非線性方程求根的高階迭代方法

倪克琳，李寶毅

非線性方程求根的高階迭代方法

倪克琳，李寶毅

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

通過(guò)對(duì)已有誤差方程進(jìn)行加權(quán)組合，消去較低階數(shù)，得到了3個(gè)新的帶參數(shù)四階收斂迭代公式和1個(gè)新的五階收斂迭代公式，收斂效率分別達(dá)到了1．587和1．495，并證明了這些公式的局部高階收斂性．最后通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了這些方法的有效性．

非線性方程；Newton法；迭代方法；四階收斂；五階收斂

在科學(xué)與工程計(jì)算中經(jīng)常遇到非線性方程f（x）＝0，這類(lèi)問(wèn)題常常不能用解析方法求得其精確解，而只能用數(shù)值方法求得其近似解．常用的數(shù)值方法主要有簡(jiǎn)單迭代法、牛頓迭代法、弦割法、拋物線法等［1－4］，其中牛頓迭代法（CN法）是非線性方程求根的一種基本方法．

牛頓法是求解非線性方程近似根的一個(gè)有效方法，它需要用到函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，是眾所周知且應(yīng)用最廣泛的公式．牛頓法對(duì)于單根通常具有二階收斂速度，如何對(duì)該方法進(jìn)行修改，使之具有更高的收斂速度是當(dāng)今國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一．目前已有許多新的迭代公式被提出［1－7］，迭代收斂階數(shù)得到了明顯提高．本研究基于已有公式，對(duì)它們的誤差方程進(jìn)行加權(quán)組合，消去較低階數(shù)，得到了一些新的四階和五階收斂迭代方法．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)α∈R，xn∈R，n＝0，1，2，…．若對(duì)于某迭代法，有序列｛xn｝收斂于α，第k次迭代誤差ek＝xk－α，且存在常數(shù)c≥0，非負(fù)整數(shù)p，使得，則稱(chēng)迭代序列｛xn｝是p階收斂的．ek＋1＝cekp＋ O（ep＋1k）稱(chēng)為誤差方程．

定義2 設(shè)｛xn｝是p階收斂（p≥1）的迭代序列，每一步迭代中計(jì)算函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值的次數(shù)和為μ，則稱(chēng)E＝為迭代法的收斂效率．

式（1）的誤差方程為

式（2）的誤差方程為

證明 f（xk）、f′（xk）、f（yk）、f′（yk）在α處的Taylor展開(kāi)式為：

由式（3）～式（6）可得

將式（13）、式（7）～式（10）做線性組合，表出系數(shù)分別為ω、a1、a2、a3、a4，則有

令ek、e2k、e3k的系數(shù)分別為1、0、0，解方程得，則式（15）變?yōu)?/p>

由此可得式（1）及其誤差方程．

將式（14）、式（7）～式（10）做線性組合，表出系數(shù)分別為β、b1、b2、b3、b4，則有

令ek、ek2、ek3的系數(shù)分別為1、0、0，解得b1＝1－，b2＝1，b3＝－，b4＝－β，則式（16）變?yōu)?/p>

由此可得式（2）及其誤差方程．證畢．

2 新的迭代方法

令ek、ek4的系數(shù)分別為1、0，解得則式（18）轉(zhuǎn)化為

由此得到式（17）及其誤差方程．證畢

其中γ是參數(shù)，且其誤差方程為ek＋1＝（2γC32－C2C3）e4k＋O（e5k）．

再由式（7）、式（10）、式（20）～式（22）即可得式（19）的誤差方程．證畢．

其誤差方程為ek＋1＝［C22（1＋2γ－2ω－2ωγ）－C2C3］e4k＋O（e5k）．

再由式（7）、式（10）、式（20）、式（24）即可得式（23）的誤差方程．證畢．

其誤差方程為ek＋1＝－［C2C3＋C32（－1＋βγ－2β－2γ）］e4k＋O（e5k）．

定理中四階收斂的迭代公式（19）、（23）、（25）均需要計(jì)算2次函數(shù)值和1次一階導(dǎo)數(shù)值，因此它們的收斂效率均等于≈1．587．而五階收斂的迭代公式（17）需要計(jì)算2次函數(shù)值和2次一階導(dǎo)數(shù)值，因此它的收斂效率等于≈1．495．

3 數(shù)值結(jié)果

以下數(shù)值結(jié)果均使用Mathematica7．0求得．在計(jì)算機(jī)程序中設(shè)定終止條件為：（?。黿n＋1－xn｜＜ε；（ⅱ）｜f（xn）｜＜ε；（ⅲ）最大迭代次數(shù)為150．當(dāng)滿(mǎn)足中止條件時(shí)，xn＋1就看作精確根α的計(jì)算值．各種迭代算法中均取ε＝10－18．使用以下常用函數(shù)進(jìn)行測(cè)試［6］：

