小題大做，借題發(fā)揮——從一道中考填空題說起

☉浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 王天月

☉浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

小題大做，借題發(fā)揮
——從一道中考填空題說起

☉浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 王天月

☉浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

題目 （2010年武漢市）如圖1，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD的長為（ ）.

圖1

此題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形式優(yōu)美，內(nèi)容豐富，可用知識(shí)點(diǎn)多，解法多樣，具有一定的啟發(fā)性和拓展性.下面就解法思路及其演變作些探析，與大家共賞.

一、試題解法及點(diǎn)評(píng)

1.構(gòu)造等腰三角形，常見但實(shí)用

解法1：構(gòu)造等腰三角形，應(yīng)用勾股定理.

圖2

圖3

解法2：構(gòu)造等腰三角形，應(yīng)用三角形相似.

點(diǎn)評(píng)：在一個(gè)三角形中，如果已知邊或角中的三個(gè)元素（三個(gè)角除外），那么這個(gè)三角形一般是可解的，若圖中出現(xiàn)了特殊的45°角，可以通過作三角形一邊的高構(gòu)造雙直角三角形.解法1是在構(gòu)造出等腰直角三角形的基礎(chǔ)上，再應(yīng)用勾股定理解決問題；解法2是在構(gòu)造出等腰直角三角形的基礎(chǔ)上，再應(yīng)用三角形相似使問題得到解決.這些方法都是解數(shù)學(xué)題的通法，由于學(xué)業(yè)考試十分重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和通性通法的考查，所以教師在平時(shí)的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)模式題的常規(guī)解法，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的解題能力，達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的目的.

2.采用截長或補(bǔ)短，經(jīng)典又給力

解法3：采用截長法，應(yīng)用三角形全等.

圖4

圖5

解法4：采用補(bǔ)短法，應(yīng)用三角形全等.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目中有角平分線這個(gè)條件時(shí)，自然想到構(gòu)造軸對(duì)稱圖形.解法3是在角的長邊上截取一段使它等于該角短邊的長，即CG=CA，可證△ACD≌△GCD，然后把問題轉(zhuǎn)化到Rt△CDE中，求得CD的長；解法4是延長角的短邊使它等于該角長邊的長，即CH=CB，可證△CHD≌△CBD，然后把問題轉(zhuǎn)化到Rt△CDF中，求得CD的長.解答此題的難點(diǎn)并不在于計(jì)算，而主要在于能不能形成正確的解題思路.由此可見，圖形變換在證明和計(jì)算中也會(huì)經(jīng)常用到，關(guān)鍵是要讓學(xué)生樹立“變換思想”，掌握“變換方法”.一般地，當(dāng)遇到角平分線、折疊、翻折等條件時(shí)，其實(shí)質(zhì)是考查對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)，就應(yīng)考慮對(duì)應(yīng)元素之間的變換.

3.妙用圖形變換法，獨(dú)特又精彩

解法5：利用角平分線，構(gòu)造軸對(duì)稱，應(yīng)用三角形全等.

圖6

圖7

解法6：利用旋轉(zhuǎn)變換，應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評(píng)：圖形變換題是近幾年學(xué)業(yè)考試的熱點(diǎn)題型，圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱等都是考試熱點(diǎn)，解這類問題，要弄清圖形是怎樣變換的，然后根據(jù)相關(guān)條件求解.解法5是由角平分線聯(lián)想到它的軸對(duì)稱性，它的常見輔助線是“經(jīng)過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線”，將不規(guī)則的四邊形ACBD割補(bǔ)成正方形DECF，問題得解；解法6通過旋轉(zhuǎn)變換，將已知線段AC、BC集中起來，經(jīng)證明它們的長度和等于CE，并由45°構(gòu)造等腰直角三角形，這樣把CD的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化到Rt△DCE中，再用三角函數(shù)知識(shí)解決問題.

4.利用解析法，添坐標(biāo)系，直觀又簡(jiǎn)捷

圖8

解法7：利用直角坐標(biāo)系，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式.

點(diǎn)評(píng)：解法7主要是條件中有些特殊的點(diǎn)（如中點(diǎn)）或特殊的圖形（如圓），通過建立適當(dāng)?shù)闹苯幼鴺?biāo)系，可以將某些幾何求值問題、證明問題全部轉(zhuǎn)化或部分轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題加以解決（有時(shí)較之其他的方法更為簡(jiǎn)潔）.

5.運(yùn)用特殊方法，新穎又別致

解法8：運(yùn)用直角三角形內(nèi)心的性質(zhì).

圖9

圖10

解法9：運(yùn)用兩次相似，整體相加的方法.

點(diǎn)評(píng)：在解題時(shí)，仔細(xì)觀察題目的外形，把握問題的特征，展開聯(lián)想，創(chuàng)設(shè)整體，常常會(huì)使解題思路豁然開朗.此題運(yùn)用兩次相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，通過整體相加、數(shù)形結(jié)合等基本思想方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，同時(shí)也能反映出學(xué)生的思維差異.因此，仔細(xì)觀察，善于聯(lián)想，在條件與結(jié)論之間尋找最便捷的橋梁，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理想追求.

