對勻速率曲線運動的解釋＊

章 曦 李配軍 吳方平 董秋云 馬書云

（解放軍理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理系，江蘇 南京 211101）

對勻速率曲線運動的解釋＊

章 曦 李配軍 吳方平 董秋云 馬書云

（解放軍理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理系，江蘇 南京 211101）

通過理論推導(dǎo)，給出了勻速率曲線運動的規(guī)律；同時將理論結(jié)果與數(shù)值計算進行對比，數(shù)值計算與理論吻合得很好.最后給出了控制勻速率曲線運動的方法.

勻速率曲線運動；運動的規(guī)律；運動的控制

在《對勻速率曲線運動的探討》一文［1］（以下簡稱引文）中，筆者給出了不同情形下質(zhì)點作勻速率曲線運動的軌跡.那么，質(zhì)點作勻速率曲線運動的規(guī)律是什么呢？

1 理論與方法

t＝1s時刻，an＝0（見圖3（a）），此瞬間質(zhì)點作勻速直線運動；同樣，t＝2s時刻，質(zhì)點也是作勻速直線運動.這兩條直線（見圖1（d））之間的夾角就是第二秒內(nèi)質(zhì)點運動方向所轉(zhuǎn)過的角度.考慮到函數(shù)形式的周期性，第n（n為1到30內(nèi)任一正整數(shù)）秒內(nèi)質(zhì)點運動軌跡的切線方向所轉(zhuǎn)過的角度φ是一樣的.

下面來推導(dǎo)角度φ的具體值.考慮一段無窮小的時間間隔dt，這一段時間內(nèi)質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為ωdt，利用質(zhì)點作曲線運動的性質(zhì)［2］，得φ＝這里g＝an／v，與引文中的定義相同.取t1＝1s、t2＝2s，得：φ＝600／π，實際上就是曲線下第二秒內(nèi)的面積S.

圖1 不同時刻質(zhì)點的運動軌跡

2 數(shù)值計算

接下來給出數(shù)值計算（這一工作在 Matlab［3］中完成）的結(jié)果，對理論結(jié)果進行驗證.首先給出利用計算機求解φ值的方法.如圖2，t＝1s時刻質(zhì)點的運動方向可以用t＝0.999s時刻和t＝1.001s時刻質(zhì)點位置所確定的直線來近似；同樣的，t＝2s時刻質(zhì)點的運動方向可以用t＝1.999s時刻和t＝2.001s時刻質(zhì)點位置所確定的直線來近似.這樣，就可以進一步計算出第二秒內(nèi)質(zhì)點所轉(zhuǎn)過的角度φ.

圖2 數(shù)值計算角度φ的方法

（2）式，參見圖3（c）

對于這兩種情形，對應(yīng)于不同的C值，表1也給出了φ值（分別記為φ2和φ3）的數(shù)值計算結(jié)果.該結(jié)果與理論值也是相吻合的.

表1 不同情形下第二秒內(nèi)質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度φ值的數(shù)值計算結(jié)果

圖3 g的幾種不同函數(shù)形式

3 結(jié)論與分析

值得注意的是，對于C的幾種不同取值，φ3的取值為π或0（忽略數(shù)值計算的誤差）.基于這一原理，我們可以對勻速率曲線運動進行控制.在引文中，g情形下，質(zhì)點的運動軌跡是不閉合的，而我們只給出了30s內(nèi)質(zhì)點的運動軌跡.事實上，隨著時間的演化，質(zhì)點的運動軌跡會變得越來越復(fù)雜，藝術(shù)上的美感也會大大減弱.

這里，我們可以通過對g函數(shù)形式的限制來得到一個閉合的運動軌跡.比如取為式（2）的表達形式，其中C＝324.此時，質(zhì)點的運動軌跡如圖4（a）所示.這種情況下，質(zhì)點的運動軌跡是閉合的；即使時間趨于無窮大，質(zhì)點的運動軌跡依然保持不變.

通過參數(shù)的調(diào)節(jié)，我們可以得到任意數(shù)目的“漩渦”.當(dāng)C＝319時，質(zhì)點的運動軌跡如圖4（b）所示.當(dāng)C＝320＋8／7時，質(zhì)點的運動軌跡如圖4（c）所示；當(dāng)C＝320＋8／9時，質(zhì)點的運動軌跡如圖4（d）所示.

注意到C＝321和C＝319時，質(zhì)點的運動軌跡中的“漩渦”數(shù)同為8個，但運動軌跡有著細微的差別，C＝321時質(zhì)點的運動軌跡類似于圖4（c）和圖4（d）（沒有給出）.

圖4 對勻速率曲線運動的控制

［1］ 章曦等.對勻速率曲線運動的探討［J］.大學(xué)物理，2009，28（6）：9～11

［2］ 周衍柏.理論力學(xué)教程［M］ 2版.北京：高等教育出版社，1986.3：17

［3］ 張志涌.精通 MATLAB6.5［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.3

2011-05-31；

2011-09-27）

解放軍理工大學(xué)理學(xué)院青年預(yù)研基金（QN-WL-2009-06）和解放軍理工大學(xué)青年預(yù)研基金（20110521）資助.

章曦（1983年出生），男，安徽巢湖人，解放軍理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理系講師，碩士，主要從事混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和激光探潛方面的研究.