表1和表2是將所得到的新迭代公式中的參數(shù)取不同值并與經(jīng)典公式做對(duì)比，進(jìn)而比較各公式的收斂速度．其中IT是當(dāng)結(jié)果充分接近0時(shí)的迭代次數(shù)，NEF是迭代過(guò)程中總的計(jì)算函數(shù)的次數(shù)．表中符號(hào)表示公式如下：

表1 各種迭代公式迭代次數(shù)、總函數(shù)計(jì)算次數(shù)比較（β＝－1，ω＝，γ＝）Tab．1 Comparison of total number of times of function calculating and iterations of every iterative method（β＝－1，ω＝，γ＝）

表1 各種迭代公式迭代次數(shù)、總函數(shù)計(jì)算次數(shù)比較（β＝－1，ω＝，γ＝）Tab．1 Comparison of total number of times of function calculating and iterations of every iterative method（β＝－1，ω＝，γ＝）

f（x）IT NEF初值NM KM OM CM1CM2CM3CM4NM KM OM CM1CM2CM3CM4 f1－0．5 100 11 15 32 11 14 14 200 33 45 96 33 42 56 f1－0．3 55 49 61 28 8 45 6 110 147 183 84 24 135 24 f2－1．5 6 4 4 4 4 4 43 12 12 12 12 12 12 172 f21．5 6 4 4 4 4 4 3 12 12 12 12 12 12 12 f3－1 5 5 3 3 3 3 3 10 15 9 9 9 9 12 f33 27 7 12 3 15 10 10 54 21 36 9 45 30 40 f4－1．5 6 5 4 4 4 4 4 12 15 12 12 12 12 16 f41．5 6 5 4 4 4 4 4 12 15 12 12 12 12 16 f53 8 5 5 5 4 4 4 16 15 15 15 12 12 16 f54 8 6 5 5 5 5 4 16 18 15 15 15 15 16 f60．2 5 4 3 3 3 4 3 10 12 9 9 9 12 12 f61 6 4 4 4 4 7 4 12 12 12 12 12 21 16 f70．5 5 4 3 3 3 3 3 10 12 9 9 9 9 12 f71 5 3 3 3 3 3 3 10 9 9 9 9 9 12 f8－1．3 5 4 3 3 3 3 3 10 12 9 9 9 9 12 f80．3 21 15 6 11 12 15 14 42 45 18 33 36 45 56

表2 各種迭代公式迭代次數(shù)、總函數(shù)計(jì)算次數(shù)比較（β＝1，ω＝1，γ＝1）Tab．2 Comparison of total number of times of function calculating and iterations of every iterative method（β＝1，ω＝1，γ＝1）

表1和表2的結(jié)果顯示，本研究迭代法的收斂速度比牛頓法快很多且需要計(jì)算的函數(shù)值要少．此外根據(jù)所測(cè)試的多個(gè)函數(shù)可以看出，本研究方法收斂速度與那些著名的經(jīng)典方法基本相同，且總的計(jì)算函數(shù)的數(shù)量大體相同．

［1］ RICHARD I，BURDEN J，DOUGLAS F．Numerical Analysis［M］．Beijing：Higher Education Press，2001．

［2］ FRINTINI M，SORMANI E．Some variant of Newton＇s method with third－order convergence［J］．Comput Appl Math，2004，140：419－426．

［3］ HOMEIER H H H．On Newton－type methods with cubic convergence［J］．Comput Appl Math，2005，176：425－432．

［4］ POTRA F A，PTAK V．Nondiscrete induction and iterative processes［J］．Research Notes in Mathematics，1984，29（3）：505－506．

［5］ CHUN C．A simply constructed third－order modifications of Newton＇s method［J］．Comput Appl Math，2008，219：81－89．

［6］ CHUN C．Construction of Newton－like iteration methods for solving nonlinear equations［J］．Numer Math，2006，104（3）：297－315．

［7］ OSTROWSKI A M．Solution of Equations and Systems of Equations［M］．New York：Academic Press，1966．

（責(zé)任編校 馬新光）

High－order iterative method for searching root of nonlinear equation

NI Ke－lin，LI Bao－yi
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Three new fourth order convergent iteration formulas with parameters and a new five order convergent iteration formula are obtained by using the weighted combination of existing error equations and eliminating the lower order terms，and their convergence efficiencies reach to 1．587and 1．495respectively．The local high order convergences of the formulas are determined，and the effectiveness of these methods are verified by using numerical examples．

nonlinear equation；Newton method；iterative method；fourth order convergence；five order convergence

book=2012,ebook=26

O241．7

A

1671－1114（2012）02－0032－06

2011－09－07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11026197）

倪克琳（1987－），女，碩士研究生．

李寶毅（1963－），男，教授，主要從事常微分方程及其應(yīng)用方面的研究．