初顯端倪的“幾何概型”中考題超綱嗎？

☉北京師范大學出版集團 岳昌慶

☉江西省新余市渝水區(qū)羅坊中學 胡 俊

初顯端倪的“幾何概型”中考題超綱嗎？

☉北京師范大學出版集團 岳昌慶

☉江西省新余市渝水區(qū)羅坊中學 胡 俊

近年的全國各地中考試題中，概率部分好題連連，請看2011年呼和浩特市卷第14題（3分）.

例1 在半徑為2的圓中有一個內(nèi)接正方形，現(xiàn)隨機地往圓內(nèi)投一粒米，落在正方形內(nèi)的概率為__________.（注：π取3）

圖1

評注：嚴格地說，這是一道幾何概型問題，而課程標準中對概率考核的要求是“能計算簡單事件發(fā)生的概率.在教學中，應注重所學內(nèi)容與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯(lián)系，使學生在具體情境中體會概率的意義”［1］［2］．

這道中考題似乎是超綱了，但實際上不然.課程標準中又有“對有關術語不要求進行嚴格表述”［1］，且課程標準中還有以下“案例”供編寫教材及教學時參考.

例2 如圖2，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，求轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向陰影部分的概率.［1］

這就不難理解為何例1不算超綱了.隨機思想是統(tǒng)計與概率的靈魂，新課程提倡數(shù)學來源于生活，在具體情境中了解概率的意義，通過實例進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際問題.讓學生在數(shù)學教學實踐中體會這種思想是十分必要的.中考概率問題不只單純考查概率知識，還要考查其他數(shù)學知識，如方程、函數(shù)、幾何圖形等.

例3（2011年高考福建卷理科第4題、文科第7題5分）如圖

圖2

3，矩形ABCD中，點E為邊AD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△CBE內(nèi)部的概率等于（ ）.

圖3

評注：本題是一道簡單的幾何概型題目，既考查了平面幾何知識，又加深了學生對概率——隨機思想的理解.

無獨有偶，請看例3的背景知識在中考中也曾出現(xiàn)過：

例4 （2001年中考杭州市卷第6題3分）如圖4，在矩形ABCD中，點E是AD上任意一點，則有（ ）.

A.△ABE的周長+△CDE的周長=△BCE的周長

B.△ABE的面積+△CDE的面積=△BCE的面積

C.△ABE∽△DEC

D.△ABE∽△EBC

略解：如圖4，選B.

評注：本題的結(jié)論更具有一般性，例3只是其特殊情況之一.

可供教師命制相關題目、學生學習時參考的類似結(jié)論有：

（1）如圖5，△ABC的中線AD將該三角形的面積平分.

（2）如圖6，三角形的重心與三角形三頂點的連線，把該三角形分成三個等面積的小三角形.

（3）如圖7，過平行四邊形ABCD對角線交點O的直線EF，分別與AD、BC交于點E、F，則直線EF將該平行四邊形的面積平分.

圖4

圖5

圖6

圖7

（4）如圖8，過梯形ABCD中位線GH中點O的直線EF，分別與AD、BC交于點E、F，則直線EF將該梯形的面積平分.

（5）如圖9，過⊙O的圓心O的任意直線與該圓交于點E、F，則直線EF將該圓的面積平分.

（6）如圖10，設O為任意四邊形ABCD對角線AC的中點，則折線B-O-D將該四邊形的面積平分.

圖8

圖9

圖10

（7）如圖11，過任意四邊形ABCD對角線AC中點O的直線EF∥BD，分別與BC、CD交于點E、F，則直線BF將該四邊形的面積平分.（直線BF亦被稱為“好線”）

（8）菱形、矩形、正方形是平行四邊形的特殊情況，（3）中的結(jié)論也成立.

（9）等腰梯形、直角梯形是梯形的特殊情況，（4）中的結(jié)論也成立.

（10）顯然，對于平行四邊形，兩條對角線分別將該平行四邊形的面積平分.

圖11

1.中華人民共和國教育部制定.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）［M］.北京：北京師范大學出版社，2001：47，49.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2012：119.