讓學(xué)生成為靈動的“舞”者、智性的“悟”者——動感數(shù)學(xué)課堂初探

☉江蘇省如皋中學(xué) 姚新國

讓學(xué)生成為靈動的“舞”者、智性的“悟”者
——動感數(shù)學(xué)課堂初探

☉江蘇省如皋中學(xué) 姚新國

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生能力的核心是誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就應(yīng)該為學(xué)生搭建一個“動感”平臺，讓學(xué)生在主動活動的過程中自我調(diào)動各種感官，即動眼觀察、動耳傾聽、動手操作、動口交流、動腦思考，感悟?qū)W習(xí)過程中成功的喜悅，體驗學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)思維的流暢性、知識生成的動態(tài)性、合作探究的愉悅性，在寬松、自由、開放的動態(tài)課堂中提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

怎樣讓數(shù)學(xué)課堂成為“動感地帶”呢？筆者認(rèn)為首先要落實好成為“動感地帶”的三要素．

一、數(shù)學(xué)課堂成為“動感地帶”的三要素

1．給學(xué)生動感的源泉

筆者發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)課堂還是教師“自導(dǎo)自演”，學(xué)生參與度不高，缺乏參與的激情是其中一個不容忽視的重要原因，在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)緊扣教學(xué)內(nèi)容和啟迪學(xué)生思維的問題情境，無疑會使課堂充滿情趣，有利于激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生求知欲，激發(fā)學(xué)生“動”的熱情．如推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時，可先讓學(xué)生回憶等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)思路，學(xué)生發(fā)現(xiàn)首尾兩項之間和的關(guān)系，將中間的項兩兩合并為首尾兩項的和，目的是將中間所有項消去，那么等比數(shù)列求和公式能否通過某個技巧，也將部分中間的項消去，用簡潔美觀的公式表示呢？再如認(rèn)識橢圓概念時，可進(jìn)行實驗演示，如有圓柱形的半杯水，觀察杯子傾斜時水面的形狀等.［1］

2.讓學(xué)生成為靈動的“舞者”

高中學(xué)生已經(jīng)有了一定的分析能力和是非判斷能力，他們希望能與教師在互相尊重、信任的基礎(chǔ)上，通過傾聽、言談、展示進(jìn)行多向溝通.在我們的課堂上要減少灌輸，多些溝通，讓學(xué)生愿意去思考，學(xué)會思考，這樣我們所希望的學(xué)生自己動手操作、實踐探究、主動觀察、試驗、猜想、驗證、得結(jié)論、將結(jié)論推廣和應(yīng)用的范式教學(xué)才能真正落到實處，成為我們的常態(tài)教學(xué)范式，從而保證課堂和諧流暢，讓學(xué)生成為靈動的“舞者”.

3.讓學(xué)生成為智性的“悟”者

在我們的課堂教學(xué)中，教師不僅要給學(xué)生知識、技能，更要給學(xué)生研究問題的方法和努力的方向，進(jìn)一步能提出問題，這樣的課堂教學(xué)常常讓學(xué)生感覺有自己的發(fā)現(xiàn)，感覺有成就感，逐步建立自信心.要達(dá)到這個目標(biāo)，則必須給學(xué)生時間和空間，在反思和感悟中讓學(xué)生成為智性的“悟”者.

二、新授課中的“動感地帶”

下面筆者結(jié)合新授課和習(xí)題課兩個案例談?wù)劸唧w的操作過程.

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生“動”的熱情

學(xué)生思考片刻.教師繼續(xù)點撥，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

學(xué)生產(chǎn)生了探究的欲望，部分學(xué)生開始動筆作圖，還有部分學(xué)生相互討論、爭辯，一個個忙得不亦樂乎.教師巡視發(fā)現(xiàn)有學(xué)生從特殊情況入手，通過畫圖去探求直線.

師：請某個小組展示本組的研究成果.

生：雙曲線的圖形在以直線為邊界的平面區(qū)域內(nèi).

師：你是怎樣得到的？

生：畫圖，從圖形觀察得來的.

生：根據(jù)對稱性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線y=x的關(guān)系.

師：請同學(xué)們交流展示你們的研究方法和結(jié)果.

生：猜想：直線與雙曲線沒有交點，都向右上方無限延伸，并且無限接近.

師：他的猜想正確嗎？能給出證明嗎？

教師在提問時，要讓學(xué)生體會到如何提問，即告訴學(xué)生提問的角度和創(chuàng)設(shè)問題的方式方法和問題的表達(dá)方式.

探究到這里，學(xué)生研究問題的欲望非常迫切，非常想證實自己的猜想，這時給他們獨立思考探究的時間，讓他們真正有所得.

2.“感”的基石——交流探究

在我們的課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生真正有所得有所感悟，教師必須讓學(xué)生參與到知識與技能的形成過程中來，體驗過程，交流探究.在探究時教師要指明探究方向和探究方法.［2］

3.深化理解感悟提升

研究一個新問題，首先要確定研究的方法和思路.我們研究解析幾何等問題的思路一般都是從形的方面直觀感知，提出猜想，驗證，修正猜想，再從數(shù)的方面進(jìn)行邏輯論證.

