傾斜岸河流和水庫(kù)水面污染帶下的污染物質(zhì)量濃度分布

武周虎，賈洪玉

(1.青島理工大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033;

2.山東省建設(shè)項(xiàng)目環(huán)境審核受理中心，山東 濟(jì)南 250013)

各種廢棄物越來越多地出現(xiàn)在河流和水庫(kù)水面，如來源復(fù)雜、種類繁多的各類垃圾［1］以及石油類和密度較小的污水等。這些水面污染物不僅影響自然景觀，而且污染深層水體，會(huì)給水環(huán)境與水生態(tài)帶來危害。國(guó)內(nèi)外對(duì)水面污染源向水下的一維擴(kuò)散研究已取得一定成果［2-3］，但傾斜岸河流和水庫(kù)水面污染源向水下的擴(kuò)散是立面二維問題，對(duì)此問題的研究尚不多見。武周虎等［4-5］采用解析法和數(shù)值方法分別給出了水面半無限和有限長(zhǎng)油膜下油滴輸移擴(kuò)散方程的解析解和數(shù)值解。武周虎［6-7］還采用解析方法給出了水庫(kù)傾斜岸坡地形岸邊點(diǎn)源排放各向同性擴(kuò)散條件下的污染混合區(qū)計(jì)算方法和簡(jiǎn)化條件。在此基礎(chǔ)上，武周虎等［8-9］基于鏡像法原理和角形域平面鏡映射試驗(yàn)，給出了各向異性擴(kuò)散條件下的角形域映射圖，進(jìn)而給出傾斜岸坡地形岸邊點(diǎn)源排放各向異性擴(kuò)散條件下的污染物質(zhì)量濃度分布的理論解。韋細(xì)姣［10］對(duì)龍江金城江區(qū)段進(jìn)行水污染調(diào)查，利用二維水質(zhì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行水質(zhì)達(dá)標(biāo)分析。薛紅琴等［11］在考慮了兩岸邊界的一次反射、污染物的降解和背景值共同影響的條件下，給出排污口在任意位置處的污染帶特征參數(shù)的計(jì)算方法。顧莉等［12］從河道分汊口、交匯口、水流特性及污染物輸移特性等4個(gè)方面總結(jié)了分汊型河道的水流運(yùn)動(dòng)特性和污染物輸移擴(kuò)散規(guī)律的相關(guān)研究成果，提出亟待加強(qiáng)不同排放方式和不同分汊形態(tài)下污染物輸移機(jī)制等問題的研究。武周虎［13］基于各向異性擴(kuò)散條件下的靜止水體中瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散的解析解，推導(dǎo)了半無限水面瞬時(shí)污染源下和傾斜岸角形域中二維擴(kuò)散污染物質(zhì)量濃度分布的理論公式，其局限性在于不能用于常見的岸邊水面任意寬度瞬時(shí)污染源情況下的擴(kuò)散計(jì)算。

本文針對(duì)文獻(xiàn)［13］半無限水面瞬時(shí)污染源的局限性，基于橫向和垂向擴(kuò)散系數(shù)不相等時(shí)靜止水體中瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散的解析解，推導(dǎo)水面有限寬(任意寬度)瞬時(shí)污染源二維擴(kuò)散的溶解性污染物質(zhì)量濃度分布，并在順直傾斜岸坡大寬度深水情況下借助于角形域映射圖［8-9］，推導(dǎo)出傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下角形域中二維擴(kuò)散污染物質(zhì)量濃度分布的理論計(jì)算公式，并分析其合理性及應(yīng)用范圍。

1 水面有限寬瞬時(shí)污染源下的二維擴(kuò)散

如圖1所示，在靜止水體半無限空間的半無限水面上(y≥0，z=0)，存在等強(qiáng)度水面有限寬瞬時(shí)污染源(帶)，污染源寬度L＞0，取垂直于yOz平面x方向的單位長(zhǎng)度進(jìn)行分析。

