基于酉變換的虛擬陣列DOA估計算法

閆金山，彭秀艷，王咸鵬

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，150001哈爾濱)

波達方向估計一直都是陣列信號處理的一個重要內(nèi)容，在通信、雷達與聲納等領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用.很多高分辨率子空間類算法比如MUSIC算法［1］和ESPRIT算法［2］在最近這些年得到了很大的發(fā)展.但這些算法都是在對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值分解基礎(chǔ)上進行，為了獲得良好的估計性能，往往需要上百甚至上千的采樣拍數(shù).且在信源相干時，這些傳統(tǒng)的子空間類算法性能會急驟下降，甚至失效，導(dǎo)致無法估計出信源的波達方向.

為了能夠解決這些問題，很多學(xué)者針對相干信源提出相關(guān)的解相干技術(shù).文獻［3-4］分別提出了空間平滑算法和前后向空間平滑算法，實現(xiàn)了對相干信源的解相干，但由于空間平滑算法的解相干性能是以損失陣列孔徑為代價的，因此在小采樣拍數(shù)和低信噪比時估計性能急驟下降.文獻［5-7］提出了基于數(shù)據(jù)重構(gòu)的解相干算法，避免了陣列孔徑的損失，提高了角度分辨率，獲得了良好的估計性能，但由于重構(gòu)數(shù)據(jù)需要龐大的計算量，不利于實時處理.文獻［8］提出了一種矩陣束(Matrix pencil，MP)解相干算法，該算法避免了陣列孔徑損失，且減少了一定的計算量，但該算法卻只適用在高信噪比的信號環(huán)境.文獻［9］提出了一種酉變換MUSIC的解相干算法(UMUSIC)能夠在低拍數(shù)下實現(xiàn)相干信源的解相干，但估計性能不是很理想.

本文在虛擬陣列的基礎(chǔ)上提出了用酉變換矩陣對陣列虛擬平移獲得的虛擬陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行處理的方法，得到一個實數(shù)的協(xié)方差數(shù)據(jù)矩陣，利用該數(shù)據(jù)矩陣進行波達方向的估計.該算法不僅沒有損失陣列，陣列分辨率也得到很大的提高，在低信噪比情況擁有很好的估計性能，而且在低采樣拍數(shù)時能夠得到正確的波達方向估計，計算量很小，可以進行實時處理.仿真結(jié)果表明該算法具有很好的解相干性能和良好的估計性能.

1 信號模型

圖1給出由M個陣元組成的均勻等距線性陣列模型，陣元距為d.設(shè)有N個遠場窄帶相干或者非相干的信號以平面波形式從N個方向θi(i=1，2，3，…，n)入射到陣列中，則第k個陣元接收到的信號為

式中:si(t)為在空間參考點測量的第i個期望信號源的復(fù)信號包絡(luò)形式，i(θi)為第i個期望信號相對于參考點的延遲時間，對于均勻等距陣列，i(θi)=(k-1)dsin(θi)/c，c為信號的傳播速度;n(t)為零均值高斯白噪聲.

圖1 陣列信號模型

假設(shè)信號源與噪聲之間互不相關(guān)，且噪聲與噪聲之間互不相關(guān).那么陣列通道通過采樣后接收數(shù)據(jù)的向量表示為

式中:A(θ)=［a(θ1)，a(θ2)，…，a(θn)］為M×N維期望信號的陣列方向矢量，s(t)=［s1(t)，s2(t)，Λ，sn(t)］T為N×1維期望信號矩陣，α(θi)=［1，e-jwi(θi)，e-j2wi(θi)，Λ，e-j(m-1)wi(θi)］T為M×1維的方向矢量，n(t)為M×1陣列接收到的噪聲矩陣.

在陣列接收信號時，若信源之間為相干的，將會導(dǎo)致信號子空間的維數(shù)小于信號源數(shù)，即信號子空間的信息“擴散”到了噪聲子空間，使某些相干信源的方向矢量與噪聲子空間不是完全正交的，從而無法得到正確的估計.針對以上問題，本文提出一種基于酉變換的虛擬陣列DOA估計算法.

2 基于酉變換的虛擬陣列算法

虛擬陣列的目的就是通過虛擬平移構(gòu)建1個滿秩的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，使得期望信號的信息保存在信號子空間中，得到正確的估計結(jié)果.在文獻［10］中已經(jīng)證明對于N個相干信源，經(jīng)過虛擬陣列平移后，只要滿足虛擬陣列的數(shù)目L≥N，使協(xié)方差矩陣恢復(fù)滿秩，就能實現(xiàn)相干信源的解相干.

