基于擬蒙特卡洛法的滾珠絲杠可靠性分析*

黃 寬，殷愛(ài)華，馮虎田

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

基于擬蒙特卡洛法的滾珠絲杠可靠性分析*

黃 寬，殷愛(ài)華，馮虎田

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

討論了滾珠絲杠可靠性計(jì)算和分析問(wèn)題，提出了滾珠絲杠可靠性分析的計(jì)算方法;雖然蒙特卡洛方法具有程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算效率與問(wèn)題維數(shù)無(wú)關(guān)的優(yōu)點(diǎn)，但工程結(jié)構(gòu)的失效概率往往很小，要獲得準(zhǔn)確的結(jié)果就需要大量的樣本，因而計(jì)算效率低。針對(duì)這一問(wèn)題，采用Halton序列代替?zhèn)坞S機(jī)數(shù)，并結(jié)合了重要抽樣技術(shù)建立了可靠性分析的擬蒙特卡洛方法。該方法不但可以大幅度減少抽樣點(diǎn)數(shù)目，還能夠得到確定性的估計(jì)值。編制了實(shí)用的計(jì)算機(jī)程序，利用它可以迅速準(zhǔn)確地得到滾珠絲杠可靠性的設(shè)計(jì)信息，為滾珠絲杠的可靠性設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

可靠性;擬蒙特卡洛法;Halton序列;滾珠絲杠

0 引言

結(jié)構(gòu)可靠性分析的關(guān)鍵是聯(lián)合概率密度函數(shù)在失效域上的積分運(yùn)算，即求解如下多元變量區(qū)域積分問(wèn)題:

式中:Pf為結(jié)構(gòu)失效概率;χ為基本隨機(jī)變量;fx(x)為基本變量的聯(lián)合概率密度;G(x)≤0表示結(jié)構(gòu)失效。一般情況下，式(1)是一個(gè)高維積分，直接進(jìn)行計(jì)算是困難的，所以工程中常用的方法主要有一次(二次)可靠度方法和基于蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)的數(shù)值模擬法［1］。由于MC方法具有相對(duì)精確的特點(diǎn)，可以用于各種解析方法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的校核。而機(jī)械零部件的可靠性靈敏度設(shè)計(jì)是在可靠性設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上進(jìn)行機(jī)械零部件的靈敏度設(shè)計(jì)。事實(shí)上，若某因素的變異性對(duì)機(jī)械零部件失效有較大的影響，則在設(shè)計(jì)制造過(guò)程中要嚴(yán)格加以控制，使其變化較小保證機(jī)械零部件有足夠的安全可靠性［2］。目前可靠度的分析方法主要有解析法和數(shù)值方法，解析法是指基于一次二階矩法、高階矩法的可靠性設(shè)計(jì)。這種方法要求結(jié)構(gòu)功能函數(shù)具有顯式表達(dá)式，但對(duì)于非線性程度較高的功能函數(shù)其計(jì)算精度不高，這個(gè)不足可以通過(guò)數(shù)值模擬方法加以解決，傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法雖然可以達(dá)到計(jì)算可靠性的目的，但對(duì)于小失效概率問(wèn)題，求解時(shí)需要抽取大量的樣本才能獲得足夠的精度，計(jì)算效率低［3］。

針對(duì)傳統(tǒng)蒙特卡洛方法效率低這一問(wèn)題，有許多學(xué)者通過(guò)各種方法來(lái)提高其抽樣效率，如拉丁超立方抽樣，通過(guò)引入降低方差技巧的重要抽樣方法［3］，分層抽樣方法，系統(tǒng)抽樣等。雖然上述方法已經(jīng)有效地提高了蒙特卡洛方法的計(jì)算效率，但是有時(shí)其效率還是無(wú)法滿(mǎn)足工程大型結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題的需求。原因是其概率誤差ε與N－1/2成正比，其中N為抽樣點(diǎn)的數(shù)目，因此要提高一位精確度就需要增加百倍工作量，誤差的收斂速度比較緩慢。擬蒙特卡洛方法是通過(guò)引入單位超立方體上低偏差點(diǎn)集來(lái)取代傳統(tǒng)蒙特卡洛法中的偽隨機(jī)數(shù)序列的方法，如Faure序列、Halton序列、Sobol序列等。本文通過(guò)引入低偏差點(diǎn)集Halton序列來(lái)實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛方法。

1 低偏差點(diǎn)集

低偏差點(diǎn)集側(cè)重于點(diǎn)集的均勻性，偽隨機(jī)數(shù)序列側(cè)重于點(diǎn)集的隨機(jī)性。在此類(lèi)研究中GLP(Good Lattice Point)點(diǎn)集、H-W(Hua-Wang)點(diǎn)集和Halton序列具有較小偏差，本文主要介紹Halton序列。

