在反思中探究,在探究中反思：“以某線段為直徑的圓過(guò)某點(diǎn)”問(wèn)題探究

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 徐茂炳

在反思中探究,在探究中反思：“以某線段為直徑的圓過(guò)某點(diǎn)”問(wèn)題探究

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 徐茂炳

原題重現(xiàn)：蘇教版必修2第116頁(yè)第27題

已知圓C：x2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

解法1：教參提供，設(shè)而不求，然后利用韋達(dá)定理．

設(shè)直線方程為y=x+b，將A（x1，y1）、B（x2，y2）代入C：x2+y2－2x+4y－4=0，可得x2+（x+b）2－2x+4（x+b）－4=0，整理得2x2+2（b+1）x+b2+4b－4=0．

因?yàn)椤耙韵褹B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)”，所以x1x2+y1y2=0．

所以x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即b2+3b－4=0，所以b=－4或b=1．

反思1：在南師大編的《數(shù)學(xué)之友》上有這么一段話(huà)“直線與橢圓的復(fù)習(xí)著力于求出其有理根的問(wèn)題（至于使用韋達(dá)定理的解法還是回避為好），特別是直線過(guò)橢圓的特殊點(diǎn)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心），與橢圓的其他交點(diǎn)的坐標(biāo)如何求出，應(yīng)非常熟練”，那么對(duì)于直線與圓的問(wèn)題就更應(yīng)該回避韋達(dá)定理了，因?yàn)閳A有很多橢圓沒(méi)有的性質(zhì)（比如垂徑定理），在教學(xué)中往往因?yàn)榻鉀Q某些問(wèn)題時(shí)韋達(dá)定理比較好用或者教師的解題觀念還沒(méi)有轉(zhuǎn)變過(guò)來(lái)，所以在教學(xué)中還是無(wú)法回避地講解“設(shè)而不求”．因此老師一方面在應(yīng)用“設(shè)而不求”解題，一方面《江蘇省高考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明》又不要求學(xué)生掌握韋達(dá)定理．所以對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)一頭霧水，不知道該用還是不該用．那么教師教學(xué)過(guò)程中應(yīng)如何回避呢？

既然高考不要求掌握韋達(dá)定理或者說(shuō)“設(shè)而不求”，那么教師教學(xué)中當(dāng)然要少用，甚至不用，特別是

對(duì)中等學(xué)生．那么不用這個(gè)“老一套”，又該怎么求解呢？特別是對(duì)于這種“以某線段為直徑的圓過(guò)某點(diǎn)”的問(wèn)題．估計(jì)很少有教師去反思探究，或者有些老師覺(jué)得老辦法不錯(cuò)也就不去多想了．可是到了考試的時(shí)候真正苦的還是學(xué)生．

探究1：首先考慮問(wèn)題的背景是圓．我們初中學(xué)過(guò)“垂徑定理”．高中課本課后有道習(xí)題又介紹了相交弦的求法．這些性質(zhì)在很大程度上簡(jiǎn)化了圓中的很多計(jì)算．

圖1

反思2：解法2從過(guò)程上來(lái)看確實(shí)比“解法1”來(lái)得要慢，運(yùn)算步驟多．所以很多老師即使知道這么寫(xiě)也不給學(xué)生講，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)候非常困難．甚至很多學(xué)生考試的時(shí)候直接“跳過(guò)”．其實(shí)從這幾年高考題來(lái)看，解析幾何一般在第3到第5題之間區(qū)分度非常大，所以解析幾何能夠突破的話(huà)，對(duì)中等學(xué)生來(lái)說(shuō)非常有幫助．

那么解法2應(yīng)不應(yīng)該跟學(xué)生講呢？我覺(jué)得必須要講．理由有三：一是這個(gè)解法和《考試說(shuō)明》的要求一致，沒(méi)有用到“超綱的韋達(dá)定理”，二是垂徑定理是初中比較重要的一個(gè)性質(zhì)，它的應(yīng)用當(dāng)然重要，也是知識(shí)的一個(gè)貫通過(guò)程，三是這個(gè)解法本身告訴我們關(guān)于圓的問(wèn)題我們應(yīng)該考慮圓的性質(zhì)，這樣可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算．

探究2：解法2是從圓的方程入手的，那么我們能否直接從直線的方程切入呢？

解法3：直線CD的方程為y+2=－（x－1），即y=－x－1．

直線AB的方程可設(shè)為y=x+b．

圖2

反思3：解法3和解法2有著異曲同工之妙.兩種解法都回避了設(shè)而不求的方法.與《考試說(shuō)明》高度一致.但是解法3比解法2更直接，而且運(yùn)算更簡(jiǎn)便.但是都應(yīng)用了圓的性質(zhì)去簡(jiǎn)化運(yùn)算和求解.

通過(guò)前面的反思和探究，我想說(shuō)明的是：教師在教學(xué)的過(guò)程中，要緊扣《教學(xué)大綱》和《考試說(shuō)明》，而不是經(jīng)驗(yàn)主義，要以學(xué)生為教學(xué)主體，分析學(xué)生已知的和未知的，尋找適合學(xué)生理解和掌握的方法.雖然解法2和解法3相對(duì)于解法1要浪費(fèi)時(shí)間，感覺(jué)“吃虧”，但是學(xué)生容易接受和理解.

剛才以課本題為例說(shuō)明了“設(shè)而不求”的方法確實(shí)可以在新課程標(biāo)準(zhǔn)中把它刪去.那么江蘇的高考題中是怎么體現(xiàn)的呢？也就是說(shuō)教學(xué)中不介紹“設(shè)而不求”在平時(shí)模擬考試中會(huì)不會(huì)吃虧呢？我想不但不會(huì)吃虧，有時(shí)候反而有優(yōu)勢(shì).至少江蘇高考是這樣的.

（1）求橢圓的方程.

（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+1交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（－1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

圖4

反思4：這道題是2012屆江蘇一模一道聯(lián)考題，這道題考查的是直線與橢圓.如果用韋達(dá)定理“設(shè)而不求”，那解出這道題需要繞很多彎子.反之，如果利用方程的思想“設(shè)而求之”，反而比較容易突破.其實(shí)江蘇近幾年高考題都是這個(gè)套路.大家可以參考文［1］中的《透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)》一文.

教師的教是為了學(xué)生的學(xué).所以教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該研究學(xué)生的學(xué)情和《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，不能一味兒的經(jīng)驗(yàn)主義和拿來(lái)主義.其實(shí)現(xiàn)在很多我們認(rèn)為學(xué)生知道的已經(jīng)在初中教材中刪掉了，比如十字相乘法和韋達(dá)定理.因此我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)該抓住學(xué)生，離開(kāi)了學(xué)生的“教學(xué)”是低效的甚至是無(wú)效的.有時(shí)候我們經(jīng)常責(zé)怪學(xué)生怎么老是不懂或者老是犯錯(cuò)，其實(shí)教師如果多反思自己的教學(xué)的話(huà)，往往更能解決問(wèn)題.在教學(xué)中反思，在反思中教學(xué)，做一個(gè)有思想的教師，才能教出會(huì)思考的學(xué)生.

1.徐茂炳.透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上半月·高中），2012（8）.