對(duì)一道期中考試題的深入研究

☉上海市建平香梅中學(xué) 張安靜

對(duì)一道期中考試題的深入研究

☉上海市建平香梅中學(xué) 張安靜

對(duì)試題的研究是教師在教學(xué)和復(fù)習(xí)中經(jīng)常做的一件事，通過(guò)研究把蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來(lái)，挖掘出隱含的問(wèn)題的本質(zhì)屬性.不但可以提高學(xué)生的空間想象、邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的思維技能，優(yōu)化數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的能力.本文以2012年4月紹興縣九年級(jí)數(shù)學(xué)期中調(diào)測(cè)的一道題目為例，做一些探索.

例1 如圖1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長(zhǎng).

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，如圖1，她分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，得到四邊形AEGF是正方形.設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

（1）請(qǐng)你幫小萍求出x的值.

（2）參考小萍的思路，探究并解答新問(wèn)題：

如圖2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4.請(qǐng)你按照小萍的方法畫圖，得到四邊形AEGF，求△BGC的周長(zhǎng).（畫圖所用字母與圖1中的字母對(duì)應(yīng)）

圖1

圖2

圖3

分析：本題如果直接讓學(xué)生求解，難度較大，主要的困難在于無(wú)法把BD、CD這些條件與未知的AD集中到一個(gè)三角形中，也無(wú)法把∠BAC=45°這個(gè)條件用進(jìn)去，導(dǎo)致學(xué)生解題困難.而通過(guò)軸對(duì)稱變換，構(gòu)造出特殊圖形（正方形或正三角形）是順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

解：（1）分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，得到四邊形AEGF是正方形，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得BE=BD=2，CF=CD=3.設(shè)AD=x，則正方形AEGF的邊長(zhǎng)是x，則BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3.在直角△BCG中，根據(jù)勾股定理可得（x-2）2+（x-3）2=52，解得x=6.

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)翻折把原三角形構(gòu)建為一個(gè)新的圖形——正方形或正三角形.考查了三角形、勾股定理、正方形、正三角形、等腰三角形、軸對(duì)稱變換等知識(shí)點(diǎn)和方程思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，是初中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí)和核心內(nèi)容.

一、變式拓展，推陳出新

鄭毓信教授曾說(shuō)過(guò)：“知識(shí)求連，方法求變”.變則靈動(dòng)，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開了學(xué)生獲取解題方法的有效通道.進(jìn)行有效的試題“變式”可以鏈接不少中考試題，進(jìn)一步感悟、理解問(wèn)題的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法，提升分析、思考、研究問(wèn)題的思維能力.

1.保持例1的框架不變，讓正方形變成梯形，并且有一個(gè)條件保持不變（45°角），讓考生運(yùn)用解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)探究線段的長(zhǎng)，便可以鏈接到下面一道中考試題：

例2 （2008年寧德市）如圖4，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE.

（1）求證：CE=CF；

（2）在圖4中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長(zhǎng).

圖4

圖5

圖6

解：（1） 在正方形ABCD中，因?yàn)锽C＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，所以△CBE≌△CDF．所以CE＝CF．

（2）GE＝BE＋GD成立．因?yàn)椤鰿BE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF．所以∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD，即∠ECF＝∠BCD＝90°. 又∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°．因?yàn)镃E＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，所以△ECG≌△FCG．所以EG＝GF．所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）如圖6，過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G．在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳D∥BC，∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，所以四邊形ABCD為正方形．所以AG＝BC＝12．已知∠DCE＝45°，根據(jù)（1）（2）可知ED＝BE＋DG．設(shè)DE＝x，則DG＝x－4，所以AD＝16－x．在Rt△AED中，因?yàn)镈E2=AD2+AE2，即x2=（16－x）2+82．解得x＝10．所以DE＝10．

點(diǎn)評(píng)：此題是例1的變式，第（1）小題實(shí)際上是對(duì)第（2）小題的提示，這樣做有助于降低思維的難度，給學(xué)生解題提供一個(gè)明確的入口，同時(shí)也為后面的問(wèn)題做了一點(diǎn)暗示，啟發(fā)學(xué)生應(yīng)將直角梯形ABCD補(bǔ)成正方形，再借助前面積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，運(yùn)用勾股定理建立方程求出DE的長(zhǎng).3個(gè)問(wèn)題的設(shè)置不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，其難度不斷上升、步步深入，只有拾階而上才有可能使問(wèn)題得到解決.

2.原有圖形的一些結(jié)論在圖形適當(dāng)變化以后仍成立，或者做適當(dāng)調(diào)整后得到類似的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的遷移和能力的提升.這便演變?yōu)橄铝幸坏乐锌碱}：

例3（2011年永州市）探究問(wèn)題：

（1）方法感悟：如圖7，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

（2）方法遷移：如圖8，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE、BF、EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

（3）問(wèn)題拓展：如圖9，在四邊形ABCD中，AB=AD，E、F分別為DC、BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．

圖7

圖8

圖9

解：（1）將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合（如圖10），由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，所以∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°. 因此，點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．因?yàn)椤?=∠2，所以∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF．又AG=AE，AF=AF，所以△GAF≌△EAF．所以GF=EF，故DE+BF=EF．

