拋物線與特殊四邊形存在問題探求

☉江蘇省南通市通州區(qū)三余中學(xué) 朱維東

拋物線與四邊形作為代數(shù)和幾何中最重要的章節(jié)，歷來都是中考的必爭之地，其中拋物線與特殊四邊形存在探求問題更是將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致，現(xiàn)將此類近年中考的常見題型加以歸類，剖析解法，供讀者參考.

一、拋物線與平行四邊形存在問題

例1 （2011年涼山州）如圖1，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D（4，k）在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

圖1圖2

分析：（2）探究A、D、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形，此類題目最常見，要注意分類討論，分為AF為平行四邊形的邊和對角線兩種情況.

解：（1）因?yàn)閤2-4x-12=0，

所以x1=-2，x2=6.

所以A（-2，0），B（6，0）.

又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)A、B、C，

故設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6）.

所以當(dāng)x=4時(shí)，k=-4，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，-4）.

因?yàn)镈（4，-4），所以E（0，-4），DE=4.

所以F1（-6，0），F(xiàn)2（2，0）.

如圖3，當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時(shí)，

圖3

所以E′的坐標(biāo)為（n-6，4）.

二、拋物線與矩形存在問題

（1）請直接寫出拋物線c2的表達(dá)式.

（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度，平移后得的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D，E.

在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由.

圖4

分析：（2）在平移過程中，四邊形ANEM始終滿足對角線互相平分，首先肯定是平行四邊形.要使它為矩形，只需滿足對角線相等，即OM=OA.

（2）存在，平移后得到的新拋物線如圖5或如圖6所示

圖5圖6

即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以O(shè)M=ON.

因?yàn)锳（-1-m，0），E（1+m，0），

所以A，E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以O(shè)A=OE，

所以四邊形ANEM為平行四邊形.要使平行四邊形ANEM為矩形，只需滿足，所以m=1.

所以當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

三、拋物線與菱形存在問題

圖7

（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由.

分析：（2）判斷四邊形為平行四邊形的常用方法有四種，本題已經(jīng)滿足BC∥MN，故只要BC=MN時(shí)，四邊形BCMN即為平行四邊形；而判斷平行四邊形為菱形的常用方法有兩種，本題是通過判斷鄰邊是否相等來解決的.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入A、B的坐標(biāo)，得

（2）在四邊形BCMN中，因?yàn)锽C∥MN，

所以當(dāng)BC=MN時(shí)，四邊形BCMN即為平行四邊形.

即當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形.

此時(shí)BC≠CM，平行四邊形BCMN不是菱形；

所以，當(dāng)t=1時(shí)，平行四邊形BCMN為菱形.

四、拋物線與正方形存在問題

例4 （2009內(nèi)蒙古鄂爾多斯市）已知t1，t2是方程t2+2t-24=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且t1＜t2，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（t1，0），B（0，t2）.

圖8

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求?OPAQ的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)?OPAQ的面積為24時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使?OPAQ為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析：（3）要使平行四邊形OPAQ為正方形，只需滿足對角線垂直且相等，此時(shí)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-3），然后再驗(yàn)證該點(diǎn)是否在拋物線

因?yàn)閽佄锞€與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），（-1，0）.

所以x的取值范圍為-6

代入解析式得：y1=-4，y2=-4.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-4），（-4，-4）.

當(dāng)點(diǎn)P為（-3，-4）時(shí)，滿足PO=PA，此時(shí)，平行四邊形OPAQ是菱形.

當(dāng)點(diǎn)P為（-4，-4）時(shí)，不滿足PO=PA，此時(shí)，平行四邊形OPAQ不是菱形.

而要使平行四邊形OPAQ為正方形，那么，一定有OA⊥PQ，AO=PQ，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-3），而（-3，-3）不在拋物線y=上，故不存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形OPAQ為正方形.