圖1 水面有限寬瞬時(shí)污染源下的二維擴(kuò)散

將水面有限寬瞬時(shí)污染源看作由無數(shù)個(gè)微小的污染線源或微元(即yOz坐標(biāo)系上的點(diǎn)源，下同)dξ所組成，每個(gè)微元的質(zhì)量為dM=mdξ，其中m為水面污染源強(qiáng)度，對(duì)每個(gè)微元來說它都要向下、向左和向右邊擴(kuò)散。設(shè)在水面下有一個(gè)點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(y，z)，P點(diǎn)到某個(gè)污染微元的水平距離為y－ξ，垂直距離為z，在指定時(shí)刻P點(diǎn)的污染物質(zhì)量濃度C(y，z，t)應(yīng)等于水面各微小污染源擴(kuò)散到P點(diǎn)的污染物質(zhì)量濃度dC的疊加。根據(jù)文獻(xiàn)［13］，任意一個(gè)微小水面污染源擴(kuò)散至水下P點(diǎn)的污染物質(zhì)量濃度為

式中:Ey和Ez分別為橫向和垂向擴(kuò)散系數(shù)。

式(1)中ξ從零到L上積分，可以得到由水面有限寬瞬時(shí)污染源引起P點(diǎn)的污染物質(zhì)量濃度為

根據(jù)誤差函數(shù) erf(x)的性質(zhì)，對(duì)于固定的(z，t)值，由式(5)得到C(±∞，z，t)=0，Cmax(y，z，t)=C(L/2，z，t);對(duì)于固定的(y，t)值，由式(5)得到Cmax(y，z，t)=C(y，0，t)，C(y，∞，t)=0，沿水深的污染物質(zhì)量濃度分布為半正態(tài)曲線。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)隨著擴(kuò)散歷時(shí)t的增大，污染物的最大質(zhì)量濃度減小，但擴(kuò)散影響深度和橫向影響范圍擴(kuò)大。

在式(5)中取m=200 g/m2，Ey=0.1 m2/s，Ez=0.01 m2/s，t=1 800 s，L=25 m，計(jì) 算 得 到C(0，0，1800)=C(25，0，1800)=10.80 mg/L，Cmax(12.5，0，1800)=13.03 mg/L，并依次計(jì)算z=0，z=5 m，z=10m等深線和y=－25 m，y=0，y=25 m 垂線上的C(y，z，1800)。圖2分別給出了靜止水體中水面有限寬瞬時(shí)污染源下相應(yīng)等深線和垂線上的污染物質(zhì)量濃度分布曲線。由圖2可以看出，靜止水體中水面有限寬瞬時(shí)污染源沿水深的質(zhì)量濃度服從半正態(tài)曲線分布，同一y值水面上的質(zhì)量濃度最大，無限深處質(zhì)量濃度為零。由于水面有限寬瞬時(shí)污染源位于L≥y≥0處，y＜0和y＞L區(qū)域的質(zhì)量濃度是由L≥y≥0區(qū)域的污染物擴(kuò)散產(chǎn)生，所以對(duì)同一z值的橫向質(zhì)量濃度分布在污染源中間y=L/2點(diǎn)下方出現(xiàn)最大值，中間區(qū)域出現(xiàn)較平的一段，向兩側(cè)呈對(duì)稱遞減趨勢(shì)。當(dāng)水面瞬時(shí)污染源寬度L很小時(shí)，沿橫向的質(zhì)量濃度分布接近正態(tài)曲線。

圖2 水面有限寬瞬時(shí)污染源下的污染物質(zhì)量濃度分布

2 傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下的二維擴(kuò)散

在順直傾斜岸坡大寬度深水條件下，水面有限寬瞬時(shí)污染帶下角形域中的二維擴(kuò)散見圖3(a)，定義域?yàn)閥≥0，ytanθ≥z≥0。根據(jù)文獻(xiàn)［8］給出的橫向和垂向擴(kuò)散系數(shù)不相等的角形域映射原理，圖3(b)給出了傾角θ=60°的角形域映射質(zhì)量濃度分布疊加示意圖。

圖3 傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下的二維擴(kuò)散

在圖3(b)中，C0(y，z，t)為水面實(shí)源產(chǎn)生的二維質(zhì)量濃度分布，C1(y，z，t)和C2(y，z，t)分別為水面等強(qiáng)度像源和二重像源產(chǎn)生的二維質(zhì)量濃度分布。C0(y，z，t)的表達(dá)式為式(5)，C1(y，z，t)和C2(y，z，t)的表達(dá)式分別為式(5)中(y，z)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)2θ和4θ得到，即像源和二重像源產(chǎn)生的二維質(zhì)量濃度分別為