（2）DE+BF=EF，理由如下：

圖10

假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，所以∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.因此，點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．因?yàn)椤螮AF=m°，所以∠2+∠3=△EAF．得GF=EF，又因?yàn)镚F=BG+BF=DE+BF，所以DE+BF=EF．

（3）當(dāng)∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，可使得DE+BF=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題與前面兩題相比，由于條件不斷弱化，其難度顯然增大.但考查的立足點(diǎn)仍然是幾何的推理能力、轉(zhuǎn)化意識(shí)、幾何的證明等初中幾何的核心知識(shí).第（1）小題與例1相類似；第（2）小題將Rt△ABC沿斜邊翻折得到對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，其結(jié)論仍然只需對(duì)第（1）小題進(jìn)行簡(jiǎn)單的類比就可以獲得；第（3）小題是第（2）小題的逆向思維和深入思考，較易猜想.問(wèn)題通過(guò)“改變條件的描述方式——互換題設(shè)的條件與結(jié)論——改變問(wèn)題的背景和設(shè)問(wèn)方式”來(lái)命題，體現(xiàn)了層層遞進(jìn)、步步深入、環(huán)環(huán)相扣的思維嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生在由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的探索中發(fā)現(xiàn)此數(shù)學(xué)問(wèn)題中所隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律（DE+BF=EF），感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的美，提高數(shù)學(xué)分析能力.

二、變換圖形，探幽尋芳

1.將問(wèn)題的背景設(shè)置在平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)坐標(biāo)將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，拓寬知識(shí)的認(rèn)知空間和深度，達(dá)到既考查幾何問(wèn)題，又滲透函數(shù)的思想與理念的目的，這便可鏈接到下面一道中考試題：

例4（2010年濟(jì)寧市）在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖11）.

（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

（3）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

圖11

圖12

（3）p值無(wú)變化.證明：如圖12，延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，則∠AOE=45°－∠AOM，∠CON=90°－45°－∠AOM=45°－∠AOM，所以∠AOE=∠CON. 又因?yàn)镺A=OC，∠OAE=180°－90°=90°=∠OCN. 所以△OAE≌△OCN.所以O(shè)E=ON，AE=CN.又因?yàn)椤螹OE=∠MON=45°，OM=OM，所以△OME≌△OMN.所以MN=ME=AM+AE.所以MN=AM+CN. 所以p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.所以在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.

點(diǎn)評(píng)：此題是一道融幾何與代數(shù)于一體的綜合性問(wèn)題，難度較大.題目立足于原題，同時(shí)做了一定的創(chuàng)新，以圖形的旋轉(zhuǎn)為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，設(shè)置新穎，體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)巧妙的設(shè)置將顯性的45°轉(zhuǎn)化為y=x，從而需挖掘出∠MON=45°.3個(gè)問(wèn)題由易到難，層層遞進(jìn)，較好體現(xiàn)了知識(shí)交匯處命題的原則，有利于考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力.

2.通過(guò)將顯性的條件適當(dāng)隱性化以及幾何變換，讓學(xué)生通過(guò)比較、辨別、抽象出原圖的本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含了豐富的“礦藏”，獲得一些“新穎”的結(jié)論，這樣便鏈接到下列一道中考題：

例5 （2011年咸寧市）（1）如圖13，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求∠EAF的度數(shù).

圖13

圖14

（2）如圖14，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M、N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）如圖15，連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，若EG=4，GF=6，BM=，求AG，MN的長(zhǎng).

圖15

（2）MN2=ND2+DH2.因?yàn)椤螧AM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，所以∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.所以∠HAN=∠MAN.又因?yàn)锳M=AH，AN=AN，所以△AMN≌△AHN.所以MN=HN.因?yàn)椤螧AD=90°，AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=45°.所以∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.所以NH2=ND2+DH2.所以MN2=ND2+DH2.

點(diǎn)評(píng)：此題沿著“立足原題，發(fā)掘隱含條件，豐富結(jié)論，考查能力”的思路，提出了3個(gè)小問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主性、研究性的學(xué)習(xí)與探索，讓學(xué)生感悟它們之間內(nèi)在的相互聯(lián)系，優(yōu)化思維過(guò)程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).此題通過(guò)3個(gè)問(wèn)題的思考與研究，給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的探究氛圍，在思考的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、提出和解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)的方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生自主探究的積極性.

三、立足原題，提煉本質(zhì)

不少試題實(shí)際上是具有一般結(jié)論的命題，在解答問(wèn)題答案之后，如果引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)將試題的結(jié)論進(jìn)行更深層次探究、抽象、概括、拓展、總結(jié)成公式并加以應(yīng)用，不但可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的欲望，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且還可以提高學(xué)生類比聯(lián)想以及分析、處理問(wèn)題的能力.

如圖16，設(shè)E、F為正方形邊BC、CD上的點(diǎn)，則下列命題等價(jià)：（1）∠EAF=45°；

（2）△ECF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半；

圖16

（以上結(jié)論請(qǐng)讀者自己思考證明）

本文以一道期中試題為背景出發(fā)，通過(guò)變式拓展，推陳出新；變換圖形，探幽尋芳；立足原題，提煉本質(zhì)，將問(wèn)題合理演化，凝題成鏈，織題成網(wǎng).有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、創(chuàng)新性，促進(jìn)學(xué)生良好的解題思維品質(zhì)養(yǎng)成.