解法10：應(yīng)用托勒密定理.

對(duì)于托勒密（Ptolemy）定理——圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和.應(yīng)用它來解答此題最快捷.

點(diǎn)評(píng)：通過托勒密（Ptolemy）定理的中介作用，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋求解題途徑指明了方向，使問題的解決簡(jiǎn)單流暢、別具一格，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，而且還可以開拓學(xué)生的思路、提高解題能力，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)也大有裨益.

二、試題推廣及演變

1.試題推廣

通過對(duì)上述解法的再思考，很容易證明這個(gè)關(guān)系式是成立的，但是離不開“∠ACB=90°（或AB是⊙O的直徑）”這個(gè)條件.因此得到：

定理1：過直角三角形直角頂點(diǎn)的角平分線截這個(gè)直角三角形的外接圓，所截得的線段長等于兩直角邊和的倍.用數(shù)學(xué)語言表示為：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O為Rt△ABC的外接圓，CD平分∠ACB且交⊙O于點(diǎn)D，則CD=（AC+BC）（.證明過程類似于解法1、解法2等，這里從略.）

把定理1的題設(shè)一般化：如果∠ACB≠90°，其他條件不變，那么AC、BC、CD這三者之間又有著什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？通過類比探究得到：

圖11

2.試題演變

演變1：立足原題，提煉本質(zhì)

例1（由選擇題變函數(shù)題）

圖12

圖13

如圖12，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點(diǎn)，且∠AOP=45°，反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)P，則k的值為______.

點(diǎn)評(píng)：此題是一道融幾何、代數(shù)內(nèi)容為一體的填空綜合題，對(duì)圓、反比例函數(shù)、等腰直角三角形、勾股定理、方程的認(rèn)識(shí)提出了較高的要求，屬于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的靈活運(yùn)用的層次.此題可以抽象為對(duì)原題進(jìn)一步的變式，屬形異質(zhì)同，此題注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、探究思維能力和創(chuàng)新能力的理解與滲透，體現(xiàn)綜合性、新穎性、思考性、思想性，題目解法靈活多樣，較好地考查了學(xué)生分析問題和綜合解決問題的能力.

例2（由選擇題變證明題）

如圖14，AB是⊙O的直徑，C點(diǎn)為半圓上的一點(diǎn)（AC＞BC），∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、BD，過D點(diǎn)作DE⊥AC，垂足為E.試問：

圖14

圖15

解：如圖15，過D點(diǎn)作DF⊥CB，垂足為點(diǎn)F.由題意先證Rt△AEDRt△BFD，得AE=BF；再證四邊形CEDF是正方形，得CE=CF.所以：

點(diǎn)評(píng)：本題是將選擇題變?yōu)樽C明題，結(jié)論變得具有開放性，難度比原題有所增大，但此題解法較多，除了所給出的方法，還可以用解法3（截長法）、解法4（補(bǔ)短法）解決，有興趣的讀者不妨試一試.

演變2：變化情景，推陳出新

例3（由特殊變一般）

如圖16，AB是⊙O的一條弦，C點(diǎn)為半圓上的一點(diǎn)（AC＞BC），過O點(diǎn)作OD⊥AB于H，交⊙O于D點(diǎn)，連接CD，過D點(diǎn)作DE⊥AC，垂足為E，探究：

（1）例2的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？

圖16

解：（1）如圖16，過D點(diǎn)作DF⊥CB，垂足為點(diǎn)F.由題意先證Rt△AED≌Rt△BFD，得AE=BF；再證Rt△CED≌Rt△CFD，得CE=CF.所以：

演變3：變換圖形，探幽尋芳

例4（由內(nèi)角平分線變外角平分線）

如圖17，⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于D、P兩點(diǎn)，圓心O在y軸上，過點(diǎn)D作DE⊥弦AC，垂足為E點(diǎn)，Q點(diǎn)在BC的延長線上.

圖17

圖18

（2）如圖18，過D點(diǎn)作DF⊥CB，垂足為F.先證DE=DF，CE=CF，再證Rt△AED≌Rt△BFD，所以AE=BF，后面步驟類似例3的過程.（請(qǐng)讀者自己思考、完成.）

點(diǎn)評(píng)：本題難度比例3又有所增大，該題從三個(gè)層面作了變式，首先條件“OD⊥AB”由直接變間接；其次點(diǎn)C、D從在弦AB的異側(cè)變?yōu)橥瑐?cè)；再次把內(nèi)角平分線變成外角平分線.通過這種改變題目的條件、結(jié)論或情境等多種途徑對(duì)典型試題進(jìn)行變式探究，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解，讓學(xué)生熟練地運(yùn)用垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系、圓周角定理及推論和勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，幫助學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行多角度、多層次的思考，掌握相關(guān)的作輔助線的方法，以提高學(xué)生的解題能力.