重視數(shù)列解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生解題能力

☉江蘇省新沂市高級(jí)中學(xué) 丁金華

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn)，由于在測(cè)試學(xué)生邏輯思維能力和理性思維水平以及在考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力方面有不可替代的作用，2008年及以后的歷年考試說(shuō)明中無(wú)一例外地將等差數(shù)列、等比數(shù)列列為C級(jí)考點(diǎn)要求.在高考中對(duì)數(shù)列的基本方法，基本技能的考察常常與函數(shù)、方程、不等式等其它知識(shí)綜合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究中知識(shí)的遷移、組合、融匯等能力，近而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識(shí)及發(fā)揮創(chuàng)造能力提供了廣闊的空間.

一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師要能夠拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，通過(guò)這道題，就像給學(xué)生打開(kāi)一扇大門(mén)，把學(xué)生引入另一個(gè)完整的領(lǐng)域.鑒于以上的原因，非常有必要對(duì)數(shù)列的解題教學(xué)進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析與總結(jié).本文從幾個(gè)具體實(shí)例出發(fā)，就數(shù)列單元解題教學(xué)中要注意的幾點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單的梳理.

一、樹(shù)立函數(shù)觀念

雖然教材（即使是傳統(tǒng)教材）明確點(diǎn)明，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，但從長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐看，相當(dāng)多的學(xué)生在解數(shù)列題時(shí)并沒(méi)有多少函數(shù)觀念，“數(shù)列是函數(shù)”似乎成了一句可有可無(wú)的點(diǎn)綴，這對(duì)提升解決數(shù)列問(wèn)題的能力是一個(gè)莫大的損失.實(shí)際上，很多數(shù)學(xué)命題的出發(fā)點(diǎn)和著手點(diǎn)針對(duì)的就是數(shù)列是函數(shù)，函數(shù)在處理數(shù)列問(wèn)題中經(jīng)常建立奇功.所以，數(shù)列的解題教學(xué)一定要堅(jiān)持樹(shù)立函數(shù)觀念.

例1 已知兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是An，Bn，且，則使an為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（ ）.bn

A.2 B.3 C.4 D.5

顯然n取1、2、3、5、11時(shí)，滿足題意.應(yīng)選D.

當(dāng)然本題還可以使用中項(xiàng)公式法，此處就不再詳述.

二、融入數(shù)學(xué)模式

在數(shù)列的訓(xùn)練題中，時(shí)刻關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生據(jù)a1，d（q），n，an，sn幾個(gè)量之間進(jìn)行知三求一或知三求二訓(xùn)練，隨著學(xué)習(xí)的深入，我們應(yīng)該越來(lái)越重視數(shù)學(xué)的模式化，由具體習(xí)題歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律，重視學(xué)生從實(shí)際解題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力.在解題訓(xùn)練中融入數(shù)學(xué)模式的內(nèi)容：知三求二是數(shù)列最為重要題型，處理時(shí)要使用方程或方程組，解題時(shí)要堅(jiān)決，要自信.

例2 設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn.

（2）求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)一切正整數(shù)k都有成立.

若a1=0，d=6，則an=6n-6.由s3=18，（s3）2=324，s9=216，知s9≠（s3）2，故所得數(shù)列不符合題意.

當(dāng)a1=1時(shí)，代入②，得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，則an=1，sn=n，從而sk2=（sk）2成立；

若a1=1，d=2，則an=2n-1，sn=1+2+3+…+（2n+1）=n2，從而sk2=（sk）2成立.

綜上，有三個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列，an=0，an=1，an=2n-1.

三、重視思維轉(zhuǎn)換

特殊化、一般化、具體化、抽象化都是數(shù)列中常用的思維方式，對(duì)于比較抽象的數(shù)列問(wèn)題要善于從特例入手，進(jìn)行個(gè)別試驗(yàn)，然后對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析、歸納、抽象、概括、作出猜想，再證明其正確性，即從特殊到一般.對(duì)于有些數(shù)列問(wèn)題（比如數(shù)列應(yīng)用題），如從特例入手，問(wèn)題求解反而復(fù)雜，這時(shí)從一般入手（如尋求遞推關(guān)系或構(gòu)造輔助數(shù)列）反而能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)潔解法.因此，從“特殊到一般”、“從一般到特殊”甚至從“一般到一般”的轉(zhuǎn)換，構(gòu)成數(shù)列解題的一大特色，解題教學(xué)要重視思維過(guò)程的轉(zhuǎn)換.

如上例題雖然不難，但“一般——特殊——一般”的轉(zhuǎn)換手法，恰恰是初學(xué)者所不習(xí)慣的，但又是學(xué)好數(shù)列所必備的，需要教師在解題教學(xué)中強(qiáng)化引導(dǎo).

四、促進(jìn)學(xué)生生成

引導(dǎo)學(xué)生參與公式、定理、解題方法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，并對(duì)發(fā)現(xiàn)過(guò)程進(jìn)行反思，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力有著十分重要的意義，在數(shù)列解題教學(xué)過(guò)程中，對(duì)重要的解題方法和重要的解題結(jié)論的形成要有足夠的耐心，充分做好預(yù)設(shè)，促進(jìn)學(xué)生自己生成.

例4 已知等比數(shù)列{an}第一項(xiàng)為a1，公比為q，求它的前n項(xiàng)和sn（即為推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式）.

在處理本題時(shí)，多數(shù)同行的教學(xué)設(shè)計(jì)為類比等差數(shù)列求和公式的倒序相加法，給出本題的錯(cuò)位相減法，并給出過(guò)程和結(jié)論.實(shí)際上，不要低估學(xué)生的探索能力，更不要急于完成課堂任務(wù).把問(wèn)題交給學(xué)生，付出足夠耐心和等待，教師將收獲足夠驚喜，學(xué)生會(huì)收獲足夠方法.

以下是學(xué)生經(jīng)分組討論，探究出的本題的三種解法的過(guò)程：

經(jīng)歷此番的探索和數(shù)學(xué)經(jīng)歷過(guò)程，同學(xué)們對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解更為深入，以后對(duì)公式的應(yīng)用一定會(huì)更加熟練.促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)是新課改對(duì)每一位數(shù)學(xué)老師提出的新要求，作好充分的預(yù)設(shè)，促進(jìn)學(xué)生自主生成，教師給之以舞臺(tái)，學(xué)生報(bào)之以驚喜.