如圖2所示，陣列虛擬平移的基本原理就是每次將陣列等距地向右平移1個陣元的距離d每次平移形成1個新的陣列，第l(0≤l≤L)個虛擬陣列的接收信號表達為

式中B=diag［exp(j2πdsin(θ1)/λ，exp(j2πdsin(θ2)/λ，…，exp(j2πdsin(θn)/λ］為維數(shù)為N×N的陣列虛擬平移變換矩陣.nl(t)為第l個虛擬陣列通道中接收的噪聲.

圖2向右等陣元距虛擬平移形成虛擬陣列原理圖

在單拍采樣的情況下，L個虛擬陣列輸出數(shù)據(jù)為維數(shù)N×(L+1)的矩陣，可表示為

定義一個反對角置換矩陣，在反對角線上元素全部為1，其余元素全部為0，表示為

用反對角置換矩陣J重構(gòu)陣列接收數(shù)據(jù)，得到一個包含更多信號信息的數(shù)據(jù)矩陣W，即

由數(shù)據(jù)矩陣W構(gòu)成的協(xié)方差矩陣為

式中:J=JH，RY為虛擬陣列在單拍數(shù)采樣下輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣.

由式(5)、(7)可得

式(7)中所包含的數(shù)據(jù)都是在復(fù)數(shù)域里面，用MUSIC算法估計波達方向估計中，需要對協(xié)方差矩陣進行特征分解和波峰峰值搜索，在復(fù)數(shù)域里面需要進行大量的計算，若轉(zhuǎn)換為實數(shù)域中進行，會減少大量計算復(fù)雜度.由于RW為Centro hermitian矩陣，因此可以定義1個維數(shù)為N×N的酉變換矩陣U，協(xié)方差矩陣RW經(jīng)過酉變換后的實域協(xié)方差矩陣為

式(9)中當N為偶數(shù)時

式(9)中當N為奇數(shù)時

在式(10)中，I和J分別為維數(shù)為［N/2］×［N/2］的單位矩陣和反對角置換矩陣.

在式(11)中，I和J分別為維數(shù)為［(N-1)/2］×［(N-1)/2］的單位矩陣和反對角矩陣，為維數(shù)1×［(N-1)/2］的全零行向量.且觀察酉變換矩陣U可知，U=JU*.

結(jié)合式(7)、(8)可得

式(7)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣是在單拍采樣下得到的，為了得到更好的性能，一般情況下都采用多拍采樣.若采樣總拍數(shù)為p次，則第i(i=1，2，…，p)次采樣陣列輸出的數(shù)據(jù)為

陣列輸出的總數(shù)據(jù)為

在本文的方法中，p取值較小，一般在10以下，這樣更加有利于進行實時處理，利用式(6)可以得到多拍采樣后包含更多信號量的數(shù)據(jù)矩陣H為

則接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣

式中:RT為虛擬陣列在多拍數(shù)采樣下輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，同理可知RH為Centro hermitian矩陣.

由式(9)、(16)可以得到多拍采樣下的實數(shù)協(xié)方差矩陣

對多拍采樣后得到的實值域協(xié)方差矩陣D進行特征值分解，得

式中:Es=［e1，e2，…，en］為多拍采樣下的實值協(xié)方差矩陣對應(yīng)的信號子空間，即大特征值對應(yīng)的特征向量組成的空間.En=［en+1，en+2，…，em］為多拍采樣下的實值協(xié)方差矩陣對應(yīng)的噪聲子空間，即小特征值對應(yīng)的特征向量組成的空間.Λs=diag［λ1，λ2，…，λn］為多拍采樣下的實值協(xié)方差矩陣對應(yīng)的信號特征值，即大的特征值.Λn=diag［λn+1，λn+2，…，λm］為多拍采樣下的實值協(xié)方差矩陣對應(yīng)的噪聲特征值，即小的特征值.

文獻［1］中MUSIC算法利用噪聲空間與陣列方向矢量的正交性，構(gòu)造出空間譜函數(shù)，然后通過搜索空間譜函數(shù)的峰值來確定信號的波達方向，本文采用類似的方法構(gòu)造一個空間譜函數(shù)Pk(θ)，即

式中:En為式(18)中對應(yīng)的噪聲空間，a(θ)為陣列的搜索方向矢量，可以通過搜索空間譜函數(shù)Pk(θ)的峰值得到相干信源的波達方向.這里采用了MUSIC算法估計信源波達方向，也可以采用求根MUSIC算法估計信源波達方向.

