再論圓管明渠均勻流正常水深的直接計算公式

文 輝，李風(fēng)玲

(惠州學(xué)院建筑與土木工程系，廣東 惠州 516007)

圓管具有結(jié)構(gòu)形式簡單和力學(xué)條件好等特點，是給水排水工程和水利工程中應(yīng)用最廣泛的輸水形式。但圓管均勻流方程和臨界流方程均為超越函數(shù)方程，求解這些含三角函數(shù)的高次隱函數(shù)方程，是十分復(fù)雜和困難的，無論是采用查圖、查表還是迭代試算或是編程計算都比較繁瑣。為此，國內(nèi)不少學(xué)者對正常水深的直接計算［1-7］和臨界水深的直接計算［8-11］都作了較深入的研究，得到一些近似的直接計算公式，但存在著公式形式復(fù)雜或計算精度不高等諸多缺陷，一定程度上影響了公式的使用與推廣，其中王正中的反余弦函數(shù)公式［3］最簡捷，只是精度稍差，本文將以此為基礎(chǔ)，開展進一步研究。

1 圓管明渠均勻流正常水深的基本方程

圓管明渠的正常水深采用均勻流計算公式，以曼寧公式表示的圓管明渠均勻流基本方程［12］為

式中:Q為設(shè)計流量，m3/s;i為管道坡降;A為圓管斷面過水面積，m2;n為糙率;χ為濕周，m。

1.1 圓管明渠的水力要素

圓管斷面如圖1所示。圓管明渠的水力要素計算公式為

式中:d為圓管直徑，m;θ為過水?dāng)嗝娉錆M角，rad;h為正常水深，m。

圖1 圓管斷面

1.2 圓管明渠均勻流正常水深的非線性方程

將式(2)代入式(1)，整理便得求解圓管明渠均勻流正常水深的非線性方程:

由此可知，圓管明渠均勻流正常水深的計算就是非線性方程式(3)的求根問題。公式左側(cè)為圓管和水流的已知量，為了方便研究，令

此方程為三角函數(shù)方程，無法直接求解。

1.3 圓管明渠均勻流正常水深計算公式的適用范圍

理論上正常水深的適用范圍應(yīng)為0≤β≤1，目的是為了防止因水位的細(xì)微變化或波浪等的影響而導(dǎo)致明滿流交替或封頂?shù)默F(xiàn)象發(fā)生，保證水面以上空氣暢通及水流狀態(tài)穩(wěn)定。給水排水工程規(guī)范和水利工程規(guī)范等要求凈空面積不應(yīng)小于隧洞斷面面積的15%，據(jù)此得出計算公式的適用上限為

式中:α為無量綱參數(shù);β為無量綱正常水深(正常水深和圓管直徑之比)。

將式(4)和式(5)代入式(3)可得:

式中:A0為圓管斷面面積。

公式(8)為三角超越方程，試算解得 θ=4.3917，所以h上=0.80d。

考慮到大多數(shù)工程實際應(yīng)用情況，過小水深沒有太大實際意義，故下限值h下=0.10d，所以正常水深計算公式的工程適用范圍為0.1≤β≤0.8。

2 圓管明渠均勻流正常水深的新計算公式

公式(6)為三角函數(shù)方程，本文將以反余弦函數(shù)構(gòu)造計算公式形式，通過曲線擬合和優(yōu)化原理，兼顧公式簡捷和結(jié)果精度，提出新的計算公式:

3 誤差分析和公式評價

目前主要的幾種圓管明渠均勻流正常水深的直接計算公式為

a. 韓會玲公式［1］:

b. 陳水俤公式［2］:

c. 王正中公式［3］:

d. 文輝公式［4］:

e. 趙延風(fēng)公式［5］:

由表1可知:韓會玲公式屬于線性函數(shù)形式，形式最簡單，但誤差最大，最大相對誤差為104.80%;陳水俤公式屬于分段函數(shù)形式，形式最復(fù)雜，誤差很大，最大相對誤差為－6.90%;王正中公式屬于三角函數(shù)形式，形式簡單，誤差大，最大相對誤差為－3.83%;文輝公式也屬于分段函數(shù)形式，形式較復(fù)雜，誤差較大，最大相對誤差為1.26%;趙延風(fēng)公式屬于指數(shù)函數(shù)形式，形式較復(fù)雜，誤差較小，最大相對誤差為0.73%;本文公式也屬于三角函數(shù)形式，形式簡單且誤差最小，最大相對誤差為0.71%。

表1 誤差分析

4 計算步驟及算例

4.1 計算步驟

a.根據(jù)流量Q、管道粗糙系數(shù)n、管道直徑d和管道坡度i，由式(4)求參數(shù)α。b.將α代入式(9)求得無量綱正常水深β。c.將β代入式(5)求得正常水深h。

4.2 算例

某圓形輸水隧洞，直徑d=6.0 m，洞底坡度i=0.001，粗糙系數(shù)n=0.014，流量Q=80m3/s時的均勻流正常水深h可計算如下:

由式(4)可解得 α=6.006 36，由式(9)可解得β=0.782257，再由式(5)計算得h=βd=4.694 m，經(jīng)試算得到正常水深的精確解 4.696 m，相對誤差為－0.051%。

5 結(jié)語

本文提出了一個新的圓管明渠均勻流正常水深的直接計算公式，誤差分析及實例計算表明，與目前相關(guān)文獻的研究成果相比，該公式具有表達形式簡單且誤差小的特點，可極大方便工程設(shè)計人員在圓形斷面水利工程設(shè)計中的直接使用。

:

［1］韓會玲，孟慶芝.非滿流圓管均勻流水力計算的近似數(shù)值解法［J］.給水排水，1994(10):25-26.

［2］陳水俤.排水管道純公式水力計算［J］.給水排水，1995(1):16-17.

［3］王正中，冷暢儉，婁宗科.圓管均勻流水力計算的近似公式［J］.給水排水，1997(9):27-29.

［4］文輝，李風(fēng)玲.圓管明渠均勻流的新近似計算公式［J］.人民黃河，2006，28(2):67-69.

［5］趙延風(fēng)，祝晗英，王正中.一種新的圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴嬎愎剑跩］.河海大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，38(1):68-71.

［6］呂宏興，把多鐸，宋松柏.無壓流圓形過水?dāng)嗝嫠τ嬎愕牡ǎ跩］.長江科學(xué)院院報，2003，20(5):15-17.

［7］趙延風(fēng)，蘆琴，張寬地.圓形過水?dāng)嗝婢鶆蛄魉畹慕朴嬎愎剑跩］.西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，36(5):225-228.

［8］張寬地，呂宏興，趙延風(fēng).明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計算［J］.農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2009，25(3):1-5.

［9］王正中，陳濤，萬斌.圓形斷面臨界水深的新近似計算公式［J］.長江科學(xué)院院報，2004，21(2):1-2.

［10］文輝，李風(fēng)玲.圓管明渠臨界水深的直接近似計算公式［J］.人民黃河，2007，29(4):67-69.

［11］李風(fēng)玲，文輝，彭波.圓形過水?dāng)嗝媾R界流的近似水力計算 ［J］.人民長江，2008，39(11):77-78.

［12］吳持恭.水力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1982.