橢球殼及橢球體轉(zhuǎn)動慣量的簡易推導(dǎo)

劉 紅

（北京物資學(xué)院物流學(xué)院，北京 101149）

橢球殼及橢球體轉(zhuǎn)動慣量的簡易推導(dǎo)

劉 紅

（北京物資學(xué)院物流學(xué)院，北京 101149）

本文利用微積分方法，給出計算球殼、球體轉(zhuǎn)動慣量的一種簡易辦法，又利用正交軸定理，給出橢球殼、橢球體的轉(zhuǎn)動慣量.

轉(zhuǎn)動慣量；球殼；球體；橢球殼；橢球體

在講授《大學(xué)物理》剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，要向同學(xué)們介紹一個新的概念：轉(zhuǎn)動慣性的量度，即轉(zhuǎn)動慣量.在中學(xué)階段，同學(xué)們沒有接觸過這個概念，大學(xué)階段需要講解清楚，一般教科書都會列出幾種常用剛體的轉(zhuǎn)動慣量［1］，然后以例題的形式給出均質(zhì)細(xì)桿、均勻圓環(huán)和圓筒及均質(zhì)圓盤和圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量的推導(dǎo)，但對球殼和球體的轉(zhuǎn)動慣量的推導(dǎo)基本不提，似乎是讓學(xué)生自己練習(xí)得到.從維數(shù)的角度看，球殼、球體屬于三維，比起二維的圓環(huán)、圓盤難度高了一個數(shù)量級.用高難度的題作練習(xí)，不符合學(xué)生的實際能力，往往效果不佳，留下一個漏洞，讓學(xué)生覺得大學(xué)物理很難，沒有思路，無從下手，即使勉強做了，發(fā)現(xiàn)和答案不一樣，自己找不出錯誤的原因，不知是書上給錯了呢，還是自己推導(dǎo)錯了，這種疑慮對大學(xué)物理學(xué)的教學(xué)產(chǎn)生不利影響.

本文通過簡單的推導(dǎo)，讓學(xué)生覺得，自己通過學(xué)習(xí)，把數(shù)學(xué)知識用到物理的具體過程，發(fā)現(xiàn)自己在推導(dǎo)過程中本事變大了，事半功倍.下面就用微積分的思想，給出讓圓環(huán)長大變成球殼，讓球殼長大變成球體，給出球殼、球體的轉(zhuǎn)動慣量，然后延伸到橢球殼、橢球體的轉(zhuǎn)動慣量，開闊學(xué)生眼界，起到交流的作用.

1 讓圓環(huán)長大變成球殼

物理中的圓環(huán)是一個理想的圓環(huán)，質(zhì)量為M，半徑為R，質(zhì)量均勻分布，即均質(zhì)，其線密度λ的定義為單位長度上的質(zhì)量，因為均質(zhì)，所以任何在該線上的一小段，都具有相同的λ.圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的表達式為

現(xiàn)在讓圓環(huán)長大，先讓一個質(zhì)量為M，半徑為R的大圓環(huán)向上長，長成半個球殼，之后乘2得整個球殼.成長中的圓環(huán)，質(zhì)量在變，半徑在變，變到半個球殼時，用積分形式表示如下

如何把變量dm與變量r聯(lián)系在一起呢？用理想均質(zhì)圓環(huán)的線密度作過渡

將式（3）中的dm代入式（2），積分后就得到半個球殼繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

對式（4）乘2，就得整個球殼的轉(zhuǎn)動慣量

2 讓球殼長大變成球體

有了球殼的表達式，球體可以看成是一個半徑很小的球殼，沿半徑的方向長大，長到半徑為R停止，成長中的球殼，質(zhì)量在變，半徑在變，變到一個球體時，用積分形式表示如下

如何把變量dm與變量r聯(lián)系在一起呢？用理想均質(zhì)球體的體密度作過渡，球體從小長大的過程中，體密度保持不變，體密度用ρ表示，其定義為單位體積內(nèi)的質(zhì)量，局部和整體一致

將式（7）中的dm代入式（6）中，積分后可得球體的轉(zhuǎn)動慣量

此種方法被普遍應(yīng)用，是微積分精彩范例之一.

3 讓球殼變成橢球殼

把球殼壓扁一點，對稱性稍有破壞，它的轉(zhuǎn)動慣量如何求呢？我們用已經(jīng)求得的繞固定軸轉(zhuǎn)動慣量的表達式，通過轉(zhuǎn)動慣量正交軸定理［2］，將對成軸z軸的轉(zhuǎn)動慣量，分解到不對稱的正交的x軸和y軸，

對于橢球殼，設(shè)x方向和y方向的半徑分別為R1和R2，根據(jù)式（9），橢球殼的轉(zhuǎn)動慣量為

當(dāng)R1＝R2時，式（10）即為式（5），為球殼的轉(zhuǎn)動慣量.

4 讓球體變成橢球體

橢球體轉(zhuǎn)動慣量的求法，可以按照以上對橢球殼求法的思路，將對稱的軸分解成不對稱的兩個正交軸，半徑分別為R1和R2，則橢球的轉(zhuǎn)動慣量

當(dāng)R1＝R2時，式（11）即為式（8），為球體的轉(zhuǎn)動慣量.

從以上推導(dǎo)可以看到微積分鮮活的生命力，給人形象生動的感覺.而正交軸定理又巧妙地簡化了運算，如果不用正交軸定理，橢球殼和橢球體的求法有一定的計算量［3］.

［1］ 吳百詩.大學(xué)物理［M］（第三次修訂本）.西安：西安交通大學(xué)出版社，91

［2］ 黃國集.益陽師專學(xué)報（自然科學(xué)版），1989，（2）52-55

［3］ 趙新聞，楊兵初，黃生祥.橢球體轉(zhuǎn)動慣量的計算［J］.物理與工程，2007，（2）

2011-07-24；

2011-11-02）

劉紅（1966年出生），女，湖北鄂州市人，博士，副教授，主要從事基礎(chǔ)物理學(xué)的教學(xué).