按照擴(kuò)散方程單獨(dú)解的疊加原理，水面有限寬瞬時(shí)污染源下角形域中的二維質(zhì)量濃度分布等于實(shí)源、像源和二重像源在定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)產(chǎn)生的質(zhì)量濃度分布的疊加，即C(y，z，t)=C0(y，z，t)+C1(y，z，t)+C2(y，z，t)。那么，傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下θ=60°角形域中的二維質(zhì)量濃度分布為

根據(jù)文獻(xiàn)［8］的歸納結(jié)果，當(dāng)傾角參數(shù)n(n=180°/θ)為自然數(shù)時(shí)，由式(8)得到傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下角形域中的二維質(zhì)量濃度分布為

3 分析與討論

在式(9)中取L=25m，m=200g/m2，Ey=0.1m2/s，Ez=0.01 m2/s，t=1800s，C(0，0，1800)=10.8nmg/L。分別計(jì)算岸坡傾角為 θ=30°，36°，45°，60°和90°(即n=6，5，4，3和2)時(shí)，各傾角水面、沿z=ytanθ的傾斜岸坡和y=12.5 m垂線上的污染物質(zhì)量濃度分布以及各角形域中C=10 mg/L的等質(zhì)量濃度線分布，見圖4～7。

圖4 各傾角水面污染物質(zhì)量濃度分布

圖5 沿傾斜岸坡的污染物質(zhì)量濃度分布

圖6 y=12.5 m垂線上的污染物質(zhì)量濃度分布

圖7 各角形域中C=10 mg/L的等質(zhì)量濃度分布線

由圖4和圖5可以看出，受傾斜岸坡角形域邊界反射產(chǎn)生質(zhì)量濃度疊加的影響，傾角越小，傾斜岸坡頂點(diǎn)質(zhì)量濃度越高，傾斜岸坡頂點(diǎn)質(zhì)量濃度與傾角大小成反比，且計(jì)算點(diǎn)距離岸坡頂點(diǎn)越近，質(zhì)量濃度越大;反之，質(zhì)量濃度越小，當(dāng)橫坐標(biāo)y(圖4)或沿傾斜岸坡向水下延伸的距離(圖5)趨于無窮大時(shí)質(zhì)量濃度趨于零。各傾角下水面橫向質(zhì)量濃度分布和沿傾斜岸坡的質(zhì)量濃度分布均為單調(diào)下降曲線，并以零質(zhì)量濃度線為漸近線;當(dāng) θ=36°(n=5，n為奇數(shù))與 θ=60°(n=3，n為奇數(shù))時(shí)，水面橫向質(zhì)量濃度分布隨橫坐標(biāo)y的增大先下降到θ=90°時(shí)水面橫向質(zhì)量濃度線之下，而后在其下方以該質(zhì)量濃度線為漸近線。θ=36°(n=5，n為奇數(shù))與 θ=45°(n=4，n為偶數(shù))時(shí)水面橫向質(zhì)量濃度分布線出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，θ=60°(n=3，n為奇數(shù))與 θ=45°(n=4，n為偶數(shù))時(shí)沿傾斜岸坡的質(zhì)量濃度分布線出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，反映了n為奇、偶數(shù)時(shí)角形域的邊界反射產(chǎn)生質(zhì)量濃度疊加的影響規(guī)律不同。

由圖6可以看出，各角形域在y=12.5 m垂線上的質(zhì)量濃度分布隨水深的增大單調(diào)減小，θ=60°，90°和45°時(shí)y=12.5m垂線上的質(zhì)量濃度分布出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。由圖7可以看出，各角形域中C=10 mg/L的等質(zhì)量濃度分布線沿傾斜岸坡出現(xiàn)向下擴(kuò)散的趨勢(shì)，在遠(yuǎn)離傾斜岸坡時(shí)等質(zhì)量濃度分布線向水面上升并出現(xiàn)雙重變化特征:一是當(dāng)θ=36°(n=5，n為奇數(shù))與 θ=60°(n=3，n為奇數(shù))時(shí)，C=10 mg/L 的等質(zhì)量濃度分布線隨橫坐標(biāo)y的增大與θ=90°等質(zhì)量濃度分布線交叉;二是當(dāng)θ=30°(n=6，n為偶數(shù))與 θ=45°(n=4，n為偶數(shù))時(shí)，C=10 mg/L 的等質(zhì)量濃度分布線隨橫坐標(biāo)y的增大呈單調(diào)上升趨勢(shì)，并以θ=90°等質(zhì)量濃度分布線為漸近線。這主要取決于在不同傾角時(shí)實(shí)源、像源和二重像源的分布位置和二維質(zhì)量濃度分布的疊加。

