軸向變速運動大撓度薄板的非線性動力學(xué)行為

劉金堂，楊曉東，聞邦椿

(1.沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航工程學(xué)院，沈陽 110136;2.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110004)

軸向運動薄板普遍存在，如動力傳送帶、磁帶、帶鋸、印刷紙張、軋制中的板帶鋼等。運動薄板極易失穩(wěn)，產(chǎn)生有害的橫向振動:帶鋸的橫向振動將影響切割質(zhì)量并加劇鋸的磨損;軋制中的板帶鋼的振動可引起板帶鋼扭曲甚至引起撕裂;動力傳送帶的振動引起帶跑偏并影響設(shè)備壽命等。同時，軸向運動連續(xù)體作為典型陀螺連續(xù)系統(tǒng)，由于陀螺項的存在也對振動的分析和控制提出了若干重要的理論問題。

國內(nèi)外眾多學(xué)者對軸向勻速運動小撓度彎曲薄板的振動和穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究。Ulsoy等［1］研究了寬帶鋸片的振動特性;Lengoc等［2］分析了帶鋸鋸片在切割工況時的動態(tài)響應(yīng);Lin［3］分析了軸向運動板的長寬比和剛度對穩(wěn)定性的影響;Kim等［4］應(yīng)用一種特殊單元法研究了受均布軸向拉力勻速運動薄板的振動特性;Hatami［5］研究了彈性支撐軸向運動板的振動和穩(wěn)定特性;Yin［6］研究了軸向運動薄板橫向非線性振動內(nèi)部共振的基諧波響應(yīng);周銀鋒等［7］研究了軸向運動粘彈性板的橫向振動特性。實際上，薄板并不是以嚴(yán)格的均勻速度運動的，由于各種因素的影響，速度通常具有周期脈動量，系統(tǒng)會表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動態(tài)特性，且薄板在振動過程中，撓度有時不一定遠(yuǎn)小于厚度，這時，就必須考慮中面內(nèi)各點的面內(nèi)位移引起的幾何非線性。

本文研究四邊簡支軸向變速運動大撓度薄板的非線性動力學(xué)行為。在von Kàrmàn大撓度板理論基礎(chǔ)上，利用達(dá)朗貝爾原理得到軸向變速運動薄板的非線性運動微分方程，采用Galerkin方法對其離散，然后假設(shè)薄板運動速度具有周期脈動量，用數(shù)值方法分析所得常微分方程，研究薄板運動平均速度、速度脈動幅值和外激勵力等參數(shù)對板非線性運動特性的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在上述參數(shù)變化時，均產(chǎn)生了分岔，經(jīng)歷了周期運動、倍周期運動、概周期運動，直至在平衡位置失去穩(wěn)定性而出現(xiàn)混沌運動。

1 運動方程

考慮一四邊簡支勻質(zhì)等厚矩形薄板，建立圖1所示直角坐標(biāo)系，xoy平面與薄板中面重合。薄板x和y向尺寸分別為a和b，薄板厚度為h，板沿x軸運動速度為V(t)，單位面積質(zhì)量為ρ，材料的楊氏模量為E。F為x面單位長度上的拉力，q為薄板受到的垂直于板面的單位面積外激勵力。板內(nèi)任一點在x，y，z向的位移分別為 u(x，y，z，t)，v(x，y，z，t)，w(x，y，z，t)。

圖1 軸向變速運動薄板Fig.1 Axially accelerating plates

在von Kàrmàn大撓度板理論基礎(chǔ)上，應(yīng)用達(dá)朗伯原理可得軸向變速運動大撓度薄板運動微分方程［8］:

式中，D=Eh3/［12(1－μ2)］，μ為泊松比，Φ為應(yīng)力函數(shù)，▽4為雙調(diào)和算子，L(w，Φ)為非線性微分算子。

在x=0和a的兩邊上，有水平拉力F，在y=0和b的兩邊上，無邊界力。故四邊簡支大撓度板的邊界條件為:

式(2a)為位移邊界條件，式(2b)為應(yīng)力邊界條件。引入如下無量綱變量及參數(shù):

可得無量綱化運動微分方程:

邊界條件式(2)則化為:

2 Galerkin截斷

而撓度函數(shù)取為:

為方便討論，四邊簡支條件下的公式推導(dǎo)和計算取 m=1，2，n=1，即:

將式(8)和式(9)代入式(4b)，并進(jìn)行Galerkin積分:

得到:

解式(11)得應(yīng)力函數(shù):

將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式(12)和撓度函數(shù)表達(dá)式(9)代入式(4a)，并再次進(jìn)行Galerkin積分:

得到離散后的振動微分方程組:

設(shè)薄板軸向運動速度帶有周期脈動量:

其中，C1為速度脈動振幅(正實數(shù)小量)，C0為平均速度，Ω為速度脈動頻率。將式(17)代入式(15)得:

其中:

考慮系統(tǒng)阻尼的影響并引入如下參數(shù)變量:

則式(18)變?yōu)?

式中的η1和η2為無量綱線性阻尼系數(shù)。

3 數(shù)值計算

通過分析式(21)，可以得到系統(tǒng)動力學(xué)特性隨薄板運動平均速度C0，外激勵力Q等參數(shù)的變化情況。薄板參數(shù)設(shè)定為:長度a=1 m，寬度b=1 m，厚度h=0.004 m，單位面積質(zhì)量ρ=31.2 kg/m2，泊松比μ =0.3，楊氏模量E=2×1011N/m2，軸向拉力F=1 000 N/m。

用Poincaré映射圖和最大Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)動力學(xué)特性的變化。設(shè)定速度脈動頻率為一固定值，繪出每一周期間隔處薄板中點處的位移和速度分岔圖。

3.1 速度脈動幅值對非線性特性的影響

設(shè)定無量綱線性阻尼 η1=η2=0.7，外激勵力Q=3 200，速度脈動頻率 Ω=33，平均速度 C0=12，初始值為［1 ×10－6，0，1×10－6，0］。改變速度脈動幅值C1得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖2所示。

圖2顯示，薄板以勻速運動時，系統(tǒng)為周期運動，當(dāng)C1達(dá)到0.46時，產(chǎn)生Hopf分岔，由周期運動進(jìn)入2倍周期運動，C1繼續(xù)增加到1.82時，由倍周期轉(zhuǎn)入概周期運動，隨后當(dāng)C1=1.835時，從概周期運動轉(zhuǎn)為16倍周期運動，其間為倍周期與概周期運動的不斷轉(zhuǎn)換，最后，在C1=1.92處，LLE值開始大于零，由概周期運動通向混沌

圖3、圖4分別為C1=1.874時的概周期運動和C1=2時的混沌運動相平面圖和Poincaré映射圖。

圖2 系統(tǒng)隨C1的分岔及最大Lyapunov指數(shù)Fig.2 Bifurcation and the largest Lyapunov exponent versus the velocity amplitude

圖3 概周期運動Fig.3 The quasi-periodic motion

3.2 平均速度對非線性特性的影響

圖4 混沌運動Fig.4 The chaotic motion

設(shè)定無量綱線性阻尼η1=η2=0.7，外激勵力Q=3 000，速度脈動頻率 Ω =33，速度脈動幅值C1=0.7，初始值為［1×10－6，0，1 ×10－6，0］。改變板平均速度C0得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖5所示。圖6為薄板中點速度分岔圖的局部放大圖。

圖5 系統(tǒng)隨C0的分岔及最大Lyapunov指數(shù).Fig.5 Bifurcation and the largest Lyapunov exponent versus the mean velocity

