動(dòng)圓探索型問(wèn)題賞析

☉江蘇省睢寧縣梁集中學(xué) 田步剛

動(dòng)圓問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)問(wèn)題，近幾年在各地中考試卷中也經(jīng)常出現(xiàn).由于此類試題靈活性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)面較廣，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，常常令學(xué)生束手無(wú)策.因此，如何正確快速地求解成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).本文特選近幾年各地?cái)?shù)學(xué)中考試題舉例如下.

例1 如圖1，點(diǎn)A，B在直線MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半徑均為1cm.⊙A以每秒2cm的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時(shí)間t（s）之間的關(guān)系式為r=1+t（t≥0）.

（1）試寫(xiě)出點(diǎn)A，B之間的距離d（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式.

（2）問(wèn)點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切.

分析：由題意可知，A，B的距離越來(lái)越小，直至兩點(diǎn)重合，而后兩點(diǎn)距離逐漸增大.故要進(jìn)行分類討論.兩圓相切意味著可以內(nèi)切，也可以外切，因此，解決此題的前提是認(rèn)真審題.

解：（1）當(dāng)0≤t≤5.5時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為d=11-2t；

當(dāng)t＞5.5時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為d=2t-11.

（2）兩圓相切可分為如下四種情況：

①當(dāng)兩圓第一次外切，由題意可得11-2t=1+1+t，t=3；

③當(dāng)兩圓第二次內(nèi)切，由題意可得2t-11=1+t-1，t=11；

④當(dāng)兩圓第二次外切，由題意可得2t-11=1+t+1，t=13.

例2 一條拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3）與（4，3）.

（1）求這條拋物線的解析式，并寫(xiě)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）現(xiàn)有一半徑為1、圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo).

（3）⊙P能與兩坐標(biāo)軸都相切嗎？如果不能，試通過(guò)上下平移拋物線y=x2+mx+n使⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切（要說(shuō)明平移方法）.

分析：這是二次函數(shù)與圓的綜合題，這是各地中考試卷中壓軸題的常見(jiàn)類型，難度較大.首先要做好基礎(chǔ)工程——正確求得二次函數(shù)解析式；第（2）問(wèn)中與坐標(biāo)軸相切是一個(gè)陷阱，必須想到既可與y軸相切，也可與x軸相切，因此也要分類討論！

解（1）因?yàn)閽佄锞€過(guò)（0，3），（4，3）兩點(diǎn)，

所以拋物線的解析式是y=x2-4x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）.

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）.

當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，得|x0|=1，所以x0=±1.

由x0=1，得y0=12-4+3=0；由x0=-1，得y0=（-1）2-4（-1）+3=8.

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，0），P2（-1，8）.

當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，得|y0|=1，所以y0=±1.

由y0=1，得

由y0=-1，得x02-4x0+3=-1，解得x0=2.

（3）由（2）知，不能.

拋物線y=x2-4x+3上下平移后的解析式為y=（x-2）2-1+h，

若⊙P能與兩坐標(biāo)軸都相切，則|x0|=|y0|=1.

即x0=y0=1或x0=y0=-1或x0=1，y0=-1或x0=-1，y0=1.

取x0=y0=1，代入y=（x-2）2-1+h，得h=1.

所以只需將y=x2-4x+3向上平移1個(gè)單位，就可使⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切.

小結(jié)：通過(guò)以上兩例可以看出，解決動(dòng)圓探索型問(wèn)題的過(guò)程比較復(fù)雜，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想比較豐富.解題的原則是以靜制動(dòng)，動(dòng)中找靜，力爭(zhēng)達(dá)到事半功倍的效果.