由以上分析結(jié)果可以看出，傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下二維擴(kuò)散污染物質(zhì)量濃度分布具有隨n為奇、偶數(shù)而不同的特性，討論如下:

a.當(dāng) θ=180°(n=1)時(shí)，具有水面一次邊界反射的污染物擴(kuò)散為角形域擴(kuò)散的特例，由式(9)得到水面有限寬瞬時(shí)污染源條件下二維擴(kuò)散的污染物質(zhì)量濃度分布為

定義域?yàn)閥≥0，∞＞z＞－∞。這一結(jié)果與式(5)完全一致。

b. 當(dāng) θ=90°(n=2)，且水面污染源寬度L→∞時(shí)，具有水面和垂直岸各一次邊界反射的污染物擴(kuò)散為角形域擴(kuò)散的另一個(gè)特例，由式(9)得到半無限水面瞬時(shí)污染源條件下二維擴(kuò)散的污染物質(zhì)量濃度分布為

定義域?yàn)閥≥0，z≥0。式(11)表明污染物質(zhì)量濃度分布與橫坐標(biāo)y和橫向擴(kuò)散系數(shù)Ey無關(guān)，這一結(jié)果與文獻(xiàn)［2］水面有邊界反射的瞬時(shí)平面源一維(垂向)擴(kuò)散的結(jié)果完全一致。

c.當(dāng)角形域內(nèi)為各向同性擴(kuò)散(Ey=Ez=E)水體時(shí)，對(duì)于沿z=ytanθ傾斜岸坡的等強(qiáng)度有限寬瞬時(shí)污染源，角形域中二維擴(kuò)散污染物質(zhì)量濃度分布的理論計(jì)算公式可由式(9)進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)得到:

取Ey=Ez=E=0.01 m2/s，L=25 m，其他參數(shù)同前，分別采用式(9)和式(12)計(jì)算 θ=45°，60°和 90°時(shí)水面和岸坡有限寬瞬時(shí)污染源條件下的污染物質(zhì)量濃度分布，進(jìn)行C=10 mg/L的等質(zhì)量濃度線分析比較，見圖8。由圖8可以看出，水面與傾斜岸坡有限寬瞬時(shí)污染源在角形域中形成的等質(zhì)量濃度線為相應(yīng)傾角角平分線的對(duì)稱曲線，即對(duì)于角形域內(nèi)的各向同性擴(kuò)散，水面有限寬污染源向水下的擴(kuò)散與傾斜岸水面有限寬污染源向上的擴(kuò)散和邊界反射的機(jī)理相同，因此其等質(zhì)量濃度線是以角平分線為對(duì)稱軸的對(duì)稱曲線。

圖8 水面與岸坡有限寬瞬時(shí)污染源條件下C=10 mg/L的等質(zhì)量濃度線比較

d.當(dāng)水面污染帶寬度L→∞時(shí)，式(9)變?yōu)?/p>

當(dāng)自變量小于零時(shí)，利用誤差函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。這一結(jié)果與文獻(xiàn)［13］半無限水面瞬時(shí)污染源在角形域中相應(yīng)條件下擴(kuò)散的質(zhì)量濃度分布完全一致。

以上討論說明了文中傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶下二維擴(kuò)散的污染物質(zhì)量濃度分布理論計(jì)算公式的合理性。

4 結(jié)論

a.在橫向和垂向擴(kuò)散系數(shù)不相等的條件下，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給出了水面有限寬瞬時(shí)污染源和傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶條件下二維擴(kuò)散污染物質(zhì)量濃度分布的理論計(jì)算公式。

b.在傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶條件下，角形域傾角對(duì)污染物的質(zhì)量濃度分布影響較大，角形域內(nèi)質(zhì)量濃度分布具有隨傾角參數(shù)n為奇、偶數(shù)而不同的特性。

c.計(jì)算點(diǎn)距離岸坡頂點(diǎn)越近，角形域傾角對(duì)污染物質(zhì)量濃度分布的影響越大;橫坐標(biāo)越大，影響越小;水深越大，影響也越小。

d.本文所推導(dǎo)的公式適用于順直傾斜岸坡大寬度深水情況，滿足傾角參數(shù)n為自然數(shù)的傾斜岸水面瞬時(shí)污染帶條件下二維擴(kuò)散污染物質(zhì)量濃度分布的計(jì)算。

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