1.1 Halton序列生成

設(shè)R為任意質(zhì)數(shù)，則任意自然數(shù)s都有唯一的R進(jìn)制表示:

式中:M=［lns/lnR］，方括號(hào)表示取整運(yùn)算;si∈{0，1，…，R －1}(i=0，1，2，…，M);RM≤s ＜ RM+1，定義R的根式逆運(yùn)算如下:

式中:對(duì)任意整數(shù) s＞ 0，ψR(shí)(s)∈［0，1］。

稱(chēng)點(diǎn)集{ψR(shí)1(s)，ψR(shí)2(s)，…，ψR(shí)n(s)}(其中 s=1，2，…N)為Halton序列，n表示維數(shù)。圖1，圖2分別表示偽隨機(jī)數(shù)序列與Halton序列抽樣點(diǎn)同為100時(shí)在單位面積上的分布圖。

1.2 點(diǎn)集均勻性檢驗(yàn)

圖1 單位面積上偽隨機(jī)數(shù)序列

圖2 單位面積上的Halton序列

χ2在此問(wèn)題中應(yīng)服從χ2(k－1)的分布。因此可以假定一個(gè)顯著性水平值來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)?？梢詮摩?表查得(k－1)個(gè)自由度的顯著水平為α?xí)r的ta值。計(jì)算出來(lái)的χ2小于ta，則認(rèn)為在α的顯著水平下，原隨機(jī)數(shù)在［0，1］區(qū)間是均勻分布的假設(shè)是正確的。

將樣本的取值范圍分布在10個(gè)等寬區(qū)間，即分成:0 ～1/10，1/10 ～2/10，…，8/10 ～9/10，9/10 ～1，10個(gè)區(qū)間。統(tǒng)計(jì)實(shí)際落在每隔區(qū)間內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 隨機(jī)數(shù)頻率檢驗(yàn)

(續(xù)表)

則χ2=0.4。從χ2表查得χ2(9)在顯著性水平為0.01是的值為21.666。χ2遠(yuǎn)小于χ2(9)，因此該隨機(jī)數(shù)是均勻分布的。

2 滾珠絲杠接觸疲勞強(qiáng)度的可靠性

2.1 滾珠絲杠工作壽命的分析

當(dāng)滾珠螺旋傳動(dòng)在一定載荷下工作時(shí)，一個(gè)滾珠從進(jìn)入螺紋滾道承載區(qū)到離開(kāi)滾道，然后又重復(fù)循環(huán)下去，承載著周期性的重復(fù)接觸應(yīng)力作用，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，接觸表面會(huì)產(chǎn)生疲勞點(diǎn)蝕，使傳動(dòng)精度下降，影響正常工作。由于螺母一般遠(yuǎn)比絲杠短，循環(huán)次數(shù)就多，壽命也就短得多。因此可靠性分析時(shí)以螺母為對(duì)象。

根據(jù)Hertz理論，其強(qiáng)度條件為:

式中，σH——接觸應(yīng)力(N/mm2);

F0——單個(gè)滾珠的法向載荷(N);

E——材料的縱向彈性模量(N/mm2);

［σ］H——材料的許用接觸應(yīng)力(N/mm2);

R——螺紋滾道半徑(mm);

rb—— 滾珠半徑(mm);

α—— 系數(shù)。

從公式(4)可以看出，當(dāng)其他條件不變時(shí)，σH的大小與單個(gè)滾珠承受的法向載荷F0有關(guān)。當(dāng)工作滾珠數(shù)減少時(shí)，每個(gè)滾珠分擔(dān)的F0值就增大，如果所引起的接觸應(yīng)力σH＞［σ］H，就會(huì)產(chǎn)生疲勞點(diǎn)蝕。當(dāng)滾珠數(shù)目增多時(shí)，重量加大，導(dǎo)致運(yùn)行阻力增加，降低了滾珠的流暢性，因此滾珠數(shù)目不能過(guò)多。

2.2 設(shè)計(jì)變量的選取

由公式(4)可知，對(duì)于滾珠絲杠傳動(dòng)，主要的影響參數(shù)有:滾珠半徑、螺紋滾道半徑、材料的縱向彈性模量、單個(gè)滾珠的法向載荷。所以選擇滾珠絲杠的螺紋滾道半徑R、滾珠半徑rb、單個(gè)滾珠的法向載荷F0作為獨(dú)立設(shè)計(jì)變量。即 S=g［x1，x2，x3］T=g［R，rb，F(xiàn)0］T。且 R，rb，F(xiàn)0均滿(mǎn)足正態(tài)分布。

2.3 可靠度的計(jì)算公式

應(yīng)力s和強(qiáng)度S為正態(tài)分布時(shí)，其干涉隨機(jī)變量Z=S－s也服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為:

可靠度為:

由于正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，上式可靠度的積分值也可寫(xiě)成:

上式的積分上限:

式(9)把應(yīng)力分布參數(shù)、強(qiáng)度分布參數(shù)和可靠度三者聯(lián)系起來(lái)，β稱(chēng)為聯(lián)結(jié)系數(shù)或可靠度系數(shù)。當(dāng)已知β，從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中可查出R的值。

2.4 可靠性的計(jì)算

采用蒙特卡洛法進(jìn)行可靠性的計(jì)算，其具體計(jì)算步驟如下:

(1)確定零件強(qiáng)度S與其影響因素之間的函數(shù)關(guān)系 S=g［x1，x2，…，xn］T。

(2)確定零件強(qiáng)度函數(shù)中每一個(gè)變量xi的概率密度函數(shù)f(xi)和累積概率分布函數(shù)F(xi)。

(3)對(duì)強(qiáng)度函數(shù)中的每一種變量xi，在［0，1］之間生成許多均勻分布的低偏差點(diǎn)集Halton序列F(xij):

式中，i—— 變量個(gè)數(shù)，i=1，2，…，n;

j—— 模擬次數(shù)，j=1，2，…，m;

對(duì)于給定的F(xij)，可由上式解出相應(yīng)的xij。

(4)計(jì)算零件強(qiáng)度函數(shù)S的統(tǒng)計(jì)特征量。將每一次模擬得到的隨機(jī)數(shù)值代入函數(shù)的方程中，得

因此得到強(qiáng)度函數(shù)S的均值和標(biāo)準(zhǔn)差:

(5)求出應(yīng)力的均值μs和標(biāo)準(zhǔn)差σs。把應(yīng)力和強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差代入公式(9)求出β。根據(jù)公式(8)從正態(tài)分布表查出可靠性R的值。

3 應(yīng)用實(shí)例

結(jié)合陜西漢江機(jī)床有限公司的HJG-S6658-01-501重載滾珠絲杠(螺紋滾道部分法向剖面圖見(jiàn)圖3)，并通過(guò)HJS-055重載滾珠絲杠試驗(yàn)儀(見(jiàn)圖5)測(cè)出重載滾珠絲杠在模擬實(shí)際工況時(shí)所受的軸向力。

圖3 螺紋滾道部分法向剖面圖

圖4 程序流程圖

圖5 HJS-055重載滾珠絲杠試驗(yàn)儀

實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)測(cè)試軟件(測(cè)試軟件主界面見(jiàn)圖6)測(cè)得重載滾珠絲杠單個(gè)滾珠的法向載荷的均值為520.477N，均方差為0.339。其螺紋滾道半徑R、滾珠半徑rb、單個(gè)滾珠的法向載荷F0、許用應(yīng)力均滿(mǎn)足正態(tài)分布，即

根據(jù)可靠性計(jì)算步驟得出程序流程圖(圖4)，利用MATLAB編程算出HJG-S6658-01-50的可靠度為99.62%。滿(mǎn)足使用要求。

圖6 測(cè)試軟件主界面

4 結(jié)束語(yǔ)

采用低偏差點(diǎn)集(Halton序列)替換偽隨機(jī)序列，提高樣本的均勻性，減少了樣本數(shù)，提高了計(jì)算效率。

通過(guò)對(duì)漢江機(jī)床有限公司的HJG-S6658-01-50滾珠絲杠的接觸應(yīng)力分析，結(jié)果證實(shí)低偏差點(diǎn)集的擬蒙特卡洛法的高效率、高精度，并且為滾珠絲杠可靠性設(shè)計(jì)提供了新的方法。

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The Reliable Analysis of Ball-screw Based on Quasi-Monte Carlo

HUANG Kuan，YIN Ai-hua，F(xiàn)ENG Hu-tian
(Nanjing University of Science＆ Technology，Nanjing 210094，China)

The paper discusses the question that contains the computing and analysis of the ball-screw，proposes a method that useed to analyse and calculate the ball-screw’s reliability.Although the program structure of Monte Carlo is easy and computing efficiency has nothing to do with program dimension，the probability of failure of engineering structure is often small.If want to acquire a accuracy result，we need a lot of examples，so the computing is ineffizient.Aiming at this question，adopting Halton array to replace random number and combining important sampling technology to establish Quasi-Monte Carlo of fail-safe analysis.This method not only cuts the number of sampling points，but also can get the estimate of certainty.Programing the practical computer programs，utilizing it can get design information of the reliablity of ball-screw quickly and accurately.For the reliability design of ball-screw provides theoretics basis.

reliability;Quasi-Monte Carlo;halton array;ball-screw

TH122

A

1001-2265(2012)02-0001-04

2011-08-03

國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)(2009ZX04011-034)

黃寬(1987—)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性分析，精密機(jī)電測(cè)控技術(shù);通訊作者:黃寬(1987—)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性分析，精密機(jī)電測(cè)控技術(shù)，(E-mail)huangkuan0102@126.com。

(編輯 趙蓉)