圖5和圖6顯示，在C0=11.75處，系統(tǒng)產(chǎn)生 Hopf分岔，由周期運動轉(zhuǎn)入2倍周期運動，當(dāng)平均速度達(dá)到13.42時，進(jìn)入概周期運動，在C0=13.48處，由概周期轉(zhuǎn)入14倍周期運動，當(dāng)平均速度達(dá)到13.485時，再次產(chǎn)生Hopf分岔，進(jìn)入28倍周期運動，隨后連續(xù)分岔，最后在C0=13.51處由倍周期分岔通向混沌，隨著速度的持續(xù)增加，系統(tǒng)又經(jīng)歷了14倍周期，當(dāng)C0=13.533時，LLE＞0，由爆炸性分岔通向混沌，于C0=13.588處，進(jìn)入16倍周期，隨后又經(jīng)歷了2倍周期運動，在C0=13.78處，又產(chǎn)生Hopf分岔，進(jìn)入4倍周期運動，連續(xù)分岔，最后在C0=13.92處，由爆炸性分岔第三次通向混沌。圖中共有三個區(qū)域出現(xiàn)混沌，但通向混沌的道路是不同的，一次是由倍周期分岔通向混沌，兩次是由爆炸性分岔通向混沌。

圖6 X2隨平均速度C0的分岔Fig.6 Bifurcation of X2 versus the mean velocity C0

圖7和圖8分別為C0=13.46時的概周期運動和C0=14時的混沌運動相平面圖和Poincaré映射圖。

圖7 概周期運動Fig.7 The quasi-periodic motion

圖8 混沌運動Fig.8 The chaotic motion

3.3 外激勵力對非線性特性的影響

設(shè)定無量綱線性阻尼η1=η2=0.8，平均速度C0=14，速度脈動頻率Ω=33，速度脈動幅值C1=0.6，初始值為［1×10－6，0，1×10－6，0］。改變外激勵力 Q 得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖9所示。

圖9顯示，系統(tǒng)產(chǎn)生了倒分岔，當(dāng)Q的值在3 200處時，系統(tǒng)為2倍周期運動，隨著Q的逐漸減小，在Q=3 158時產(chǎn)生分岔，進(jìn)入4倍周期運動，隨著Q值的繼續(xù)減小，又連續(xù)產(chǎn)生Hopf分岔，最后在Q=3 049.7處，由倍周期分岔通向混沌。

圖9 系統(tǒng)隨Q的分岔及最大Lyapunov指數(shù)Fig.9 Bifurcation and the largest Lyapunov exponent versus the excitation amplitude

4 結(jié)論

本文研究了四邊簡支軸向變速運動大撓度薄板非線性橫向振動的動力學(xué)特性。在von Kàrmàn大撓度板理論基礎(chǔ)上，利用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)軸向變速運動薄板的非線性橫向振動微分方程組，采用Galerkin法將時間變量和空間變量、位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)分離，然后用數(shù)值方法分析所得常微分方程組。當(dāng)板無量綱運動平均速度、外激勵力和速度脈動幅值變化時，板中點處的位移和速度的分岔圖中均出現(xiàn)了分岔，系統(tǒng)相繼經(jīng)歷了周期運動、倍周期運動、概周期運動，甚至混沌運動。共發(fā)現(xiàn)了3條通向混沌的道路:由倍周期分岔、爆炸性分岔和概周期通向混沌。

［1］ Ulsoy A G，Mote J C D.Vibration of wide band saw blades［J］.J.Engng.Ind.，1982，104:71 －78.

［2］ Lengoc L，Mccallion H.Wide bandsaw blade under cutting conditions，part I:vibration of a plate moving in its plane while subjected to tangential edge loading［J］.J.Sound Vib.，1995，186(1):125－142.

［3］ Lin C C.Stability and vibration characteristics of axially moving plates［J］.Int.J.Solids Structures，1997，34(24):3179－3190.

［4］ Kim J， Cho J， Lee U，et al. Modal spectral element formulation for axially moving plates subjected to in-plane axial tension［J］.Comput.Struct.，2003，81:2011 － 2020.

［5］ Hatami S，Azhari M.Stability and vibration of elastically supported axially moving orthotropic plates［J］.Iranian Journal of Science＆ Technology，2006，30(B4):427－446.

［6］殷振坤，陳樹輝.軸向運動薄板非線性振動及其穩(wěn)定性研究［J］.動力學(xué)與控制學(xué)報，2007，5(4):314－319.

［7］周銀鋒，王忠民.軸向運動粘彈性板的橫向振動特性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2007，28(2):191－199.

［8］劉金堂.軸向變速運動機(jī)械薄板的非線性動力學(xué)特性［D］.沈陽:東北大學(xué)出版社，2010.