例談《高等代數(shù)》與《解析幾何》的關(guān)聯(lián)

宋元鳳，李武明

（通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化 134002）

《解析幾何》與《高等代數(shù)》是不可分割的，《解析幾何》是以《高等代數(shù)》的知識(shí)為主要研究工具的一門學(xué)科，沒有《高等代數(shù)》這個(gè)主要工具，就沒有《解析幾何》這門學(xué)科;代數(shù)中討論的很多對(duì)象是以幾何為背景，又進(jìn)一步推廣出來的，盡管《高等代數(shù)》比較抽象，但是可以利用鮮明的幾何背景使其更易于理解.

本文將從行列式與向量關(guān)系、線性方程組與面面關(guān)系、矩陣與二次曲線關(guān)系、矩陣與二次曲面關(guān)系四個(gè)方面闡述《高等代數(shù)》與《解析幾何》的密切關(guān)系.

1 行列式與向量關(guān)系

當(dāng)n=3時(shí)，它的幾何解釋為:

把行列式的行看作向量在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，設(shè)

即3級(jí)行列式的值恰好是平行六面體的體積，其中平行六面體的邊為行列式的各行所形成的向量.

即因?yàn)?α2，α2，α3共面，所以 α2，α2，α3的混合積為0，這與上面3級(jí)行列式為0是一致的.

同理有 α3·（α2×α3）=0.

類似的，把行列式的列看作向量在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，也可得到類似的結(jié)論.

2 線性方程組與面面關(guān)系

2.1 齊次線性方程組與面面關(guān)系

設(shè)齊次線性方程組為

當(dāng)n=3時(shí)，它就有了明顯的幾何意義，下面對(duì)此做具體說明.

當(dāng)R（A）=3時(shí)方程組只有零解.從幾何角度看，在空間直角坐標(biāo)系下，方程組的解表示s個(gè)通過原點(diǎn)的平面只交于原點(diǎn).

事實(shí)上，齊次線性方程組的s個(gè)方程可看成空間直角坐標(biāo)系下的s個(gè)平面方程.

設(shè)

平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0，

平面π2:a21x1+a22x2+a23x3=0，

……

平面πs:as1x1+as2x2+as3x3=0，則它們對(duì)應(yīng)的法向量分別是

n2=（a21，a22，a23），…，ns=（as1，as2，as3），因?yàn)镽（A）=3，所以其中三個(gè)法向量線性無關(guān)，不妨設(shè)n1，n2，n3線性無關(guān)，所以平面π1與平面π2相交于過原點(diǎn)的直線l，設(shè)l的方向向量為v，則n1⊥v，n2⊥v，所以v垂直于n1，n2所在的平面.因?yàn)閚1，n2，n3線性無關(guān)，所以v不垂直于n3，即直線l不在平面π3上，所以平面 π1，π2，π3的交點(diǎn)只有原點(diǎn)，因?yàn)?π1，π2，…，πs都過原點(diǎn)，因此平面 π1，π2，…，πs的交點(diǎn)只有原點(diǎn).

當(dāng)R（A）=2＜3時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系中解向量個(gè)數(shù)為1，設(shè)為η，方程組的全部解為kη，k為任意常數(shù).

當(dāng)R（A）=1＜3時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2，設(shè)為η1，η2方程組全部解為k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數(shù).

從幾何上看，因?yàn)镽（A）=1，所以原方程組的所有方程都表示同一個(gè)平面，因而方程組的解向量都在平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0上，這與方程組的全部解為k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數(shù)是一致的，即所有解在η1，η2所確定的過原點(diǎn)的平面上.

2.2 非齊次線性方程組與面面關(guān)系

設(shè)非齊次線性方程組為

當(dāng)n=3時(shí)，它就有了明顯的幾何意義，下面對(duì)此做具體說明.在文獻(xiàn)［2］中作者已經(jīng)闡述的很全面了，下面從另一個(gè)角度闡述.

事實(shí)上，非齊次線性方程組的s個(gè)方程可看成空間直角坐標(biāo)系下的s個(gè)平面方程.

設(shè)

當(dāng)R（A）=R（珔A）=3 時(shí)，從幾何上看，這s個(gè)平面只有一個(gè)交點(diǎn)γ0.

當(dāng)R（A）=R（珔A）=2時(shí)，方程組的全部解為η0+kη，k為任意常數(shù)，其中η0為非齊次線性方程組的一個(gè)特解，η為它的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.從幾何上看，這s個(gè)平面相交于一條直線，我們知道它的導(dǎo)出組的解是一條過原點(diǎn)的直線，而這兩條直線是互相平行的.即平面π1，π2，…πs的交線是過原點(diǎn)的直線l，而直線l沿著 η0平移就得到平面 ψ1，ψ2，…，ψs的交線.

當(dāng)R（A）=R（珔A）=1時(shí)，方程組的全部解為η0+k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數(shù)，其中 η0為非齊次線性方程組的一個(gè)特解，η1，η2為它的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.從幾何上看，這s個(gè)平面相交于一個(gè)平面，它的導(dǎo)出組的解是一個(gè)過原點(diǎn)的平面，而這兩個(gè)平面是平行的.即平面 π1，π2，…，πs相交于過原點(diǎn)的平面π，而平面π沿著η0平移就得到平面ψ1，ψ2，…，ψs的交點(diǎn)軌跡.

當(dāng)R（A）≠R（珔A）時(shí)，方程組無解.從幾何上看，易知，至少有兩個(gè)平面是平行的，所以這s個(gè)平面無交點(diǎn).

3 矩陣與二次曲線關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系下，任何一個(gè)二元二次方程a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0都與一個(gè)二次曲線相對(duì)應(yīng)，而為了刻畫二次曲線圖形，常常把二次曲線方程用矩陣來表示.即

這種二次曲線的矩陣表示它的意義是重大的，我們可以通過對(duì)二次曲線的矩陣做變換而得到二次曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形，從而來刻畫二次曲線圖形，且可以依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)二次曲線進(jìn)行分類.

4 矩陣與二次曲面關(guān)系

在空間直角坐標(biāo)系下，任何一個(gè)三元二次方程

都與一個(gè)二次曲面相對(duì)應(yīng)，而為了刻畫二次曲面圖形，常常把二次曲面方程用矩陣來表示.即

類似于二次曲線，這種二次曲面的矩陣表示也是非常重要的.

本文僅從行列式與向量關(guān)系、線性方程組與面面關(guān)系、矩陣與二次曲線關(guān)系、矩陣與二次曲面關(guān)系這四個(gè)方面闡述《高等代數(shù)》與《解析幾何》的相通性，其實(shí)《高等代數(shù)》與《解析幾何》的相通性還有其它方面，有待繼續(xù)探討.

:

［1］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］姜景蓮.淺談高等代數(shù)教學(xué)中的幾何解釋［J］.南平師專學(xué)報(bào)，1998，17（4）:29－32.

［3］呂林根，許子道.解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］薛娜，馬軼軒.高等代數(shù)與解析幾何合并教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)［J］.科技咨訊，2007（19）:108.