

未加入速度前饋時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

加入速度前饋后的傳遞函數(shù)為:

可以看出，加入速度前饋控制器相當于增加了一個零點，從而增加頻寬，提高系統(tǒng)的響應速度。

3 仿真結(jié)果及分析

本文采用日本Yokogawa LM110系列直線電機驅(qū)動XY平臺進行仿真研究。表1給出了X、Y軸電機參數(shù)。

表1 電機參數(shù)

X、Y兩軸位置輸入指令分別為 xd(t)=0.06sin2πtm，yd(t)=0.06cos2πtm，即輸入指令軌跡為圓。采用MATLABSimulink7.0進行仿真，采樣周期為0.0001s。

經(jīng)過多次實驗后選取適當?shù)那邢?輪廓控制器參數(shù)為kvt=50.5，kpt=1500，kvc=70，kic=15，kpc=1050，根據(jù)實際參數(shù)攝動，選取B/M和1/M的不確定攝動參數(shù)最大值為σ1=0.25，σ2=0.125，反復試選加權(quán)系數(shù)得到 q1=50，q2=500，λ =3.1，根據(jù)式(26)(27)通過MATLAB求得H∞控制器為［K1xK1y］=［K2xK2y］=［72 70］。在2.3s時向各軸突加200N的擾動，X、Y軸的IP位置前饋控制器參數(shù)為kp1x=235.492，kp1y=150，ki1x=6000，ki1y=5000，kp2x=37.8，kp2y=25，kvx=1，kvy=1。

圖5、圖6分別為在2.3s時向各軸突加200N的擾動時，XY平臺的指令輸入與實際輸出軌跡曲線，以及X、Y軸的位置誤差曲線。

圖5 圓指令軌跡與輸出軌跡

圖6 X、Y軸位置誤差曲線

由圖5、6可以看出在基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向-輪廓控制作用下，輸出軌跡與指令軌跡基本重合，且均能保證X、Y軸具有良好的魯棒性與跟蹤精度。

圖7、8為在2.3s時向各軸突加200N的擾動時，XY平臺的輪廓誤差曲線和切向誤差曲線，仿真結(jié)果表明在基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向-輪廓控制作用下，其實際輪廓誤差在0μm ～1.5μm之間，與文獻［9］基于輪廓誤差向量估計的交叉耦合控制下的輪廓誤差5×10-3m和文獻［10］基于坐標變換的輪廓控制下的輪廓誤差4×10-4m相比，XY平臺系統(tǒng)輪廓加工精度大大提高，同時保證了較好的魯棒性。

圖7 圓軌跡輪廓誤差曲線

圖8 圓軌跡切線誤差曲線

4 結(jié)論

針對高精度工件的輪廓加工，采用本文所提出的基于H∞反饋的直接驅(qū)動XY平臺切向-輪廓控制方法有效地減小了輪廓誤差。運用TCC消除了各軸間的耦合作用，可以單獨的設計切向控制器和輪廓控制器，有效的改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能，運用H∞反饋控制有效地克服了系統(tǒng)的不確定性和外部擾動對XY平臺的影響。采用IP位置前饋控制增加了系統(tǒng)的跟蹤特性和響應速度。仿真結(jié)果表明所設計控制系統(tǒng)在保證魯棒性的同時有效地提高了直線電機XY平臺的輪廓加工精度。

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Design of Tangential-Contouring Control for Direct Drive XY Table Based on H∞Feedback

WANG Li-mei，LIN Shu，ZHENG Hao
(School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China)

To improve the contour machining precision of XY table，on the basis of analyzing the contour error of system，the control strategy combining H∞velocity feedback controller and tangential-contouring controller(TCC)was presented in the paper.The H∞control theory was used to design a feedback controller in order to guarantee robust stability and robust performance of the closed-loop system under the condition of model perturbation and external disturbance.TCC makes the coupling effect between XY table eliminate and design of contour controller become more direct and simple.A compound controller combining the IP(proportion-integration)control with speed feed-forward control was used for the single axis system.The simulation results show that the designed control system possesses good tracking performance，strong robustness and high contour accuracy.

XY table;contour error;H∞control;tangential-contouring control;IP control

TP273

A

1001-2265(2012)02-0058-05

2011-06-01

國家自然科學基金(51175349);遼寧省自然科學基金項目(20102165)

王麗梅(1969—)，女，沈陽工業(yè)大學電氣工程學院教授，博士生導師，主要研究方向為直線電機伺服控制、智能控制，(E-mail)wanglm677@126.com。

(編輯 李秀敏)