師：請同學(xué)們結(jié)合剛才解決問題的過程總結(jié)一下自己有什么收獲.你還能繼續(xù)探求出與雙曲線漸近線有關(guān)的結(jié)論嗎？

感悟：（1）總結(jié)研究問題的方法.

（3）在我們所研究的圖像或曲線中，還有哪些圖像或曲線也具有漸近線性質(zhì)呢？

三、習(xí)題課中的“動感地帶”

1．變式設(shè)問，產(chǎn)生“動”的火花

在課堂教學(xué)中，教師要放手讓學(xué)生思考，尋找解題思路，通過變式設(shè)問，激起學(xué)生的探究欲望，增強學(xué)生的探究意識．讓學(xué)生掌握變式的思路、規(guī)律和方向，逐漸讓學(xué)生學(xué)會自己變式，自己提出有價值的問題來研究．

師：請大家獨立思考．

學(xué)生通過設(shè)點P的坐標(biāo)很快就能求出kA1P·kA2P的值為定值．

在此基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計了如下問題：

師：（1）將“證明：kA1P·kA2P為定值”改為“探究kA1P·kA2P是否為定值”．

（2）將長軸A1A2改為短軸B1B2，那么kPB1·kPB2是否為定值呢？

（3）在探究過程中大家能否發(fā)現(xiàn)、提出更多值得我們研究的問題呢？

學(xué)生在“問題鏈”和“變式設(shè)問”的引導(dǎo)下，步步深入，真正地“動”起來．

2．“動”的延伸——意義建構(gòu)

學(xué)生的思維激情一旦被激起，通過自主探究思考，他們肯定會積極交流自己的思考成果，主動展示自己解決問題的思路、方法，甚至是探求中的困惑．通過獨自思考，再交流探究，學(xué)生不僅掌握了問題的多種求解方法，拓展了解題思路，更為重要的是激起了學(xué)生的思維激情，逐步形成了探究的意識，將學(xué)生思維的“動”進(jìn)一步調(diào)動起來，同時在“動”的過程中，進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，有時也可發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識缺陷和思維水平的差異．

在研究了長軸的兩個端點改為短軸兩個端點后，我們知道kPB1·kPB2為定值，并且定值與kA1P·kA2P的定值相等．

師：這個定值到底與什么有關(guān)？能否將此結(jié)論推廣到一般情形呢？

師：此結(jié)論是正確的．探究方向是：從特殊到一般的探究．能否類比到雙曲線得出類似的結(jié)論呢？反之，若A（1－a，0）、A（2a，0），直線PA1、PA2的斜率乘積為－，則動點P的軌跡是什么？

學(xué)生獨立求解后發(fā)現(xiàn)軌跡是橢圓，并且點B、C是橢圓長軸的端點．根據(jù)剛才的研究學(xué)生也提出了下列結(jié)論：

若A（1－a，0）、A（2a，0），直線PA1、PA2的斜率乘積為，則動點P的軌跡是以A1、A2為實軸端點的雙曲線．

師：請同學(xué)們根據(jù)剛剛的探究過程思考研究這類圓錐曲線的有關(guān)問題的方法．

生：（1）設(shè)點法；

（2）判斷曲線是否為圓錐曲線的依據(jù)有：一是圓錐曲線的定義；二是根據(jù)所求軌跡的方程．

3．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用，觸類旁通

反思1：結(jié)論推廣

問題若A1（－a，0）、A2（a，0），直線PA1、PA2的斜率乘積為m（m≠0、－1），求動點P的軌跡．

結(jié)論 當(dāng)m＞0時，軌跡為雙曲線，A1、A1是雙曲線的頂點；當(dāng)m＜0且m≠－1時，軌跡為橢圓，A1、A2是橢圓長軸的兩端點．

反思2：類比探究

（1）求橢圓C的方程；

（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

學(xué)生首先獨自思考，然后小組合作交流探究．

探究：（1）由焦點（－1，0）、（1，0）得到那些結(jié)論呢？

生：一是設(shè)出橢圓方程，將點代入方程；二是利用定義求出2a．

（3）求出點E的坐標(biāo)后，還需要再用剛剛的方法求點F的坐標(biāo)嗎？

生：根據(jù)“對稱性”，將點E的坐標(biāo)中k替換為－k，可以直接求出點F的坐標(biāo)．

師：聯(lián)想到圓的有關(guān)性質(zhì)：在圓中，圓上任意一點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別交圓于另一點為E、F，則EF的斜率為定值．在橢圓中也有類似的性質(zhì)．

（4）圓中還有其他有關(guān)性質(zhì)能夠類比到圓錐曲線中來嗎？

生：過圓上一點引兩條互相垂直的直線分別交圓于E、F，由∠EPF=90°，得EF始終為直徑，即EF恒經(jīng)過圓心．

結(jié)論 過橢圓上任意一定點A，引互相垂直的兩條弦AB、AC，則BC恒過定點．

在“動感數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)中，如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，向?qū)W生提供充分經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)活動的機會，主動幫助他們在“動感”過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，經(jīng)歷過程積累方法，發(fā)展思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，成為數(shù)學(xué)教師新課程理念下的重要責(zé)任．

1．朱占奎．簡化課堂教學(xué)約定教學(xué)文化［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（3）：8－13．

2．沈紅霞．探究能力培養(yǎng)例說［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2011（10）：26－28．