3 仿真及性能分析

為了驗證算法的解相干性能和估計性能，這里將本文算法和文獻［9］中提出的UMUSIC算法以及文獻［4］中的前后向空間平滑(FBSS)算法進行比較.

3.1 算法估計特性的仿真比較

試驗條件:陣列為均勻等間距的線陣陣列，陣元距為半個波長，陣元數(shù)為8，2個相干信源分別從-20°和20°入射到陣列中，信噪比均為0dB，采樣拍數(shù)為20和2.

圖3、4分別給出了采樣拍數(shù)為20和2情況下，本文算法和UMUSIC算法的仿真性能對比.可以看出，在采樣拍數(shù)為20時，本文算法和UMUSIC算法均能很好的對相干信源進行解相干，能夠準確地估計出相干信源的波達方向.但在采樣拍數(shù)為2時，UMUSIC方法在估計相干信源波達方向時已經(jīng)出現(xiàn)了干擾的波峰，從而影響估計信源波達方向的精度，這主要是由于UMUISC算法是通過前后向空間平滑解相干，損失了陣列孔徑，估計精度低，低拍數(shù)采樣時更加容易受到噪聲干擾，出現(xiàn)了偽峰，影響估計結(jié)果.本文方法能夠精確地估計出相干信源的波達方向，而且在相干信源的方位形成尖銳的波峰，信源方位之間的譜線幅度壓低至接近0 dB.因此本文的方法具有更高的分辨率，能夠在低采樣拍數(shù)下準確估計出相干信源的波達方向.

圖3 采樣拍數(shù)為20時估計性能比較

3.2 算法統(tǒng)計特性的比較

在2個相干信源的條件下，比較本文方法和UMUSIC算法、FBSS算法的統(tǒng)計性能.8個陣元的均勻等距線性陣列接收2個方位為-10°和20°的相干信源，采樣拍數(shù)為2，仿真結(jié)果為對每個SNR點做500次蒙特卡洛仿真的統(tǒng)計結(jié)果.圖5和圖6分別給出了3種算法的均方根誤差和估計成功概率的性能比較.

圖4 采樣拍數(shù)為2 時估計性能比較

圖5給出了不同信噪比情況下，3種算法的估計均方根誤差的比較曲線.由圖中可以看出，無論是在低信噪比還是在高信噪比環(huán)境中，F(xiàn)BSS方法和UMUSIC算法的估計均方根誤差基本一致，但均比本文方法的均方誤差要大很多，估計性能不是很理想.而本文方法在信噪比RSN為5 dB時，估計均方根誤差已經(jīng)很小，估計性能明顯優(yōu)越于FBSS方法和UMUSIC算法.

圖5 均方根誤差比較曲線

圖6給出了不同信噪比情況下，3種算法的估計成功概率比較曲線.從圖中可知，本文的方法在估計成功概率方面擁有低的信噪比門限，在信噪比為5 dB時估計成功概率達到100%，而FBSS算法和UMUSIC方法在大約13 dB時估計成功概率才能達到100%，因此本文方法能夠在較低的信噪比情況下準確地判斷出相干信源的波達方向.

由于FBSS方法和UMUSIC的解相干是以損失陣列孔徑為代價的，在陣元數(shù)目較少的情況下，估計性能和分辨力都會受到很大的影響.而本文方法不損失陣列孔徑實現(xiàn)了對相干信源的解相干，具有很低的信噪比門限以及較小的均方根誤差和估計方差，因而本文算法在低信噪比環(huán)境下具有更好的解相干性能.

圖6 估計成功概率比較曲線

4 結(jié)論

1)提出了基于酉變換的虛擬陣列DOA估計算法，該方法不僅避免了空間平滑類解相干算法損失的陣列孔徑，而且減少了重構(gòu)矩陣解相干的計算復(fù)雜度.

2)基于酉變換的虛擬陣列DOA估計算法在較少的拍數(shù)和不損失陣列孔徑情況下可有效估計出相干信源的波達方向，運算量小，有利于實時處理，是一種較好的解相干算法.理論分析和仿真結(jié)果驗證了該算法的有效性.

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